5.1向量【基礎知識精講】1.向量的定義既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向線段表示.表示從點A到B的向量(即A為起點，B為終點的向量)，也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑體a、b、c，書寫用、、注意：長度、面積、體積、質量等為數量，位移、速度、力等為向量).2.向量的模所謂向量的大小，就是向量的長度(或稱模)，記作｜｜或者｜｜.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.3.零向量與單位向量：長度為0的向量稱為零向量，用表示.向量的方向是不定的，或者說任何方向都是向量的方向，因此向量有兩個特征：一長度為0；二是方向不定.長度為1的向量稱為單位向量.4.平行向量、共線向量方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.特別規定零向量與任一向量都平行.因此，零向量與零向量也可以平行.根據平行向量的定義可知：共線的兩向量也可以稱為平行向量.例如與也是一對平行向量.由于任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量.例如，若四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與是一組共線向量；向量與也是一組共線向量.5.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量與向量相等，記作=.零向量與零向量相等，任意兩個相等的非零向量都可以用一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關.【重點難點解析】通過本節學習，應該掌握：(1)理解向量、零向量、單位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的幾何表示，會用字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共線向量的概念.例1判斷下列各命題是否正確(1)若｜｜=｜｜，則=(2)若A、B、C、D是不共線的四點，則=是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件.(3)若=,=,則=(4)兩向量、相等的充要條件是(5)｜｜=｜｜是向量=的必要不充分條件.(6)=的充要條件是A與C重合，B與D重合.解：(1)不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.(2)正確.∵=,∴｜｜=｜｜且∥.又A、B、C、D是不共線的四點.∴四邊形ABCD是平行四邊形，反之，若四邊形ABCD是平行四邊形則∥DC，且與方向相同，因此=.(3)正確.∵=∴，的長度相等且方向相同；又∵=∴，的長度相等且方向相同.∴，的長度相等且方向相同，故=(4)不正確.當∥,但方向相反，即使｜｜=｜｜，也不能得到=，故不是=的充要條件.(5)正確.這是因為=,但=｜｜=｜｜,所以｜｜=｜｜是=的必要不充分條件.(6)不正確.這是因為=時，應有：｜｜=｜｜及由A到B與由C到D的方向相同，但不一定要有A與C重合、B與D重合.說明：①針對上述結論(1)、(4)、(5)，我們應該清醒的認識到，兩非零向、相等的充要條件應是、的方向相同且模相等.②針對結論(3)，我們應該理解向量相等是可傳遞的.③結論(6)不正確，告訴我們平面向量與相等，并不要求它們有相同的起點與終點.當然如果我們將相等的兩向量的起點平移到同一點.則這時它們的終點必重合.例2如圖所示，△ABC中，三邊長｜AB｜、｜BC｜、｜AC｜均不相等，E、F、D是AC，AB，BC的中點.(1)寫出與共線的向量.(2)寫出與的模大小相等的向量.(3)寫出與相等的向量.解：(1)∵E、F分別是AC，AB的中點∴EF∥BC從而，與共線的向量，包括：，，，，，，.(2)∵E、F、D分別是AC、AB、BC的中點∴EF=BC,BD=DC=BC.又∵AB、BC、AC均不相等從而，與的模大小相等的向量是：、、、、(3)與相等的向量，包括：、.例3判斷下列命題真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共線向量一定相等.(3)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等的向量.(4)不相等的向量，則一定不平行.(5)非零向量的單位向量是±.解：(1)假命題，還可以方向相反；(2)假命題，共線向量僅方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命題，因為向量與起點位置無關；(4)假命題，因為若,方向相同，但只要｜｜≠｜｜，則≠.