二、數字積分法插補數字積分法又稱數字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡稱DDA)。采用該方法進行插補，具有運算速度快，邏輯功能強，脈沖分配均勻等特點，且只輸入很少的數據，就能加工出直線、圓弧等較復雜的曲線軌跡，精度也能滿足要求。因此，該方法在數控系統中得到廣泛的應用。二、數字積分法插補數字積分法又稱數字微分分析器（Digita1（一）數字積分的基本原理如圖：從時刻t=0到t，函數Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時間劃分成時間間隔為Δt的有限區間，當Δt足夠小時，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運算可用一系列微小矩形面積累加求和來近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）數字積分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott02若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運算，即積分運算可用數字積分器來實現，n-1i=0被積函數寄存器+累加器（余數寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：n-1i=0被積3若求曲線與坐標軸所包圍的面積，求解過程如下：被積函數寄存器用以存放Y值，每當Δt出現一次，被積函數寄存器中的Y值就與累加器中的數值相加一次，并將累加結果存于累加器中，如果累加器的容量為一個單位面積，則在累加過程中，每超過一個單位面積，累加器就有溢出。當累加次數達到累加器的容量時，所產生的溢出總數就是要求的總面積，即積分值。被積函數寄存器+累加器（余數寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲線與坐標軸所包圍的面積，求解過程如下：被積函數寄存器+4被積函數寄存器與累加器相加的計算方法：例：被積函數寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數為5，求累加過程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經過2=8次累加完成積分運算，因為有5次溢出，所以積分值等于5。①①①①①3被積函數寄存器與累加器相加的計算方法：①①①①①35(二)數字積分直線插補如圖:直線段OA，起點位于原點，終點為A(Xe,Ye)，東電沿X、Y坐標移動的速度為Vx、Vy，則動點沿X、Y坐標移動的微小增量為：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若動點沿OA勻速移動，V、Vx、Vy均為常數，則有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)數字積分直線插補XOYA(Xe,Ye)VxVyV==6因而可以得到坐標微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把動點從原點走向終點的過程看作X、Y坐標每經過一個單位時間間隔以KXe、KYe進行累加的過程，則可得直線積分插補近似表達式為：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐標微小位移增量為：XOYA(Xe,Ye)VxV7由此可以得到直線插補的數字積分插補器：JVx(KXe)(被積函數寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被積函數寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY由此可以得到直線插補的數字積分插補器：JVx(KXe)(8設經過m次累加，X、Y坐標分別達到終點，則有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由該式可知：mK=1,即m=1/K這樣，經過m次累加后，X、Y坐標分別到達終點，而溢出脈沖總數即為：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1設經過m次累加，X、Y坐標分別達到終點，則有：XOYA(Xe9確定K的取值：根據每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保證每次分配的進給脈沖不超過1，即需滿足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為2–1。若取K=1/2、則必定滿足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，動點從原點到達終點的累加次數為：m=1/K=2nnnnnnn確定K的取值：nnnnnnn10例：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點為A(5,3)。取被積函數寄存器分別為JVx，JVy，余數寄存器分別為JRx、JRy，終點計數器為

JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)例：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點11插補計算過程如下累加次數(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點計數器JE備注012345678101000011000初始狀態101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進位，ΔX溢出1101110011101JRy有進位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時溢出JE=0，插補結束插補計算過程如下累加X積分器JVxJRx溢出Y積分器J12加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)13作業：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點為A(2,6)。取被積函數寄存器分別為JVx，JVy，余數寄存器分別為JRx、JRy，終點計數器為

JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345A(2,6)612作業：XOY12345A(2,6)61214插補計算過程如下：累加次數(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點計數器JE備注012345678010000110000初始狀態010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有進位，ΔY溢出1101100101101JRy有進位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同時溢出010110011ΔX,ΔY同時無溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同時溢出JE=0，插補結束111插補計算過程如下：累加X積分器JVxJRx溢出Y積分器15加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)612加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)61216(三)數字積分圓弧插補如圖所示，設加工半徑為R的第一象限逆時針圓弧AB，坐標原點定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點，B(Xe,Ye)為圓弧終點，Pi(Xi,Yi)為加工動點。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)數字積分圓弧插補XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)17

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt設Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如圖所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)18由可看出，用DDA法進行圓弧插補時，是對加工動點的坐標Xi和Yi的值分別進行累加，若積分累加器有溢出，則相應坐標軸進給一步，則圓弧積分插補器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn19圓弧積分插補器：JVx(Y)(被積函數寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy(X)(被積函數寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY圓弧積分插補器：JVx(Y)(被積函數寄存器)+JRy(20例：設圓弧AB為第一象限逆圓弧，起點A（５，0）,終點為B（0,５），用DDA法加工圓弧AB。XOY1234512345例：設圓弧AB為第一象限逆圓弧，起點A（５，0）,終點為B（21插補計算過程如下：累加次數(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點計數器

備注012345000000101101初始狀態000000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010ΔY溢出,修正Yi100001101111100ΔX,ΔY無溢出010100011ΔY溢出修正Yi100001010ΔY溢出修正Yi11Y終點計數器

1011011011011101插補計算過程如下：累加X積分器JVxJRy溢出Y積分器22插補計算過程如下：累加次數(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點計數器

