§2－4結點分析法及割集分析法

與用獨立電流變量來建立電路方程相類似，也可用獨立電壓變量來建立電路方程。在全部支路電壓中，只有一部分電壓是獨立電壓變量，另一部分電壓則可由這些獨立電壓根據KVL方程來確定。若用獨立電壓變量來建立電路方程，也可使電路方程數目減少。對于具有n個結點的連通電路來說，它的(n-1)個結點對第n個結點的電壓，就是一組獨立電壓變量。用這些結點電壓作變量建立的電路方程，稱為結點方程。這樣，只需求解(n-1)個結點方程，就可得到全部結點電壓，然后根據KVL方程可求出各支路電壓，根據VCR方程可求得各支路電流?！?－4結點分析法及割集分析法與用獨立電流變量來建立電1

一、結點電壓

在具有n個結點的連通電路(模型)中，可以選其中一個結點作為基準，其余(n-1)個結點相對基準結點的電壓，稱為結點電壓。將基準結點作為電位參考點或零電位點，各結點電壓就等于各結點電位。這些結點電壓不能構成一個閉合路徑，不能組成KVL方程，不受KVL約束，是一組獨立的電壓變量。由于任一支路電壓是其兩端結點電位之差或結點電壓之差，由此可求得全部支路電壓。一、結點電壓2例如圖示電路各支路電壓可表示為:例如圖示電路各支路電壓可表示為:3

二、結點方程

下面以圖示電路為例說明如何建立結點方程。對電路的三個獨立結點列出KCL方程：列出用結點電壓表示的電阻VCR方程：代人KCL方程中，經過整理后得到：二、結點方程

對電路的三個獨立結點列出KCL方程：列出用4寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結點自電導，它們分別是各結點全部電導的總和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2

+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)稱為結點i和j的互電導,是結點i和j間電導總和的負值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4

,G23=G32=-G6。

iS11、iS22、iS33是流人該結點全部電流源電流的代數和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很有規律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結點方程。寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結點自電導，它們5從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很有規律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結點方程。由獨立電流源和線性電阻構成的具有n個結點的連通電路，其結點方程的一般形式為：從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很6三、結點分析法計算舉例結點分析法的計算步驟如下：1．指定連通電路中任一結點為參考結點，用接地符號表示。標出各結點電壓，其參考方向總是獨立結點為”+”，參考結點為”-”。2．用觀察法列出(n-1)個結點方程。3．求解結點方程，得到各結點電壓。4．選定支路電流和支路電壓的參考方向，計算各支路電流和支路電壓。三、結點分析法計算舉例7例2－17用結點分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接地符號標出參考結點，標出兩個結點電壓u1和u2的參考方向，如圖所示。用觀察法列出結點方程：整理得到：解得各結點電壓為：選定各電阻支路電流參考方向如圖所示，可求得例2－17用結點分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接8

例2－18用結點分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結點和結點電壓如圖所示。用觀察法列出三個結點方程：整理得到:解得結點電壓求得另外三個支路電壓為：例2－18用結點分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結9四、含獨立電壓源電路的結點方程

當電路中存在獨立電壓源時，不能用式(2－30)建立含有電壓源結點的方程，其原因是沒有考慮電壓源的電流。若有電阻與電壓源串聯單口，可以先等效變換為電流源與電阻并聯單口后，再用式(2－30)建立結點方程。若沒有電阻與電壓源串聯，則應增加電壓源的電流變量來建立結點方程。此時，由于增加了電流變量，需補充電壓源電壓與結點電壓關系的方程。綜上所述，對于由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路來說，其結點方程的一般形式應改為以下形式四、含獨立電壓源電路的結點方程

10綜上所述，由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路，其結點方程的一般形式應改為以下形式其中iuskk是與第k個結點相連的全部電壓源電流的代數和，其電流參考方向流出該結點的取正號，相反的取負號。由于變量的增加，需要補充這些電壓源與相關結點電壓關系的方程，其一般形式如下:其中，vi

是連接到電壓源參考極性”+”端的結點電壓，vj是連接到電壓源參考極性”-”端的結點電壓。綜上所述，由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路，其結點方11例2－19用結點分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,i2。解：先將電壓源與電阻串聯等效變換為電流源與電阻并聯，如圖(b)所示。對結點電壓u來說

，圖(b)與圖(a)等效。只需列出一個結點方程。解得按照圖(a)電路可求得電流i1和i2

例2－19用結點分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,12例2－20用結點分析法求圖示電路的結點電壓。解：選定6V電壓源電流i的參考方向。計入電流變量i列出兩個結點方程：解得補充方程這種增加電壓源電流變量建立的一組電路方程，稱為改進的結點方程(modifiednodeequation)，它擴大了結點方程適用的范圍，為很多計算機電路分析程序采用。例2－20用結點分析法求圖示電路的結點電壓。解：選定6V13例2－21用結點分析法求圖示電路的結點電壓。解：由于14V電壓源連接到結點①和參考結點之間，結點①的結點電壓u1=14V成為已知量，可以不列出結點①的結點方程?？紤]到8V電壓源電流i列出的兩個結點方程為：補充方程代人u1=14V，整理得到：解得：例2－21用結點分析法求圖示電路的結點電壓。解：由于14V14五、割集分析法與結點分析法用n-1個結點電壓作為變量來建立電路方程類似，也可以用n-1個獨立支路電壓作為變量來建立電路方程。由于選擇支路電壓有較大的靈活性，當電路存在m個獨立電壓源時，其電壓是已知量，若能選擇這些支路電壓作為變量，就可以少列m個電路方程。五、割集分析法15求解方程得到

u2=12V現在用圖示電路為例加以說明。為了求得電壓u2，我們可以選擇支路電壓u2和兩個電壓源電壓作為變量，列出與圖示封閉面相交的幾條支路電流的KCL方程求解方程得到u2=12V現在用圖示電路為例加以說明162002年春節攝于成都人民公園2002年春節攝于成都人民公園17§2－4結點分析法及割集分析法

與用獨立電流變量來建立電路方程相類似，也可用獨立電壓變量來建立電路方程。在全部支路電壓中，只有一部分電壓是獨立電壓變量，另一部分電壓則可由這些獨立電壓根據KVL方程來確定。若用獨立電壓變量來建立電路方程，也可使電路方程數目減少。對于具有n個結點的連通電路來說，它的(n-1)個結點對第n個結點的電壓，就是一組獨立電壓變量。用這些結點電壓作變量建立的電路方程，稱為結點方程。這樣，只需求解(n-1)個結點方程，就可得到全部結點電壓，然后根據KVL方程可求出各支路電壓，根據VCR方程可求得各支路電流?！?－4結點分析法及割集分析法與用獨立電流變量來建立電18

一、結點電壓

在具有n個結點的連通電路(模型)中，可以選其中一個結點作為基準，其余(n-1)個結點相對基準結點的電壓，稱為結點電壓。將基準結點作為電位參考點或零電位點，各結點電壓就等于各結點電位。這些結點電壓不能構成一個閉合路徑，不能組成KVL方程，不受KVL約束，是一組獨立的電壓變量。由于任一支路電壓是其兩端結點電位之差或結點電壓之差，由此可求得全部支路電壓。一、結點電壓19例如圖示電路各支路電壓可表示為:例如圖示電路各支路電壓可表示為:20

二、結點方程

下面以圖示電路為例說明如何建立結點方程。對電路的三個獨立結點列出KCL方程：列出用結點電壓表示的電阻VCR方程：代人KCL方程中，經過整理后得到：二、結點方程

對電路的三個獨立結點列出KCL方程：列出用21寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結點自電導，它們分別是各結點全部電導的總和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2

+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)稱為結點i和j的互電導,是結點i和j間電導總和的負值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4

,G23=G32=-G6。

iS11、iS22、iS33是流人該結點全部電流源電流的代數和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很有規律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結點方程。寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結點自電導，它們22從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很有規律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結點方程。由獨立電流源和線性電阻構成的具有n個結點的連通電路，其結點方程的一般形式為：從上可見，由獨立電流源和線性電阻構成電路的結點方程，其系數很23三、結點分析法計算舉例結點分析法的計算步驟如下：1．指定連通電路中任一結點為參考結點，用接地符號表示。標出各結點電壓，其參考方向總是獨立結點為”+”，參考結點為”-”。2．用觀察法列出(n-1)個結點方程。3．求解結點方程，得到各結點電壓。4．選定支路電流和支路電壓的參考方向，計算各支路電流和支路電壓。三、結點分析法計算舉例24例2－17用結點分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接地符號標出參考結點，標出兩個結點電壓u1和u2的參考方向，如圖所示。用觀察法列出結點方程：整理得到：解得各結點電壓為：選定各電阻支路電流參考方向如圖所示，可求得例2－17用結點分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接25

例2－18用結點分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結點和結點電壓如圖所示。用觀察法列出三個結點方程：整理得到:解得結點電壓求得另外三個支路電壓為：例2－18用結點分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結26四、含獨立電壓源電路的結點方程

當電路中存在獨立電壓源時，不能用式(2－30)建立含有電壓源結點的方程，其原因是沒有考慮電壓源的電流。若有電阻與電壓源串聯單口，可以先等效變換為電流源與電阻并聯單口后，再用式(2－30)建立結點方程。若沒有電阻與電壓源串聯，則應增加電壓源的電流變量來建立結點方程。此時，由于增加了電流變量，需補充電壓源電壓與結點電壓關系的方程。綜上所述，對于由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路來說，其結點方程的一般形式應改為以下形式四、含獨立電壓源電路的結點方程

27綜上所述，由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路，其結點方程的一般形式應改為以下形式其中iuskk是與第k個結點相連的全部電壓源電流的代數和，其電流參考方向流出該結點的取正號，相反的取負號。由于變量的增加，需要補充這些電壓源與相關結點電壓關系的方程，其一般形式如下:其中，vi

是連接到電壓源參考極性”+”端的結點電壓，vj是連接到電壓源參考極性”-”端的結點電壓。綜上所述，由獨立電壓源，獨立電流源和電阻構成的電路，其結點方28例2－19用結點分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,i2。解：先將電壓源與電阻串聯等效變換為電流源與電阻并聯，如圖(b)所示。對結點電壓u來說

，圖(b)與圖(a)等效。只需列出一個結點方程。解得按照圖(a)電路可求得電流i1和i2

例2－19用結點分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,29例2－20用結點分析法求圖示電路的結點電壓。解：選定6V電壓源電流i的參考方向。計入電流變量i列出兩個結點方程：解得補