研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單

用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)構(gòu)造和求解模型盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來(lái)建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.

第二章初等模型研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建

第二章

初等模型2.1

雙層玻璃窗的功效2.2

劃艇比賽的成績(jī)2.3

實(shí)物交換

2.4

汽車(chē)剎車(chē)距離與道路通行能力2.5估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)2.6評(píng)選舉重總冠軍2.7解讀CPI2.8

核軍備競(jìng)賽2.9

揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.10節(jié)水洗衣機(jī)第二章2.1雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.1雙層玻璃窗的功效雙層單層2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過(guò)天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=2.2劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000m成績(jī)t(min)種類(lèi)1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)

槳手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系.試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l/b,w0/n

基本不變艇長(zhǎng)l

艇寬bl/b

(m)(m)7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.02.2劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000m成問(wèn)題分析

前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力

前進(jìn)動(dòng)力~槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定:劃槳功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力槳手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積

對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定.

運(yùn)用合適的物理定律建立模型.問(wèn)題分析前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力前進(jìn)動(dòng)力~模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒(méi)面積

s,浸沒(méi)體積A,空艇重w0,阻力f,槳手?jǐn)?shù)n,槳手功率

p,槳手體重

w,艇重W.艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比槳手的特征模型建立f

sv2,p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3,A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績(jī)

t

n

–1/9npfv,模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84線性最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn).與模型吻合！tn12487.216.886.325.84????O模型檢驗(yàn)nt線性最小二乘法利用4次國(guó)際大賽劃艇比賽的成績(jī)

對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.

利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題.

模型假設(shè)比較粗糙.

利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度).

模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合(巧合！)劃艇比賽的成績(jī)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.利問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分.研究實(shí)物交換方案.yxp.用x,y分別表示甲,乙占有X,Y的數(shù)量.設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y).xyy0Ox0??2.3實(shí)物交換問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的無(wú)差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差別的.MN將所有與p1,p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái),得到一條無(wú)差別曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上,于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）.xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的無(wú)差別曲線分析p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y.甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）甲的無(wú)差別曲線p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)xyOg(x,y)=c2c2乙的無(wú)差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）.

雙方的交換路徑xyy0Ox0f=c1O'x'y'g=c2乙的無(wú)差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x'O'y',且反向）甲的無(wú)差別曲線族f=c1ABp

P'

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p',(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模xyOg(x,y)=c2c2乙的無(wú)差別曲線族g(x,y)AB

交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無(wú)差別曲線族X(qián),Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CD.AB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)等價(jià)交換原則x0yy0O..xp.AB交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(2.4汽車(chē)剎車(chē)距離與道路通行能力提高道路通行能力是現(xiàn)代城市交通面臨的重要課題.背景和問(wèn)題車(chē)輛速度越高、密度越大，道路通行能力越大.

介紹交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律；

討論汽車(chē)剎車(chē)距離與道路通行能力兩個(gè)模型.

車(chē)速高，剎車(chē)距離變大，車(chē)輛密度將受到制約.需要對(duì)影響通行能力的因素進(jìn)行綜合分析.2.4汽車(chē)剎車(chē)距離與道路通行能力提高道路通行能力是現(xiàn)代城交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律流量q~某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的車(chē)輛數(shù)(輛/h)密度k~某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車(chē)輛數(shù)(輛/km)

速度v~某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面的車(chē)輛速度(km/h)

交通流~標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車(chē)在單方向道路上行駛形成的車(chē)流，沒(méi)有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響.借用物理學(xué)概念,將交通流看作一輛輛汽車(chē)組成的連續(xù)流體,用流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性.3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律流量q~某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某速度v與密度k的關(guān)系

vf~暢行車(chē)速(k=0時(shí))kj~阻塞密度(v=0時(shí))數(shù)據(jù)分析、機(jī)理分析流量q與密度k的關(guān)系車(chē)速v=vf/2時(shí)流量q最大密度k變大，流量q增加；k=kj/2時(shí)q最大；k繼續(xù)變大，q減小.

