1.3有理數(shù)的加減法指向關(guān)鍵點(diǎn)加減法一直伴隨著我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，知識運(yùn)算的對象在不斷發(fā)生變化．我們現(xiàn)在的加減法運(yùn)算對象是有理數(shù)．當(dāng)數(shù)的范圍拓展到有理數(shù)，減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，加減運(yùn)算統(tǒng)一成代數(shù)和．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，可以簡化運(yùn)算．尋找支撐點(diǎn)有理數(shù)加法運(yùn)算，應(yīng)確定兩點(diǎn)，其一，和的符號，其二，和的絕對者．同號兩數(shù)相加，和的符號與加數(shù)的符號已知，和的絕對值是兩個(gè)加數(shù)的絕對值的和；異號兩數(shù)相加，和的符號取絕對值大的那個(gè)加數(shù)的符號，和的絕對值是兩個(gè)加數(shù)的絕對值的差（用較大的絕對值減去較小的絕對值）減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，有理數(shù)的加減運(yùn)算統(tǒng)一成代數(shù)和．對于帶分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，可以將整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分開進(jìn)行．運(yùn)用交換律、結(jié)合律的原則為：將同分母或通分較易得分?jǐn)?shù)放在一起，將同號得放在一起，將能湊整的放在一起．例1對于有理數(shù)a，b，如果a＞0，b＜0，且＜，那么下列等式成立的是（）A．a(chǎn)＋b＝＋B．a(chǎn)＋b＝﹣（＋）C．a(chǎn)＋b＝﹣（﹣）D．a(chǎn)＋b＝﹣（﹣）分析本題實(shí)質(zhì)是用符號語言來描述異號兩數(shù)的加減法法則，我們只需將異號兩數(shù)相加的文字語言翻譯成符號語言即可判斷．解：異號兩數(shù)相加，異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，因?yàn)椋迹琤＜0，所以和的符號為負(fù)，絕對值做減法，故選D．例2將下列算式改寫成省略加號的形式，然后計(jì)算．（1）（2）（3）分析加減法運(yùn)算先同意成代數(shù)和的運(yùn)算，再按運(yùn)算順序進(jìn)行．對于帶分?jǐn)?shù)的加減，不要化為假分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分開算，適當(dāng)運(yùn)算律將同分母的放在一起解（1）（2）（3）有理數(shù)的運(yùn)算又是要用到一些技巧，所謂技巧，就是通過觀察，將加數(shù)作適當(dāng)?shù)牟鸱郑\(yùn)用運(yùn)算律，重新組合，達(dá)到簡化計(jì)算的目的．技巧是運(yùn)算法則的創(chuàng)造性的運(yùn)算．我們可以適當(dāng)?shù)姆e累一些計(jì)算技巧，但不能被技巧所束縛，熟練掌握運(yùn)算法則才是最重要的例3計(jì)算：（1）···（2）分析觀察（1），從第二項(xiàng)開始，2的指數(shù)一次增加，我們不妨整體變換；觀察（2）發(fā)現(xiàn)每個(gè)加數(shù)的分母為兩數(shù)之積，而分子為這兩數(shù)的和，屬于的結(jié)構(gòu)，可以拆分成的形式解：（1）令···＝a,則2a＝···，則原式＝＝1＋2a所以a＝－1，所以，原式＝．（2）例4若有理數(shù)a＜b＜c，且a＋b＋c＝0，是判斷a，c，a＋b及b＋c的符號分析三個(gè)互不相等的數(shù)的和為0，則三個(gè)數(shù)中至少一個(gè)整數(shù)，至少一個(gè)負(fù)數(shù)，根據(jù)這三個(gè)數(shù)的大小，可以作具體判斷．解：因?yàn)閍＜b＜c，所以3a＜a＋b＋c＝0＜3c，即，a＜0＜c；所以a，c，a＋b，b＋c的符號分別為負(fù)、正、負(fù)、正．【拓展閱讀】觀察一組等式：；；（1）第四個(gè)算式是（2）＋···＋；（3）先閱讀下面的解答：設(shè)＋···＋①兩邊都乘以2，得2S＝②②－①得，S＝即···＋＝追問延伸點(diǎn)兩數(shù)和、差的絕對值與兩數(shù)絕對值的和、差比較大小兩數(shù)和、差的絕對值與兩數(shù)絕對值的和、差比較大小因?yàn)椋裕矗琣，b同號或有一個(gè)為0時(shí)取等號．因?yàn)椋矗岳?不能使式子成立的數(shù)是（）A．任意一個(gè)數(shù)B．任意一個(gè)正數(shù)C．任意一個(gè)負(fù)數(shù)D．任意一個(gè)非負(fù)數(shù)分析當(dāng)a，b同號或有一個(gè)為0時(shí)解：當(dāng)括號里填負(fù)數(shù)或0時(shí)，等式成立，反之，括號里填任意一個(gè)正數(shù)，不能使式子成立．選B．當(dāng)我們把整數(shù)按魔2的同余分類，可以把整數(shù)分成奇數(shù)、偶數(shù)兩類，兩個(gè)數(shù)的和與它們的差的奇偶性是一致的．因?yàn)椋瑑蓚€(gè)奇數(shù)的和與差都是偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)的和與差都是偶數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的和與差都是奇數(shù)．推而廣之，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和與差都是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和與差都是偶數(shù)．例6在數(shù)1,2,3，···，2014前添加符號“＋”，“－”并依次運(yùn)算，所得的可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析隨意添加運(yùn)算符所得的結(jié)果不盡相同，但奇偶性是確定的，1到2014之間有1007個(gè)奇數(shù)，因此其結(jié)果為奇數(shù)，最小的非負(fù)奇數(shù)為1.解從1到2014有1007個(gè)奇數(shù)，無論加、減，其代數(shù)和為奇數(shù)，，最小的非負(fù)奇數(shù)為1，我們可以將4個(gè)相鄰的數(shù)位一組，將2014個(gè)數(shù)分為503個(gè)組，每個(gè)組適當(dāng)添加符號后代數(shù)和為0，比如．最后剩兩個(gè)數(shù)，比如2和1，則2－1＝1.分級訓(xùn)練題A級1．一個(gè)數(shù)加上12得﹣5，那么這個(gè)數(shù)為（）．A．7B．﹣7C．17D．﹣172．下列計(jì)算正確的是（）A．B．C．D．3．若a＋b＝0，那么有理數(shù)a，b的取值一定（）A．都是0B．互為倒數(shù)C．互為相反數(shù)D．至少有一個(gè)是04．若兩個(gè)數(shù)的和為整數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)（）A．至少有一個(gè)為正數(shù)B．只有一個(gè)正數(shù)C．兩個(gè)數(shù)都是整數(shù)D．必有一個(gè)數(shù)是05．冬季某天我國三個(gè)城市的最高氣溫分別是﹣10℃，1℃，﹣7℃，它們?nèi)我鈨沙鞘兄凶畲蟮臏夭钍牵ǎ〢．11℃B．17℃C．8℃D．3℃6．世紀(jì)測量一座山的高度時(shí)，可在若干個(gè)觀測點(diǎn)中測量每兩個(gè)相鄰可視觀測點(diǎn)的相對高度，然后用這些相對高度計(jì)算出山的高度．下表是某次測量數(shù)據(jù)的部分記錄（用A－C表示觀測點(diǎn)A相對觀測點(diǎn)C的高度）根據(jù)這次測量的數(shù)據(jù)，可得觀測點(diǎn)A相對觀測點(diǎn)B的高度是（）mA－CC－DE－DF－EG－FB－G90m80m﹣60m50m﹣70m40mA．210B．130C．390D．﹣2107．將拆成整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分＝（）＋（）8．計(jì)算：（1）﹣3.4－（－4.7）；（2）（－50.9）＋（－123.7）；（3）；（4）．9．計(jì)算：（1）23＋（－17）＋（＋7）＋（－13）；（2）（－1.76）＋（－19.15）＋（－8.24）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）10．一口井水面比井口低3m，一蝸牛從水面沿著井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5m，往下滑了0.3m；第二次往上爬了0.42m，卻又下滑了0.15m；第三次往上爬了0.7m，卻又下滑了0.15m；第四次往上爬了0.75m，卻又下滑了0.2m；第五次往上爬了0.55m，沒有下滑；第六次往上爬了0.48m，此時(shí)蝸牛有沒有爬出井口？請通過列式計(jì)算加以說明．B級11．下列說法正確的是（）A．若x＋y＝0，則x與y互為相反數(shù)B．若x－y＞0，則x<yC．若x－y＝0，則則x與y互為相反數(shù)D．若x－y＜0，若x＞y12．已知x＞0，y＜0.且x＋y＜0，那么有理數(shù)x，y，﹣x，﹣y的大小關(guān)系為．13．已知a，b，c，d都是有理數(shù)，若，，且，則a＋b＋c＋d＝14．某檢修小組乘汽車檢修供電線路，約定前進(jìn)為正，后退為負(fù)．某天自A地出發(fā)到手工時(shí)，所走路程（單位：km）為：﹢22，﹣3，＋4，﹣2，﹣8，＋17，﹣2，﹣3，﹢12，﹢7，﹣5，問：收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)？若每千米耗油4L，問從A地出發(fā)到收工共耗油多少升？15．將分?jǐn)?shù)，分別輸入下邊的流程圖，在輸入圈的括號內(nèi)一次填入輸出的數(shù)．并寫出計(jì)算結(jié)果16．已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，A，B間的距離是2，點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離是3.（1）B點(diǎn)表示的數(shù)是什么？（2）B點(diǎn)表示的這些數(shù)的和是多少？（3）所有滿足條件的B點(diǎn)與原點(diǎn)的距離之和是多少？17．已知，，求a－b的值．18．試用“＞”，“＜”，“＝”填空：（1）（2）（3）（4）請通過以上各式總結(jié)任意兩個(gè)不為0的有理數(shù)的和的絕對值與其絕對值的和的大小關(guān)系．C級19．有依次排列的3個(gè)數(shù)：3，9，8，對任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差卸載這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，6，9，﹣1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后可能產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8；繼續(xù)一次操作下去，則從數(shù)串3,9,8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是20．若，則n的負(fù)倒數(shù)為21．甲、乙兩同學(xué)做“投球進(jìn)筐”的游戲．商定:每人玩5局，每局在指定線外將一個(gè)皮球投往筐中，一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但最多只能投6次，當(dāng)投進(jìn)后，該局結(jié)束，并記下投球次數(shù)；當(dāng)6次都未投進(jìn)時(shí)，該局也結(jié)束，并記為“×”．兩人5局投球情況如下第一局第二局第三局第四局第五局甲5次×4次