高中數學必修51.1正弦定理2022/12/301高中數學必修51.1正弦定理2022/12/291一.創設情境

某游覽風景區欲在兩山之間架設一條觀光索道,現要測的兩山之間B、C兩點的距離,如何求得B、C兩點的距離?.C

現在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點處測得∠A=600，在C點測得∠C=450,如何求得B.C兩點的距離?.B.A探究1：你能把它轉化成數學問題，寫出已知量和要求的量嗎？2一.創設情境某游覽風景區欲在兩山之間架設一條ABC1000米探究2：在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？二.學生活動3ABC1000米探究2：在三角形ABC中，二.學生活動3討論一：直角三角形中邊角關系有哪些？你能總結出一個式子嗎？這個式子對所有三角形都適用嗎？2022/12/304討論一：直角三角形中邊角關系有哪些？你能總結出一個在Rt△ABC中,各角與其對邊的關系:不難得到:CBAabc數學建構2022/12/305在Rt△ABC中,各角與其對邊的關系:不難得到:CBAabc實驗認證，體驗感知

利用《幾何畫板》，在任意三角形中對上述猜想進行驗證。猜想：對于任意三角形ABC,都有驗證能代替證明嗎？2022/12/306實驗認證，體驗感知猜想：對于任意三角形ABC,都有驗證能代在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB2022/12/307在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB2022/討論三：以上證明方法體現了一種什么樣的數學思維規律？答體現了由特殊到一般的數學思維規律。2022/12/308討論三：以上證明方法體現了一種什么樣的數學思維規二.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即1它適合于任何三角形。2每個等式可視為一個方程：知三求一2022/12/309二.正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角1它適討論四：什么叫解三角形？利用正弦定理可以解決哪兩類三角形的問題？2022/12/3010討論四：什么叫解三角形？利用正弦定理可以解決哪兩類解三角形是指由六個元素（三角形的三條邊和三個角）中的三個已知元素，求其余三個未知元素的過程.探究：具備下列哪個條件，可以直接使用正弦定理解三角形？答案：（1）（4）2022/12/3011解三角形是指由六個元素（三角形的三條邊和三個角）中的三個已知剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題：①已知兩角和一邊，求其他角和邊.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角.2022/12/3012剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題：①已知例1.（開頭引例）在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？ABC1000米解:由正弦定理得:∴∴已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角四.數學應用2022/12/3013例1.（開頭引例）在三角形ABC中，ABC1000米解:由例1.（開頭引例）在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？ABC1000米已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角四.數學應用變題1.在△ABC中，已知A=45

C=30,求b2022/12/3014例1.（開頭引例）在三角形ABC中，ABC1000米已知兩例2已知a=16，b=，A=30°

解三角形。解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當時Ｂ＝60°C=90°C=30°當Ｂ＝120°時B16300ABC16316已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角2022/12/3015例2已知a=16，b=，A=30°解在△ABC中，已知a=16，b=，B=45°

.求角A，C和邊c變題解：由正弦定理得所以A＝30°,或A＝150°當時A＝30°C=105°所以C無解當A＝150°時已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角在三角形中大邊對大角要當心哦!所以四.數學應用2022/12/3016在△ABC中，已知a=16，b=，三角形中的邊角關系正弦定理定理內容定理證明定理應用學生總結1.已知三角形的兩角及任一邊；2.已知三角形的兩邊及其一邊所對的角。2022/12/3017三角形中的邊角關系正弦定理定理內容定理證明定理應用學生總結1五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定A解:(1)由正弦定理得:又,所以即三角形ABC有一解.2022/12/3018五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定AB解:(２)由正弦定理得:即三角形ABC有兩解.又且a<b所以或2022/12/3019練習（1）已知中，A=30°，a=1，b練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定ABＣ解:(３)由正弦定理得:即三角形ABC無解.所以Ｂ無解2022/12/3020練習（1）已知中，A=30°，a=1，b作業：課本第11頁習題1.1的1(1)、（3）、(4),2(1)、(2)題;2022/12/3021作業：課本第11頁習題1.1的2022/12/2921RTX討論五：為什么在“已知兩邊及其中一邊對角”解三角形問題中有一解、兩解和無解三種情況？2022/12/3022RTX討論五：為什么在“已知兩邊及其中一邊對角已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡ為直角或鈍角a>b一解a≤b無解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab數學建構2022/12/3023已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:2022/12/3024若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:已知a,b和A,用正弦定理已知中，A=30°，a=m

，c=10，有兩解，則m范圍是

。思考解:ＡＢcm即2022/12/3025已知中，A=30°，a=m，c=10，五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定A解:(1)由正弦定理得:又,所以即三角形ABC有一解.ＡＢＣa=bsinAb2022/12/3026五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定AB解:(２)由正弦定理得:即三角形ABC有兩解.又且a<b所以或ＡＢ１Ｂ２Ｃab2022/12/3027練習（1）已知中，A=30°，a=1，b練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定ABＣ解:(３)由正弦定理得:即三角形ABC無解.所以Ｂ無解ＡＣab2022/12/3028練習（1）已知中，A=30°，a=1，b1.根據下列條件解三角形：（2）（1）1.(1)(2)練習答案六.補充作業2022/12/30291.根據下列條件解三角形：（2）（1）1.(1)(2)練習答作業：課本第11頁習題1.1的1(1)、（3）、(4),2(1)、(2)題;2022/12/3030作業：課本第11頁習題1.1的2022/12/2930高中數學必修51.1正弦定理2022/12/3031高中數學必修51.1正弦定理2022/12/291一.創設情境

某游覽風景區欲在兩山之間架設一條觀光索道,現要測的兩山之間B、C兩點的距離,如何求得B、C兩點的距離?.C

現在岸邊選定1公里的基線AB,并在A點處測得∠A=600，在C點測得∠C=450,如何求得B.C兩點的距離?.B.A探究1：你能把它轉化成數學問題，寫出已知量和要求的量嗎？32一.創設情境某游覽風景區欲在兩山之間架設一條ABC1000米探究2：在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？二.學生活動33ABC1000米探究2：在三角形ABC中，二.學生活動3討論一：直角三角形中邊角關系有哪些？你能總結出一個式子嗎？這個式子對所有三角形都適用嗎？2022/12/3034討論一：直角三角形中邊角關系有哪些？你能總結出一個在Rt△ABC中,各角與其對邊的關系:不難得到:CBAabc數學建構2022/12/3035在Rt△ABC中,各角與其對邊的關系:不難得到:CBAabc實驗認證，體驗感知

利用《幾何畫板》，在任意三角形中對上述猜想進行驗證。猜想：對于任意三角形ABC,都有驗證能代替證明嗎？2022/12/3036實驗認證，體驗感知猜想：對于任意三角形ABC,都有驗證能代在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB2022/12/3037在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?AcbaCB2022/討論三：以上證明方法體現了一種什么樣的數學思維規律？答體現了由特殊到一般的數學思維規律。2022/12/3038討論三：以上證明方法體現了一種什么樣的數學思維規二.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即1它適合于任何三角形。2每個等式可視為一個方程：知三求一2022/12/3039二.正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角1它適討論四：什么叫解三角形？利用正弦定理可以解決哪兩類三角形的問題？2022/12/3040討論四：什么叫解三角形？利用正弦定理可以解決哪兩類解三角形是指由六個元素（三角形的三條邊和三個角）中的三個已知元素，求其余三個未知元素的過程.探究：具備下列哪個條件，可以直接使用正弦定理解三角形？答案：（1）（4）2022/12/3041解三角形是指由六個元素（三角形的三條邊和三個角）中的三個已知剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題：①已知兩角和一邊，求其他角和邊.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角.2022/12/3042剖析定理、加深理解正弦定理可以解決三角形中哪類問題：①已知例1.（開頭引例）在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？ABC1000米解:由正弦定理得:∴∴已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角四.數學應用2022/12/3043例1.（開頭引例）在三角形ABC中，ABC1000米解:由例1.（開頭引例）在三角形ABC中，如何求邊BC的長呢？ABC1000米已知兩角和任一邊求其他兩邊和一角四.數學應用變題1.在△ABC中，已知A=45

C=30,求b2022/12/3044例1.（開頭引例）在三角形ABC中，ABC1000米已知兩例2已知a=16，b=，A=30°

解三角形。解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當時Ｂ＝60°C=90°C=30°當Ｂ＝120°時B16300ABC16316已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角2022/12/3045例2已知a=16，b=，A=30°解在△ABC中，已知a=16，b=，B=45°

.求角A，C和邊c變題解：由正弦定理得所以A＝30°,或A＝150°當時A＝30°C=105°所以C無解當A＝150°時已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角在三角形中大邊對大角要當心哦!所以四.數學應用2022/12/3046在△ABC中，已知a=16，b=，三角形中的邊角關系正弦定理定理內容定理證明定理應用學生總結1.已知三角形的兩角及任一邊；2.已知三角形的兩邊及其一邊所對的角。2022/12/3047三角形中的邊角關系正弦定理定理內容定理證明定理應用學生總結1五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定A解:(1)由正弦定理得:又,所以即三角形ABC有一解.2022/12/3048五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定AB解:(２)由正弦定理得:即三角形ABC有兩解.又且a<b所以或2022/12/3049練習（1）已知中，A=30°，a=1，b練習（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定ABＣ解:(３)由正弦定理得:即三角形ABC無解.所以Ｂ無解2022/12/3050練習（1）已知中，A=30°，a=1，b作業：課本第11頁習題1.1的1(1)、（3）、(4),2(1)、(2)題;2022/12/3051作業：課本第11頁習題1.1的2022/12/2921RTX討論五：為什么在“已知兩邊及其中一邊對角”解三角形問題中有一解、兩解和無解三種情況？2022/12/3052RTX討論五：為什么在“已知兩邊及其中一邊對角已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡ為直角或鈍角a>b一解a≤b無解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab數學建構2022/12/3053已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角．Ａ為銳角a<bsinA無解若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:2022/12/3054若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:已知a,b和A,用正弦定理已知中，A=30°，a=m

，c=10，有兩解，則m范圍是

。思考解:ＡＢcm即2022/12/3055已知中，A=30°，a=m，c=10，五、當堂檢測（1）已知中，A=30°，a=1，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（2）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定（3）已知中,A=30°,a=，b=2，則（）

A、有一解B、有兩解C、無解D、不能確定A解:(1)由正弦定理得:又,所以