車(chē)流密度加大司機(jī)被迫減速交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律線性模型拋物線流量q與速度v的關(guān)系速度v與密度k的關(guān)系vf~暢行車(chē)速(k=0時(shí))kj~速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量時(shí)的密度vm=vf/2~最大流量時(shí)的速度交通流的主要參數(shù)及基本規(guī)律速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密車(chē)速越快剎車(chē)距離越長(zhǎng).剎車(chē)距離~從司機(jī)決定剎車(chē)到車(chē)完全停止行駛的距離.汽車(chē)剎車(chē)距離模型二者是線性關(guān)系嗎？車(chē)速v(km/h)20406080100120140剎車(chē)距離d(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5d與v不是線性關(guān)系！vd需對(duì)剎車(chē)過(guò)程作機(jī)理分析，建立d與v的數(shù)學(xué)模型.測(cè)試數(shù)據(jù)車(chē)速越快剎車(chē)距離越長(zhǎng).剎車(chē)距離~從司機(jī)決定剎車(chē)到車(chē)完全停止行問(wèn)題分析最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比,使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)常數(shù)剎車(chē)距離~反應(yīng)距離、制動(dòng)距離常數(shù)反應(yīng)距離~司機(jī)決定剎車(chē)到制動(dòng)器開(kāi)始起作用.制動(dòng)距離反應(yīng)距離反應(yīng)時(shí)間車(chē)速司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力車(chē)重、車(chē)速道路、氣候…制動(dòng)距離~制動(dòng)器開(kāi)始起作用到汽車(chē)完全停止.問(wèn)題分析最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比,使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)常數(shù)剎車(chē)模型假設(shè)1.剎車(chē)距離d為反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和.2.反應(yīng)距離d1與車(chē)速v成正比,比例系數(shù)為反應(yīng)時(shí)間.3.剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F：F作的功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變.F與車(chē)的質(zhì)量m成正比.模型假設(shè)1.剎車(chē)距離d為反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離F=

mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2d=d1+d2制動(dòng)距離為d2時(shí)，制動(dòng)力F作的功為Fd2車(chē)速?gòu)膙變成0，動(dòng)能的變化為mv2/2d2=

c2v2,c2=m/2F

d=c1v+c2v2參數(shù)估計(jì)調(diào)查交通工程學(xué)的相關(guān)資料：根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)模型作擬合.司機(jī)反應(yīng)時(shí)間c1約為0.7~1s，系數(shù)c2約為0.01(mh2/km2)c2=

1/2a

F=mad1=c1v模型建立Fd2=mv2/2城市通行能力模型道路通行能力~單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某斷面的最大車(chē)輛數(shù).通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的負(fù)荷.飽和度~流量與通行能力的比值,表示道路的負(fù)荷程度.通行能力~在安全條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車(chē)輛，以前后兩車(chē)最小車(chē)頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的最大車(chē)輛數(shù)N(輛/h).v~車(chē)速

(km/h)，D~最小車(chē)頭間隔(m)N=1000v/D城市通行能力模型道路通行能力~單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某斷面的最大車(chē)輛城市干道的通行能力最小車(chē)頭間隔D主要由剎車(chē)距離d決定：d0~車(chē)身標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度與兩車(chē)間安全距離之和，取固定值.

車(chē)速v一定時(shí)，道路通行能力N與c1，c2，d0（道路、車(chē)輛、司機(jī)等狀況）有關(guān).城市通行能力模型D=d+d0d=c1v+c2v2

N=1000v/D城市干道的通行能力最小車(chē)頭間隔D主要由剎車(chē)距離d決定：d0~

當(dāng)d0，c1，

c2變大時(shí)最大通行能力Nm減小.

城市通行能力模型

最大通行能力

當(dāng)d0，c1，c2變大時(shí)最大通行能力Nm減小.城市通行一些人喜歡記駛過(guò)身旁的汽車(chē)號(hào)碼.兩難境地的決策與朋友打賭的“骰子”共識(shí)：出現(xiàn)任何號(hào)碼汽車(chē)的機(jī)會(huì)相同.隨意記下駛過(guò)的10輛出租車(chē)牌號(hào)：0421,0128,0702,0410,0598,0674,0712,0529,0867,0312估計(jì)這座城市出租車(chē)的總數(shù).出租車(chē)牌號(hào)從某一個(gè)數(shù)字0101按順序發(fā)放.2.5估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)一些人喜歡記駛過(guò)身旁的汽車(chē)號(hào)碼.兩難境地的決策與朋友打賭的“估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)問(wèn)題分析0x0

x1

x2

x3

x4x5

x6x7

x8x9

x10x10個(gè)號(hào)碼從小到大重新排列.[x0,x]區(qū)間內(nèi)全部整數(shù)值~總體x1,x2,…

,x10~總體的一個(gè)樣本根據(jù)樣本和x0對(duì)總體的x作出估計(jì).起始號(hào)碼(已知)終止號(hào)碼(未知)出租車(chē)總數(shù)為

x-x0+1估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)問(wèn)題分析0x0x1起始號(hào)碼x0平移為0001模型建立總體~全部號(hào)碼{0001,0002,…

,x}樣本~總體中的n個(gè)號(hào)碼從小到大排列

x1,x2,…

,xn建立由x1,x2,…

,xn估計(jì)x的模型基本假定：每個(gè)xi取自總體中任一號(hào)碼的概率相等.x~出租車(chē)總數(shù)估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)起始號(hào)碼x0平移為0001模型建立總體~全部號(hào)碼{000模型1平均值模型

模型建立

總數(shù)是樣本均值的2倍模型1平均值模型

模型建立

總數(shù)是樣模型2中位數(shù)模型x0=1x1

x2

x3……xn-1

xn

xx1-1x-xn假定：樣本的最小值與最大值在總體中對(duì)稱(chēng).

模型3兩端間隔對(duì)稱(chēng)模型x1-1=x-xn

模型2中位數(shù)模型x0=1x1x2x模型4平均間隔模型把起始號(hào)碼和樣本排成數(shù)列：1,x1,x2,…

,xn,相鄰兩數(shù)有n個(gè)間隔：x11,x2x11,…

,xnxn-11

n個(gè)間隔的平均值

作為xn與x間隔的估計(jì)模型4平均間隔模型把起始號(hào)碼和樣本排成數(shù)列：1,模型5區(qū)間均分模型將總體區(qū)間[1,x]平均分成

n份.每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度

假定：樣本中每個(gè)xi都位于小區(qū)間的中點(diǎn).xxn應(yīng)是小區(qū)間長(zhǎng)度的一半

模型5區(qū)間均分模型將總體區(qū)間[1,x]平均分成計(jì)算與分析第1樣本：0321,0028,0602,0310,0498,0574,0612,0429,0767,0212第2樣本：0249,0739,0344,0148,0524,0284,0351,0089,0206,0327設(shè)定x0=0001

模型1模型2模型3模型4模型5最大相差第1樣本870926794843807134第2樣本651610827812778217相差221316333129用5個(gè)模型估計(jì)出租車(chē)總數(shù)x不合理(x=651,610<739)6516100739不穩(wěn)定（相差大）計(jì)算與分析第1樣本：0321,0028,0602,1.平均值模型

2.中位數(shù)模型

3.兩端間隔對(duì)稱(chēng)模型

4.平均間隔模型

5.區(qū)間均分模型

計(jì)算與分析用全部樣本，有統(tǒng)計(jì)依據(jù)

1.平均值模型

2.中位數(shù)模型

3.兩端間隔對(duì)稱(chēng)模型

數(shù)值模擬樣本估計(jì)結(jié)果與總體對(duì)比,評(píng)價(jià)各個(gè)模型.用5個(gè)模型分別對(duì)每個(gè)樣本估計(jì)總體x.畫(huà)m個(gè)樣本估計(jì)的x的直方圖，分析x的分布.給定總體{1,2,…

,x}，x=1000從總體中取n=10個(gè)數(shù)為一個(gè)樣本，共m=200個(gè)樣本對(duì)每個(gè)模型計(jì)算m個(gè)樣本估計(jì)的x的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差及平均值與真值x=1000間的誤差數(shù)值模擬樣本估計(jì)結(jié)果與總體對(duì)比,評(píng)價(jià)各個(gè)模型.用5個(gè)模型分

模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.41010.01005.6962.3平均值誤差23.237.410.05.6-37.7標(biāo)準(zhǔn)差170.1261.0126.390.987.0

模型1模型2模型3模型4模型5平均值986.5985.4980.8992.9950.1平均值誤差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9標(biāo)準(zhǔn)差181.4271.1107.986.682.8數(shù)值模擬第1次

模擬第2次

模擬總體x=1000,每個(gè)樣本n=10,m=200個(gè)樣本平均值誤差小標(biāo)準(zhǔn)差大標(biāo)準(zhǔn)差小平均值誤差大模型4(平均間隔模型)較優(yōu).5.690.9-7.186.6

模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.21037.模型1模型2模型3模型4模型5數(shù)值模擬第1次模擬的直方圖左低右高的非對(duì)稱(chēng)型左右對(duì)稱(chēng)型模型1模型2模型3模型4模型5數(shù)值模擬第1次模擬的直方圖左低模型中起始號(hào)碼已知(平移至1),限制了應(yīng)用范圍.小結(jié)與評(píng)注5個(gè)模型中平均值和中位數(shù)模型用到一點(diǎn)統(tǒng)計(jì)，其他3個(gè)模型來(lái)自常識(shí),后者竟然較前者更優(yōu).數(shù)值模擬是模型檢驗(yàn)的重要方法:給定總體通過(guò)模擬產(chǎn)生樣本,根據(jù)模型得到總體參數(shù),進(jìn)行比較和評(píng)價(jià).問(wèn)題：哪些模型可以推廣到起始號(hào)碼未知的情況？模型中起始號(hào)碼已知(平移至1),限制了應(yīng)用范圍.小結(jié)與評(píng)注5與“估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)”相關(guān)的歷史事實(shí)二戰(zhàn)中一支盟軍的指揮部急需掌握德軍坦克的數(shù)量.盟軍俘獲了若干輛德軍坦克，得到它們的序列號(hào)碼.情報(bào)人員獲知這支部隊(duì)的坦克號(hào)碼按順序編排.以俘獲的坦克號(hào)碼為樣本，估計(jì)出坦克總量.英美情報(bào)機(jī)構(gòu)通過(guò)捕獲德軍武器的序列編號(hào)，對(duì)軍用輪胎、槍支、裝甲車(chē)等眾多裝備的產(chǎn)量做出估計(jì).戰(zhàn)后將估計(jì)值與從檔案中得到的實(shí)際產(chǎn)量進(jìn)行比較，多數(shù)估計(jì)的誤差在10%以內(nèi)！與“估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)”相關(guān)的歷史事實(shí)二戰(zhàn)中一支盟軍的指揮部急舉重依靠運(yùn)動(dòng)員全身力量完成的體育項(xiàng)目按照運(yùn)動(dòng)員體重劃分級(jí)別進(jìn)行比賽.賽艇拳擊摔跤每個(gè)級(jí)別都有一個(gè)冠軍.能評(píng)選出一個(gè)“總冠軍”嗎？……2.6評(píng)選舉重總冠軍舉重依靠運(yùn)動(dòng)員全身力量完成的體育項(xiàng)目按照運(yùn)動(dòng)員體重劃分級(jí)別進(jìn)56kg,62kg,69kg,77k,85kg,94kg,105kg,105kg以上.

男子舉重比賽按運(yùn)動(dòng)員體重(上限)分為8個(gè)級(jí)別：?jiǎn)栴}每個(gè)級(jí)別設(shè)3個(gè)項(xiàng)目：抓舉、挺舉、總成績(jī).每個(gè)級(jí)別、每個(gè)項(xiàng)目都產(chǎn)生一個(gè)冠軍.同一項(xiàng)目(如抓舉)的8個(gè)冠軍中怎樣選出“總冠軍”？不同級(jí)別冠軍成績(jī)按體重“折合”到某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)別，比較折合成績(jī)，選出最高的作為總冠軍.評(píng)選舉重總冠軍56kg,62kg,69kg,77k,85kg,9問(wèn)題分析比賽產(chǎn)生各級(jí)別冠軍成績(jī)的實(shí)際值建立體重與舉重成績(jī)的數(shù)學(xué)模型計(jì)算各級(jí)別冠軍舉重成績(jī)的理論值計(jì)算實(shí)際值與理論值的比值構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單、合適的指標(biāo)作為折合成績(jī)各級(jí)別冠軍折合成績(jī)最高的為總冠軍評(píng)選舉重總冠軍問(wèn)題分析比賽產(chǎn)生各級(jí)別冠軍成績(jī)的實(shí)際值建立體重與舉重成績(jī)的數(shù)數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.級(jí)別項(xiàng)目紀(jì)錄保持者日期62kg級(jí)抓舉153kg石智勇（中國(guó)）2002.6.28挺舉182kg樂(lè)茂盛（中國(guó)）2002.10.2總成績(jī)327kg金恩國(guó)（朝鮮）2012.7.3169kg級(jí)抓舉165kg馬爾科夫（保加利亞）2000.9.20挺舉198kg廖輝（中國(guó)）2013.10.23總成績(jī)358kg廖輝（中國(guó)）2013.10.23多年積累下來(lái)的世界記錄與某一次比賽成績(jī)相比，更能避免偶然性.不同級(jí)別成績(jī)的差別基本上由運(yùn)動(dòng)員體重決定.數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.級(jí)別項(xiàng)目紀(jì)錄保持不掌握創(chuàng)造記錄的運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際體重.因?yàn)轶w重越大、舉得越重，比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員體重都會(huì)調(diào)整到非常接近各級(jí)別的上限.105kg以上級(jí)未設(shè)上限，只在其余7個(gè)級(jí)別中選總冠軍.

數(shù)據(jù)收集利用舉重比賽的世界紀(jì)錄建立數(shù)學(xué)模型.用每個(gè)級(jí)別的上限代表運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際體重.不掌握創(chuàng)造記錄的運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際體重.因?yàn)轶w重越大、舉得越重，比世界記錄與體重?cái)?shù)據(jù)的散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分析大致呈線性關(guān)系大級(jí)別成績(jī)的增加變慢線性關(guān)系有所改進(jìn)冪函數(shù)(冪次小于1)可能更合適世界記錄體重普通坐標(biāo)世界記錄體重對(duì)數(shù)坐標(biāo)世界記錄與體重?cái)?shù)據(jù)的散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分析大致呈線性關(guān)系大級(jí)別成績(jī)的建立舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的數(shù)學(xué)模型模型建立模型1線性模型

最小二乘法編程計(jì)算k=2.7039-60k430/160=2.69估算

線性模型

yw430160建立舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的數(shù)學(xué)模型模型建立模型1模型2冪函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)生理學(xué)確定冪函數(shù)的冪次舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的模型s~肌肉截面積l~身體尺寸最小二乘法編程計(jì)算

k=20.4711

冪函數(shù)模型

yw2/3模型2冪函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)生理學(xué)確定冪函數(shù)的冪次舉重總成模型3冪函數(shù)改進(jìn)模型舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的模型最小二乘法

舉重過(guò)程中力量的損失及身體尺寸的變化.50名頂尖運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析冪函數(shù)改進(jìn)模型

非肌肉部分模型3冪函數(shù)改進(jìn)模型舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的模舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的模型線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型級(jí)別總成績(jī)紀(jì)錄線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型56kg級(jí)305kg313.6486(-2.76%)299.6405(1.79%)298.2689(2.26%)62kg級(jí)327kg329.8718(-0.87%)320.6784(1.97%)324.3317(0.82%)69kg級(jí)358kg348.7988(2.64%)344.3827(3.95%)350.2363(2.22%)77kg級(jí)379kg370.4298(2.58%)370.5121(2.56%)375.7952(1.12%)兩個(gè)冪函數(shù)模型比線性模型改進(jìn)不大.1.71%2.32%1.47%總平均誤差舉重總成績(jī)y與運(yùn)動(dòng)員體重w的模型線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改評(píng)選總冠軍wi(i=1,2,…,7)~從輕到重7個(gè)級(jí)別的體重(上限)

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型

各級(jí)別冠軍的理論成績(jī)yi

~一次比賽中各級(jí)別冠軍的實(shí)際成績(jī)

級(jí)別i冠軍在評(píng)選總冠軍中實(shí)力

以線性模型為例

評(píng)選總冠軍wi(i=1,2,…,7)~從輕到重7個(gè)評(píng)選總冠軍任取級(jí)別i=4(w4=77kg級(jí))為標(biāo)準(zhǔn)使

z4=y4

與實(shí)力成正比的指標(biāo)按7個(gè)級(jí)別冠軍的折合成績(jī)排名，第一者為總冠軍.~將體重折合成77kg級(jí)后級(jí)別i冠軍的實(shí)際成績(jī).

折合成績(jī)

模型中系數(shù)k隨世界紀(jì)錄的刷新而改變.評(píng)選總冠軍任取級(jí)別i=4(w4=77kg級(jí))為標(biāo)準(zhǔn)使z4評(píng)選總冠軍折合成績(jī)

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型評(píng)選2008年北京奧運(yùn)會(huì)男子舉重比賽總冠軍

級(jí)別

冠軍獲得者總成績(jī)折合成績(jī)及名次線性模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)改進(jìn)模型56kg級(jí)龍清泉（中）292kg344.8621（7）361.0644（5）367.8969（4）62kg級(jí)張湘祥（中）319kg358.2213（6）368.5729（3）369.6175（3）69kg級(jí)廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）77kg級(jí)史才秀（韓）366kg366.0000（3）366.0000（4）366.0000（6）85kg級(jí)陸永（中）394kg372.2621（1）368.8735（2）371.7543（2）94kg級(jí)伊利亞（哈）406kg361.1818（5）355.4413（6）362.5143（7）105kg級(jí)阿拉姆諾夫（白）436kg362.0121（4）354.5581（7）367.7366（5）69kg級(jí)廖輝（中）348kg369.5814（2）374.4039（1）373.3957（1）評(píng)選總冠軍折合成績(jī)

線性模型

冪函數(shù)模型

冪函數(shù)改進(jìn)模型3個(gè)模型中都只有一個(gè)以因子形式出現(xiàn)的系數(shù)k,可以在構(gòu)造折合成績(jī)時(shí)消去,便于評(píng)選總冠軍.小結(jié)與評(píng)注舉重成績(jī)與體重關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是評(píng)選總冠軍方法的基礎(chǔ).通過(guò)世界紀(jì)錄數(shù)據(jù)觀察和機(jī)理分析分別建立線性模型、冪函數(shù)模型和冪函數(shù)改進(jìn)模型.3個(gè)模型中都只有一個(gè)以因子形式出現(xiàn)的系數(shù)k,可以在構(gòu)造折合成CPI

(Consumer

Price

Index)~居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)每月9日左右國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布上月全國(guó)CPI數(shù)據(jù).反映購(gòu)買(mǎi)消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目時(shí)價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)的數(shù)字.觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo).從數(shù)學(xué)建模的思路，按照數(shù)據(jù)分析方法解讀CPI.2.7解讀CPICPI(Consumer

Price

Index)每月9按照時(shí)間順序解讀CPI環(huán)比價(jià)格指數(shù)以上月為基期進(jìn)行對(duì)比消除季節(jié)變化和節(jié)日對(duì)價(jià)格的影響同比價(jià)格指數(shù)反映當(dāng)前價(jià)格的波動(dòng)以上年同月為基期進(jìn)行對(duì)比通常公布價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)率(%),方便了解價(jià)格上漲幅度2011.3環(huán)比增長(zhǎng)率-0.2%2011.2環(huán)比增長(zhǎng)率1.2%基期指數(shù)1002011.3同比增長(zhǎng)率5.4%環(huán)比指數(shù)101.2(2011.1為100)同比指數(shù)105.4(2010.3為100)環(huán)比指數(shù)99.8(2011.2為100)按照時(shí)間順序解讀CPI環(huán)比價(jià)格指數(shù)以上月為基期進(jìn)行對(duì)比消除季月份

k123456789101112環(huán)比(%)1.01.20.20.10.10.30.50.30.50.10.20.3全國(guó)2011年CPI各月份環(huán)比增長(zhǎng)率環(huán)比價(jià)格指數(shù)pk~某年k月環(huán)比增長(zhǎng)率(%)Pk~以上年12月為基期,本年k月的價(jià)格指數(shù)

pk為正Pk上升,pk為負(fù)Pk下降Pk漲幅回落Pk上升變緩2011CPI環(huán)比月份k123456789101112環(huán)比(%)1.01.月份k12345678910111220114.94.95.45.35.56.46.56.26.15.54.24.1

20124.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5qk~某年k月同比增長(zhǎng)率(%)同比價(jià)格指數(shù)全國(guó)2011,2012年CPI各月份同比增長(zhǎng)率2012年比2011年每月價(jià)格上漲的幅度明顯減少.月份k12345678910111220114.94.95.qk(j)~j年k月同比指數(shù)環(huán)比價(jià)格指數(shù)與同比價(jià)格指數(shù)的關(guān)系pk(j)~j年k月環(huán)比指數(shù)xk(j)~j年k月價(jià)格指數(shù)（以j-2年12月為基期）

qk(j)~j年k月同比指數(shù)環(huán)比價(jià)格指數(shù)與同比價(jià)格指數(shù)的從1月到k月以上年同一時(shí)期為基期進(jìn)行對(duì)比.累計(jì)價(jià)格指數(shù)月份k123456789101112同比(%)4.53.23.63.43.02.21.82.01.91.72.02.5累計(jì)(%)4.53.93.83.73.53.33.12.92.82.72.72.6全國(guó)2012年CPI各月份同比增長(zhǎng)率和累計(jì)增長(zhǎng)率第k月的累計(jì)是1月至k月同比的平均值

（k=1,2，…，12）幾個(gè)月的價(jià)格指數(shù)以其各個(gè)月價(jià)格指數(shù)的平均值度量.從1月到k月以上年同一時(shí)期為基期進(jìn)行對(duì)比.累計(jì)價(jià)格指數(shù)月份k年價(jià)格指數(shù)每年1至12月同比的平均值年20032004200520062007200820092010201120122013

(%)