(5)真命題，任一非零向量：的單位向量為±.例4如圖，已知：四邊形ABCD中，N、M分別是AD、BC的中點，又=.求證：=，證明：∵=∴｜AB｜=｜DC｜，且AB∥DC.從而，四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD∥BC，AD=BC∵N、M分別是AD、BC的中點.∴AN=AD,MC=BC.∴AN=MC.又AN∥MC，∴四邊形AMCN是平行四邊形.于是得：AM∥NC，｜AM｜=｜NC｜.又由圖可知：與的方向一致.∴=【難題巧解點拔】例1如圖，已知四邊形ABCD是矩形，O是兩對角線AC與BD的交點，設點集M={A,B,C,D,O}、向量的集合T={｜任P，Q∈M，且P、Q不重合}，試求集合T的子集個數.分析：要確定向量為元素的集合T有多少個子集，就需搞清楚集合T中有多少個相異的向量.解：以矩形ABCD的四頂點及它的對角線交點O，五點中的任一點為起點，其余四點中的一點為終點的向量共有20個，但是這20個向量不是各不相等的，我們下面將這20個向量一一列舉出來：=、=;=、=;、；、；=、=;=、=.它們中有12個向量是各不相等的.故T是一個12元集.所以T有212個子集.說明：在上述解題過程中，我們一定要根據集合元素的互異性.算出T中的元素個數為12.而不是20.這樣才能得到正確的結果.例2已知；如圖，點D在△ABC的邊BC上，且與B、C不重合，E、F分別在AB、AC上，=.(1)求證：△BDE∽△DCF.(2)求當D在什么位置時，四邊形AEDF的面積可以取到最大值?證明：(1)∵=∴DF∥AE，｜DF｜=｜EA｜.從而，得：四邊形AEDF是平行四邊形∴DE∥AF，｜DE｜=｜AF｜由DE∥AF可得：∠BDE=∠C由DF∥AE可得：∠B=∠FDC∴△BDE∽△DCF(2)設｜BC｜=a,｜AC｜=b,｜AB｜=c,｜BD｜=x,則｜DC｜=a-x.∵△BDE∽△DCF.∴==從而，=，設比為k1.=，設比為k2.由｜BE｜+｜DF｜=c,｜ED｜+｜FC｜=b.可得：xk1+(a-x)k1=c,∴k1=.xk2+(a-x)k2=b,∴k2=.∴｜DF｜=(a-x)｜DE｜=x由點F作FT⊥AB，垂足為T由銳角三角函數，｜FT｜=｜AF｜sinA=x·sinA∴S□AEDF=｜DF｜·｜FT｜=(a-x)·x·sinA=(ax-x2)sinA=［-(x-)2］sinA≤sinA當且僅當x=時，等號成立.答：D是BC邊的中點時，S□AEDF取到最大值.例3如圖A1，A2，…A8是⊙O上的八個等分點，則在以A1，A2…A8及圓心O九個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個?模等于半徑倍的向量有多少個?分析：(1)由于A1、A2…A8是⊙O上的八個等分點，所以八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊及對角線長均與⊙O的半徑不相等.所以模等于半徑的向量只可能是與(i=1,2,…，8)兩類.(2)⊙O內接正方形的邊長是半徑的倍，所以我們應考慮與圓心O形成90°圓心角的兩點為端點的向量個數.解：(1)模等于半徑的向量只有兩類，一類是(i=1,2，…，8)共8個；另一類是(i=1,2,…,8)也有8個，兩類合計16個.(2)以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7；另一個是正方形A2A4A6A說明：(1)在模等于半徑的向量個數的計算中，要計算與(i=1，2，…，8)兩類，一般我們易想到(i=1,2,…，8)這8個，而易遺漏(i=1，2，…，8)這8個.(2)圓內接正方形的一邊對應了長為的兩個向量.例如邊A1A3對應向量與.因此與(1)一樣，在解題過程中主要要防止漏算.認為滿足條件的向量個數為8是錯誤的.【課本難題解答】課本第96頁練習第3題：(1)終點相同(2)終點不相同習題5.1第3題：===,==,===【命題趨勢分析】本節著重考查對向量的概念的理解，高考中將會以選擇題、填空題形式命題.【典型熱點考題】例1給出下列3個命題：(1)單位向量都相等；(2)單位向量都共線；(3)共線的單位向量必相等.其中真命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3分析：本題考查單位向量和共線向量的概念及它們之間的聯系等基礎知識，增加了考點，加大了難度.因為不同的單位向量有不同的方向，所以(1)和(2)較易判斷是假命題.因為共線的單位向量有可能方向相反，它們不一定相等，所以(3)也是假命題.∴選A.例2如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.