備注67911011111101010無溢出011010110100100100101101101010101100100011011011001ΔXΔY同時溢出,修正Xi,Yi010011011000ΔXΔY同時溢出,Y到終點停止迭代100ΔX溢出修正XiY終點計數器

101100010118110100100111無溢出11101110110111插補計算過程如下：累加X積分器JVxJRy溢出Y積分器23插補計算過程如下：累加次數(Δt）X積分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY積分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX終點計數器

備注12101001010ΔX溢出修正Xi101101001000Y終點計數器

00114011000001113110001001無溢出1ΔX溢出修正XiX到達終點。結束插補。插補計算過程如下：累加X積分器JVxJRy溢出Y積分器24二、數字積分法插補數字積分法又稱數字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡稱DDA)。采用該方法進行插補，具有運算速度快，邏輯功能強，脈沖分配均勻等特點，且只輸入很少的數據，就能加工出直線、圓弧等較復雜的曲線軌跡，精度也能滿足要求。因此，該方法在數控系統中得到廣泛的應用。二、數字積分法插補數字積分法又稱數字微分分析器（Digita25（一）數字積分的基本原理如圖：從時刻t=0到t，函數Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時間劃分成時間間隔為Δt的有限區間，當Δt足夠小時，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運算可用一系列微小矩形面積累加求和來近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）數字積分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott026若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運算，即積分運算可用數字積分器來實現，n-1i=0被積函數寄存器+累加器（余數寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：n-1i=0被積27若求曲線與坐標軸所包圍的面積，求解過程如下：被積函數寄存器用以存放Y值，每當Δt出現一次，被積函數寄存器中的Y值就與累加器中的數值相加一次，并將累加結果存于累加器中，如果累加器的容量為一個單位面積，則在累加過程中，每超過一個單位面積，累加器就有溢出。當累加次數達到累加器的容量時，所產生的溢出總數就是要求的總面積，即積分值。被積函數寄存器+累加器（余數寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲線與坐標軸所包圍的面積，求解過程如下：被積函數寄存器+28被積函數寄存器與累加器相加的計算方法：例：被積函數寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數為5，求累加過程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經過2=8次累加完成積分運算，因為有5次溢出，所以積分值等于5。①①①①①3被積函數寄存器與累加器相加的計算方法：①①①①①329(二)數字積分直線插補如圖:直線段OA，起點位于原點，終點為A(Xe,Ye)，東電沿X、Y坐標移動的速度為Vx、Vy，則動點沿X、Y坐標移動的微小增量為：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若動點沿OA勻速移動，V、Vx、Vy均為常數，則有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)數字積分直線插補XOYA(Xe,Ye)VxVyV==30因而可以得到坐標微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把動點從原點走向終點的過程看作X、Y坐標每經過一個單位時間間隔以KXe、KYe進行累加的過程，則可得直線積分插補近似表達式為：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐標微小位移增量為：XOYA(Xe,Ye)VxV31由此可以得到直線插補的數字積分插補器：JVx(KXe)(被積函數寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被積函數寄存器)+ΔtΔXX軸溢出脈沖Y軸溢出脈沖ΔY由此可以得到直線插補的數字積分插補器：JVx(KXe)(32設經過m次累加，X、Y坐標分別達到終點，則有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由該式可知：mK=1,即m=1/K這樣，經過m次累加后，X、Y坐標分別到達終點，而溢出脈沖總數即為：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1設經過m次累加，X、Y坐標分別達到終點，則有：XOYA(Xe33確定K的取值：根據每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保證每次分配的進給脈沖不超過1，即需滿足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為2–1。若取K=1/2、則必定滿足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，動點從原點到達終點的累加次數為：m=1/K=2nnnnnnn確定K的取值：nnnnnnn34例：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點為A(5,3)。取被積函數寄存器分別為JVx，JVy，余數寄存器分別為JRx、JRy，終點計數器為

JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)例：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點35插補計算過程如下累加次數(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點計數器JE備注012345678101000011000初始狀態101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進位，ΔX溢出1101110011101JRy有進位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時溢出JE=0，插補結束插補計算過程如下累加X積分器JVxJRx溢出Y積分器J36加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)37作業：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點為A(2,6)。取被積函數寄存器分別為JVx，JVy，余數寄存器分別為JRx、JRy，終點計數器為

JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345A(2,6)612作業：XOY12345A(2,6)61238插補計算過程如下：累加次數(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點計數器JE備注012345678010000110000初始狀態010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有進位，ΔY溢出1101100101101JRy有進位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同時溢出010110011ΔX,ΔY同時無溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同時溢出JE=0，插補結束111插補計算過程如下：累加X積分器JVxJRx溢出Y積分器39加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)612加工軌跡如下：XOY12345A(2,6)61240(三)數字積分圓弧插補如圖所示，設加工半徑為R的第一象限逆時針圓弧AB，坐標原點定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點，B(Xe,Ye)為圓弧終點，Pi(Xi,Yi)為加工動點。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)數字積分圓弧插補XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)41

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標微小位移增量為：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt設Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如圖所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)42由可看出，用DDA法進行圓弧插補時，是對加工動點的坐標Xi和Yi的值分別進行累加，若積分累加器有溢出，則相應坐標軸進給一步，則圓弧積分插補器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn43圓弧積分插補器：JVx(Y)(被積函數寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy