學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2。3圓周運動的案例分析[學習目標］1。通過向心力的實例分析，體會勻速圓周運動在生活、生產中的應用。2.能應用向心力和向心加速度公式分析過山車問題和火車轉彎問題。3。熟練掌握應用牛頓第二定律和向心力知識分析兩類豎直面內圓周運動模型的步驟和方法.一、過山車問題1。向心力：過山車到軌道頂部A時,如圖1所示，人與車作為一個整體，所受到的向心力是重力mg跟軌道對車的彈力N的合力,即F向＝N＋mg.如圖所示，過山車在最低點B,向心力F向＝N1－mg。圖12。臨界速度：當N＝0時，過山車通過圓形軌道頂部時的速度最小,v臨界＝eq\r(gR）.(1）v＝v臨界時,重力恰好等于過山車做圓周運動的向心力，車不會脫離軌道。（2）v<v臨界時，所需的向心力小于車所受的重力，過山車有向下脫離軌道的趨勢.（3）v〉v臨界時,彈力和重力的合力提供向心力,車子不會掉下來.二、運動物體的轉彎問題1.自行車在水平路面轉彎,地面對車的作用力與重力的合力提供轉彎所需的向心力.2.汽車在水平路面轉彎，所受靜摩擦力提供轉彎所需的向心力。3.火車轉彎時外軌高于內軌，如圖2所示，向心力由支持力和重力的合力提供。圖2［即學即用]1。判斷下列說法的正誤.(1）汽車在水平路面上正常轉彎時所需要的向心力是滑動摩擦力提供的.（×)（2)火車轉彎時,內、外軌道一樣高。（×)（3)若鐵路彎道的內外軌一樣高，火車通過彎道時向心力的來源是外軌的水平彈力，所以外軌容易磨損.（√）(4)汽車行駛至凸形橋頂部時,對橋面的壓力等于車重。(×)(5）汽車行駛至凹形橋底部時，對橋面的壓力大于車重。（√)（6)繞地球做勻速圓周運動的航天器中的宇航員處于完全失重狀態，故不再具有重力。(×）2。飛機由俯沖轉為拉起的一段軌跡可看成一段圓弧，如圖3所示，飛機做俯沖拉起運動時，在最低點附近做半徑為r＝180m的圓周運動，如果飛行員質量m＝70kg，飛機經過最低點P時的速度v＝360km/h，則這時飛行員對座椅的壓力是________。（g取10m/s2)圖3答案4589N解析飛機經過最低點時,v＝360km/h＝100m/s.對飛行員進行受力分析，飛行員在豎直面內共受到重力G和座椅的支持力N兩個力的作用，根據牛頓第二定律得N－mg＝meq\f（v2,r）,所以N＝mg＋meq\f（v2，r）＝70×10N＋70×eq\f(1002，180）N≈4589N，由牛頓第三定律得，飛行員對座椅的壓力為4589N。一、分析游樂場中的圓周運動[導學探究］如圖4所示，過山車能從高高的圓形軌道頂部轟然而過，車卻不掉下來，這是為什么呢？是因為過山車的車輪鑲嵌在軌道的槽內、人被安全帶固定的原因嗎？圖4答案當過山車在最高點的速度大于eq\r(gR)時，重力和軌道對車向下的彈力提供向心力,所以車不會掉下來,與其它因素無關。[知識深化］豎直平面內的“繩桿模型"的臨界問題1。輕繩模型(如圖5所示)圖5(1)繩(內軌道）施力特點：只能施加向下的拉力(或壓力).（2）在最高點的動力學方程T＋mg＝meq\f(v2，R).（3）在最高點的臨界條件T＝0，此時mg＝meq\f(v2，R），則v＝eq\r（gR)。①v＝eq\r(gR)時，拉力或壓力為零.②v>eq\r(gR）時，小球受向下的拉力或壓力.③v〈eq\r(gR)時，小球不能到達最高點。即輕繩的臨界速度為v臨界＝eq\r（gR)。2。輕桿模型（如圖6所示）圖6(1）桿（雙軌道)施力特點：既能施加向下的拉力（或壓力),也能施加向上的支持力。(2)在最高點的動力學方程當v＞eq\r(gR)時，N＋mg＝meq\f(v2，R)，桿對球有向下的拉力,且隨v增大而增大。當v＝eq\r(gR)時，mg＝meq\f(v2，R)，桿對球無作用力.當v＜eq\r（gR)時，mg－N＝meq\f(v2,R),桿對球有向上的支持力.當v＝0時，mg＝N，球恰好能到達最高點.(3）桿類的臨界速度為v臨界＝0.例1公園里的過山車駛過最高點時，乘客在座椅里面頭朝下.若軌道半徑為R，人的質量為m。(1）若過山車安全通過最高點，必須至少具備多大的速度？(2）若過最高點時人對座椅的壓力為2mg，則過山車在最高點時的速度是多大？答案(1）eq\r(gR）（2）eq\r(3gR）解析（1）人恰好通過最高點時，座椅對人的壓力為零。人只有重力提供向心力，根據牛頓第二定律。mg＝meq\f(v\o\al（2，1)，R)得：v1＝eq\r(gR），即為安全通過最高點的最小速度(2）若人對座椅的壓力N′＝2mg，在最高點人受座椅向下的彈力和重力,兩個力的合力提供向心力，有：mg＋N＝meq\f(v\o\al(2,2),R）得：v2＝eq\r（3gR）例2如圖7所示，質量為m的小球固定在長為l的細輕桿的一端，繞輕桿的另一端O在豎直平面內做圓周運動。球轉到最高點時,線速度的大小為eq\r(\f(gl,2))，此時（）圖7A。桿受到eq\f（1，2)mg的拉力 B.桿受到eq\f(1,2）mg的壓力C.桿受到eq\f（3,2）mg的拉力 D.桿受到eq\f（3，2)mg的壓力答案B解析以小球為研究對象,小球受重力和沿桿方向桿的彈力,設小球所受彈力方向豎直向下，則N＋mg＝eq\f（mv2，l），將v＝eq\r（\f（gl，2))代入上式得N＝－eq\f(1，2)mg,即小球在A點受桿的彈力方向向上,大小為eq\f（1,2)mg，由牛頓第三定律知桿受到eq\f（1,2）mg的壓力.二、研究運動物體轉彎時的向心力[導學探究]設火車轉彎時的運動為勻速圓周運動.（1)如果鐵路彎道的內外軌一樣高，火車在轉彎時的向心力由什么力提供？會導致怎樣的后果？(2)實際上在鐵路的彎道處外軌略高于內軌,試從向心力的來源分析這樣做有怎樣的優點。（3）當軌道平面與水平面之間的夾角為α,轉彎半徑為R時，火車行駛速度多大軌道才不受擠壓？(4)當火車行駛速度v〉v0＝eq\r(gRtanα)時，輪緣受哪個軌道的壓力？當火車行駛速度v<v0＝eq\r(gRtanα）時呢?答案(1）如果鐵路彎道的內外軌一樣高，火車在豎直方向所受重力與支持力平衡，其向心力由外側車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發生彈性形變，對輪緣產生的彈力來提供(如圖甲）;由于火車的質量太大,輪緣與外軌間的相互作用力太大，會使鐵軌和車輪極易受損。（2)如果彎道處外軌略高于內軌，火車在轉彎時鐵軌對火車的支持力N的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內側,它與重力G的合力指向圓心，為火車轉彎提供一部分向心力(如圖乙），從而減輕輪緣與外軌的擠壓。（3）火車受力如圖丙所示,則F＝mgtanα＝eq\f（mv2,R）,所以v＝eq\r（gRtanα）。(4)當火車行駛速度v>v0＝eq\r(gRtanα)時，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此時外側軌道對輪緣有向里的側向壓力；當火車行駛速度v<v0＝eq\r（gRtanα)時,重力和支持力的合力提供的向心力過大，此時內側軌道對輪緣有向外的側向壓力.［知識深化］1。自行車在轉彎處，地面對自行車的作用力與重力的合力提供向心力.其表達式為mgtanθ＝meq\f（v2,R），即tanθ＝eq\f（v2，gR）.自行車傾斜的角度與自行車的速度和轉彎半徑有關。2.汽車在水平路面上轉彎時，地面的靜摩擦力提供向心力，其表達式為f＝meq\f（v2,R）.由于地面的靜摩擦力不能大于最大靜摩擦力，因此汽車在轉彎處的速度不能大于eq\r(μgR）。3.火車轉彎(1)向心力來源：在鐵路的彎道處，外軌高于內軌，火車在此處依據規定的速度行駛，轉彎時,向心力幾乎完全由重力G和支持力N的合力提供，如圖8所示，即F＝mgtanθ.圖8(2）規定速度:若火車轉彎時，火車輪緣不受軌道側壓力，則mgtanθ＝eq\f（mv\o\al(2,0）,R)，故v0＝eq\r（gRtanθ），其中R為彎道半徑,θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為彎道規定的速度。①當v＝v0時，F向＝F,即轉彎時所需向心力等于支持力和重力的合力,這時內、外軌均無側壓力，這就是設計的限速狀態.②當v〉v0時，F向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力,這時外軌對車輪有側壓力，以彌補向心力不足的部分。③當v<v0時，F向<F，即所需向心力小于支持力和重力的合力，這時內軌對車輪有側壓力，以抵消向心力過大的部分.說明:火車轉彎時受力情況和運動特點與圓錐擺類似.例3鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，已知內外軌道所在平面與水平面的夾角為θ,如圖9所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車轉彎時速度等于eq\r(gRtanθ)，則（)圖9A。內軌對內側車輪輪緣有擠壓B。外軌對外側車輪輪緣有擠壓C.這時鐵軌對火車的支持力等于eq\f（mg,cosθ）D。這時鐵軌對火車的支持力大于eq\f(mg，cosθ)答案C解析由牛頓第二定律F合＝meq\f(v2,R）,解得F合＝mgtanθ，此時火車受重力和鐵路軌道的支持力作用，如圖所示，Ncosθ＝mg，則N＝eq\f（mg，cosθ），內、外軌道對火車均無側壓力,故C正確，A、B、D錯誤.例4（多選)公路急轉彎處通常是交通事故多發地帶。如圖10，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為v0時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢.則在該彎道處(）圖10A。路面外側高、內側低B.車速只要低于v0，車輛便會向內側滑動C.車速雖然高于v0，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動D。當路面結冰時，與未結冰時相比，v0的值變小答案AC解析當汽車行駛的速率為v0時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢，即不受靜摩擦力，此時由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外側高、內側低，選項A正確；當車速低于v0時，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽車有向內側運動的趨勢,受到的靜摩擦力向外側，并不一定會向內側滑動，選項B錯誤；當車速高于v0時，需要的向心力大于重力和支持力的合力,汽車有向外側運動的趨勢，靜摩擦力向內側，速度越大，靜摩擦力越大，只有靜摩擦力達到最大以后，車輛才會向外側滑動，選項C正確;由mgtanθ＝meq\f（v\o\al(2,0),r）可知，v0的值只與路面與水平面的夾角和彎道的半徑有關,與路面的粗糙程度無關，選項D錯誤。火車轉彎的或高速公路上汽車轉彎的圓軌道是水平軌道，所以合力的方向水平指向圓心。解決此類問題的關鍵是分析清楚向心力的來源。1。（輕桿模型）(多選）如圖11所示,細桿的一端與小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動，細桿長0。5m，小球質量為3kg，現給小球一初速度使它做圓周運動,若小球通過軌道最低點a的速度為va＝4m/s，通過軌道最高點b的速度為vb＝2m/s,取g＝10m/s2，則小球通過最低點和最高點時對細桿作用力的情況是()圖11A。在a處為拉力,方向豎直向下，大小為126NB。在a處為壓力，方向豎直向上，大小為126NC.在b處為拉力,方向豎直向上,大小為6ND.在b處為壓力，方向豎直向下,大小為6N答案AD解析小球對細桿的作用力大小等于細桿對小球的作用力.在a點設細桿對球的作用力為Fa，則有Fa－mg＝eq\f(mv\o\al(2，a）,R），所以Fa＝mg＋eq\f（mv\o\al(2,a），R）＝（30＋eq\f（3×42，0.5))N＝126N，故小球對細桿的拉力為126N，方向豎直向下，A正確,B錯誤.在b點設細桿對球的作用力向上，大小為Fb,則有mg－Fb＝eq\f（mv\o\al（2，b)，R），所以Fb＝mg－eq\f（mv\o\al（2,b）,R）＝30N－eq\f（3×22，0。5)N＝6N，故小球對細桿為壓力，方向豎直向下，大小為6N，C錯誤,D正確。2。(輕繩模型）雜技演員表演“水流星”,在長為1。6m的細繩的一端,系一個與水的總質量為m＝0。5kg的盛水容器,以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動,如圖12所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s,則下列說法正確的是（g＝10m/s2)（)圖12A。“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出B?！八餍恰蓖ㄟ^最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C?！八餍恰蓖ㄟ^最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用D.“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N答案B解析水流星在最高點的臨界速度v臨界＝eq\r（gL）＝4m/s,由此知繩的拉力恰為零,且水恰不流出，故選B.3。(球在管形軌道中的運動）(多選）如圖13所示,小球m在豎直放置的光滑的圓形管道內做圓周運動，下列說法正確的是（)圖13A.小球通過最高點時的最小速度是eq\r(Rg)B.小球通過最高點時的最小速度為零C.小球在水平線ab以下的管道中運動時外側管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以下的管道中運動時外側管壁對小球一定有作用力答案BD解析小球通過最高點的最小速度為0，圓形管外側、內側都可以對小球提供彈力,小球在水平線ab以下時，必須有指向圓心的力提供向心力，就是外側管壁對小球的作用力，故B、D正確。4.（豎直面內的圓周運動)如圖14所示,某興趣小組設計了一個滾筒式炒栗子機器,滾筒內表面粗糙，內直徑為D。工作時滾筒繞固定的水平中心軸轉動.為使栗子受熱均勻，要求栗子到達滾筒最高處前與筒壁脫離，則()圖14A.滾筒的角速度應滿足ω〈eq\r（\f(2g，D)）B。滾筒的角速度應滿足ω>eq\r（\f(2g，D)）C.栗子脫離滾筒的位置與其質量有關D.若栗子到達最高點時脫離滾筒，栗子將自由下落答案A解析栗子在最高點恰好不脫離時有:mg＝m×eq\f(D,2)ω2,解得ω＝eq\r(\f（2g，D）），要求栗子到達滾筒最高處前與筒壁脫離,則ω<eq\r（\f（2g,D)），故A正確,B錯誤.栗子脫離滾筒的位置與其質量無關,故C錯誤.若栗子到達最高點時脫離滾筒,由于栗子的速度不為零，所以栗子的運動不是自由落體運動,故D錯誤.故選A。課時作業一、選擇題（1～6題為單選題，7～10題為多選題）1。長為L的細繩，一端系一質量為m的小球，另一端固定于某點,當繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度v0,使小球在豎直平面內做圓周運動，并且剛好能過最高點。則下列說法中正確的是（)A。小球過最高點時速度為零B.小球開始運動時繩對小球的拉力為meq\f(v\o\al（2，0)，L)C.小球過最高點時繩對小球的拉力為mgD.小球過最高點時速度大小為eq\r(gL)答案D解析小球剛好過最高點時，拉力T＝0，則mg＝eq\f(mv2，L），得v＝eq\r(gL），故A、C錯誤，D正確；開始時小球受到的拉力與重力的合力提供向心力,所以：T－mg＝eq\f（mv\o\al（2，0),L）,所以T＝mg＋eq\f（mv\o\al(2，0），L)，故B項錯誤，故選D。2。如圖1所示，質量相等的汽車甲和汽車乙，以相等的速率沿同一水平彎道做勻速圓周運動，汽車甲在汽車乙的外側。兩車沿半徑方向受到的摩擦力分別為f甲和f乙。以下說法正確的是()圖1A。f甲小于f乙B。f甲等于f乙C.f甲大于f乙D。f甲和f乙的大小均與汽車速率無關答案A解析汽車在水平面內做勻速圓周運動，摩擦力提供做勻速圓周運動的向心力，即f＝F向心＝meq\f(v2，r），由于r甲＞r乙，則f甲＜f乙,A正確.3。如圖2所示，某公園里的過山車駛過軌道的最高點時，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒，若軌道半徑為R，人體重為mg,要使乘客經過軌道最高點時對座椅的壓力等于自身的重力,則過山車在最高點時的速度大小為（）圖2A.0B。eq\r（gR）C。eq\r（2gR）D.eq\r（3gR）答案C解析由題意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2，R），故速度大小v＝eq\r(2gR),C正確.4.在鐵路轉彎處，往往外軌略高于內軌，關于這點下列說法不正確的是(）A.