(1)與向量相等的向量有；(2)若｜｜=3，則向量的模等于.分析：本題考查用向量的觀點對平面圖形進行初步判斷的能力，是容易題，由條件，可得=且=，所以=.于是E、D、C三點共線，故｜｜=｜｜+｜｜=2｜｜=6.答：(1)，；(2)6例3下列命題中，正確的是()A.｜｜=｜｜= B.｜｜＞｜｜＞C.=｜｜∥｜｜ D.｜｜=0=0 解：由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量、數字0是兩個不同的概念，零向量是不等于數字0的.∴應排除D，∴應選C.例4下列四個命題：①若｜｜=0,則=0；②若｜｜=｜｜,則=或=-；③若與是平行向量，則｜｜=｜｜；④若=，則-=正確命題個數是()A.1B.2C.3D.4分析：①是忽略了0與不同，由于｜｜=0=,但不能寫成0；②是對兩個向量的模相等與兩個實數相等混淆了，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相同，并不意味它們的方向相同或相反；③是對兩個向量平行的意義理解不透，兩個向量平行，只是這兩個向量的方向相同或相反，而它們的模不一定相等；④正確，故選A.本周強化練習：【同步達綱練習】一、選擇題1.下列命題中的假命題是()A.向量與的長度相等B.兩個相等向量若起點相同，則終點必相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等2.如圖，在圓O中，向量，，是()A.有相同起點的向量 B.單位向量C.相等的向量 D.模相等的向量3.如圖，△ABC中，DE∥BC，則其中共線向量有()A.一組 B.二組 C.三組 D.四組4.若是任一非零向量，是單位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1；⑤=，其中正確的有()A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤ D.②③⑤5.四邊形ABCD中，若向量與是共線向量，則四邊形ABCD()A.是平行四邊形 B.是梯形C.是平行四邊形或梯形 D.不是平行四邊形，也不是梯形6.把平面上所有單位向量歸結到共同的始點，那么這些向量的終點所構成的圖形是()A.一條線段 B.一個圓面C.圓上的一群弧立點 D.一個圓7.若，是兩個不平行的非零向量，并且∥,∥，則向量等于()A. B. C. D.不存在8.命題p：與是方向相同的非零向量，命題q:與是兩平行向量，則命題p是命題q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、判斷題1.向量與是兩平行向量.()2.若是單位向量，也是單位向量，則=.()3.長度為1且方向向東的向量是單位向量，長度為1而方向為北偏東30°的向量就不是單位向量.()4.與任一向量都平行的向量為向量.()5.若=,則A、B、C、D四點構成平行四邊形.()6.兩向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點也相同.()7.設O是正三角形ABC的中心，則向量的長度是長度的倍.()8.已知四邊形ABCD是菱形，則｜｜=｜｜是菱形ABCD為正方形的充要條件.()9.在坐標平面上，以坐標原點O為起點的單位向量的終點P的軌跡是單位圓.()10.凡模相等且平行的兩向量均相等.()三、填空題1.已知，，為非零向量，且與不共線，若∥，則與必定.2.已知｜｜=4,｜｜=8，∠AOB=60°，則｜｜=.3.如圖，已知O是正六邊形的中心，則在圖中所標出的各向量中，模等于該正六邊形邊長的向量共有個.4.如圖所示，四邊形ABCD與ABDE都是平行四邊形，則①與向量共線的向量有；②若｜｜=1.5,則｜｜=.5.已知四邊形ABCD中，=,且｜｜=｜｜,則四邊形ABCD的形狀是.四、解答題1.如圖，在△ABC中，已知：向量=,=,求證：=.2.在直角坐標系中，將所有與y軸共線的單位向量的起點移到x軸上，其終點的集合構成什么圖形?【素質優化訓練】1.已知、是任意兩個向量，下列條件：①=;②｜｜=｜｜;③與的方向相反；④=或=;⑤與都是單位向量.其中，哪些是向量與共線的充分不必要條件.2.已知ABCD是等腰梯形，AB∥DC，下列各式：①=;②=;③｜｜=｜｜;④｜｜≠｜｜;⑤∥.正確的式子的序號是.3.不相等的向量和，有可能是平行向量嗎?若不可能，請說明理由；若有可能，請把各種可能的情形一一列出.4.下列各組量是不是向量?如果是向量，說明這些向量之間有什么關系?(1)兩個三角形的面積S1，S2；(2)桌面上兩個物體各自受到的重力F1，F2；(3)某人向河對岸游泳的速度v1與水流的速度v2；(4)浮在水面上的物體受到的重力W和水的浮力F.【生活實際運用】