減輕火車輪子對外軌的擠壓B.減輕火車輪子對內軌的擠壓C。使火車車身傾斜，利用重力和支持力的合力提供轉彎所需向心力D。限制火車向外脫軌答案B5。長度為1m的輕桿OA的A端有一質量為2kg的小球，以O點為圓心,在豎直平面內做圓周運動，如圖3所示，小球通過最高點時的速度為3m/s，g取10m/s2，則此時小球將（）圖3A.受到18N拉力 B.受到38N的支持力C.受到2N的拉力 D。受到2N的支持力答案D解析設此時輕桿拉力大小為F,根據向心力公式有F＋mg＝meq\f（v2,r)，代入數值可得F＝－2N，表示小球受到2N的支持力，選項D正確.6.在高速公路的拐彎處,通常路面都是外高內低。如圖4所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側的路面比右側的路面低一些。汽車的運動可看做是半徑為R的圓周運動。設內、外路面高度差為h，路基的水平寬度為d,路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向(即垂直于前進方向）摩擦力等于零，則汽車轉彎時的車速應等于（）圖4A。eq\r(\f(gRh，L））B。eq\r(\f(gRh，d）)C.eq\r(\f（gRL,h））D。eq\r（\f（gRd，h))答案B解析設路面的傾角為θ，根據牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f（v2,R），又由數學知識可知tanθ＝eq\f(h，d)，聯立解得v＝eq\r（\f（gRh,d）），選項B正確.7.火車轉彎可近似看成是做勻速圓周運動，當火車以規定速度通過時，內外軌道均不受側向擠壓，如圖5?，F要降低火車轉彎時的規定速度，須對鐵路進行改造，從理論上講以下措施可行的是(）圖5A.減小內外軌的高度差 B。增加內外軌的高度差C。減小彎道半徑 D。增大彎道半徑答案AC解析當火車以規定速度通過彎道時，火車的重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示：即F＝mgtanθ，而F＝meq\f(v2,R)，故gRtanθ＝v2，若使火車經彎道時的速度v減小，則可以減小傾角θ，即減小內外軌的高度差，或者減小彎道半徑R，故A、C正確，B、D錯誤.8.如圖6所示,一個內壁光滑的彎管處于豎直平面內,其中管道半徑為R?，F有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運動,當小球通過最高點時速率為v0,則下列說法中正確的是(）圖6A.若v0＝eq\r(gR)，則小球對管內壁無壓力B.若v0>eq\r(gR）,則小球對管內上壁有壓力C。若0<v0〈eq\r(gR)，則小球對管內下壁有壓力D。不論v0多大，小球對管內下壁都有壓力答案ABC解析在最高點，只有重力提供向心力時，由mg＝meq\f（v\o\al(2，0），R）解得v0＝eq\r（gR），因此小球對管內壁無壓力，選項A正確.若v0>eq\r（gR），則有mg＋N＝meq\f（v\o\al（2,0)，R)，表明小球對管內上壁有壓力，選項B正確.若0<v0<eq\r（gR），則有mg－N＝meq\f(v\o\al（2,0),R),表明小球對管內下壁有壓力，選項C正確.綜上分析，選項D錯誤。9.長為l的輕桿一端固定著一個小球A,另一端可繞光滑水平軸O在豎直面內做圓周運動，如圖7所示,下列敘述符合實際的是（)圖7A.小球在最高點的速度至少為eq\r（gl)B.小球在最高點的速度大于eq\r（gl)時，受到桿的拉力作用C。當球在直徑ab下方時，一定受到桿的拉力D.當球在直徑ab上方時，一定受到桿的支持力答案BC解析小球在最高點的速度最小可以為0，選項A錯誤；球在最高點的速度大于eq\r(gl）時,向心力大于mg,一定受到桿的拉力作用，選項B正確；當球在直徑ab下方時，重力和輕桿彈力的合力提供向心力，小球一定受到桿的拉力,選項C正確；當球在直徑ab上方時，可能受到桿的支持力或拉力或不受桿的作用力，選項D錯誤。10.2013年6月20日，航天員王亞平在運行的“天宮一號”內上了節物理課，做了如圖8所示的演示實驗,當小球在最低點時給其一初速度，小球能在豎直平面內繞定點O做勻速圓周運動。若把此裝置帶回地球表面，僅在重力場中，仍在最低點給小球相同初速度