3.91.81.54.85.9-0.73.35.42.62.6CPI100103.9105.8107.4112.5119.1118.3122.2128.8132.2135.6全國(guó)2004年至2013年CPI的增長(zhǎng)從2003年到2013年全國(guó)CPI增長(zhǎng)35%每年與上年比較的增長(zhǎng)率年價(jià)格指數(shù)每年1至12月同比的平均值年20032004200按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI與許多人對(duì)物價(jià)的親身感受有較大差距.近10年CPI平均年增長(zhǎng)率不過(guò)3.5%.原因之一：CPI由國(guó)家統(tǒng)計(jì)局對(duì)全國(guó)居民家庭衣食住行各類(lèi)消費(fèi)品和服務(wù)價(jià)格綜合加工得到.消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目分8大類(lèi),約700個(gè)代表品種.權(quán)重根據(jù)居民家庭用于各種消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目的開(kāi)支占總消費(fèi)支出的比重確定.CPI由價(jià)格及其權(quán)重二者共同決定.按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI與許多人對(duì)物價(jià)的親身感受有較大差距.近大類(lèi)中類(lèi)權(quán)重(%)1食品糧食、油脂、肉禽及其制品、水產(chǎn)品、蛋、鮮菜、鮮果、液體乳及乳制品31.792煙酒及用品煙草、酒3.493衣著服裝、鞋8.524家庭設(shè)備及維修服務(wù)耐用消費(fèi)品、家庭服務(wù)及加工維修服務(wù)5.645醫(yī)療保健個(gè)人用品中藥材及中成藥、西藥、醫(yī)療保健服務(wù)9.646交通和通訊交通工具、車(chē)用燃料及零配件、通訊工具、通訊服務(wù)9.957娛樂(lè)教育文化用品及服務(wù)教育服務(wù)、文娛用耐用消費(fèi)品及服務(wù)、文化娛樂(lè)類(lèi)、旅游13.758居住建房及裝修材料、住房租金、水、電、燃料17.22我國(guó)消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目的類(lèi)別及權(quán)重(2011年)按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI

大類(lèi)中類(lèi)權(quán)重1食品糧食、油脂、肉禽及其制品、水產(chǎn)品、蛋、鮮居住次之上世紀(jì)80年代食品權(quán)重約60%,每次調(diào)整都下降.隨著人們生活水平的提高及消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化，權(quán)重每5年、10年會(huì)有較大的調(diào)整.居住中并不包含近年飛漲的購(gòu)房支出，官方的解釋是購(gòu)房屬于投資而非消費(fèi).按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI大類(lèi)食品煙酒衣著家庭醫(yī)療交通教育居住權(quán)重(%)31.793.498.525.649.649.9513.7517.22食品權(quán)重最大教育、娛樂(lè)第三居住次之上世紀(jì)80年代食品權(quán)重約60%,每次調(diào)整都下降.隨vi~第i大類(lèi)價(jià)格指數(shù)v~CPI總水平wi~第i大類(lèi)權(quán)重

△v~v的增長(zhǎng)率△vi

~vi的增長(zhǎng)率

wi，vi，△vi

按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI每個(gè)月CPI總水平的環(huán)比、同比指數(shù)v及增長(zhǎng)率△vvi~第i大類(lèi)價(jià)格指數(shù)v~CPI總水平wi~第i權(quán)重對(duì)CPI總水平的大小有很大影響，引起對(duì)權(quán)重?cái)?shù)值合理性的研究和討論.權(quán)重隨時(shí)調(diào)整的具體情況不能為民眾及時(shí)掌握.利用每個(gè)月公布的CPI數(shù)據(jù)校核權(quán)重是否變化、估算調(diào)整后的權(quán)重,成為關(guān)注者、研究者的課題.按照分類(lèi)結(jié)構(gòu)解讀CPI對(duì)權(quán)重的關(guān)注和討論：權(quán)重對(duì)CPI總水平的大小有很大影響，引起對(duì)權(quán)重?cái)?shù)值合理性的研幾種校核與估算權(quán)重的方法1.利用公布的△vi,wi計(jì)算△v,檢查與公布的△v是否相符月份食品△v1煙酒△v2衣著△v3家庭△v4醫(yī)療△v5交通△v6教育△v7居住△v8總水平△v總水平計(jì)算值12.91.42.51.51.8-0.30.52.92.01.980226.01.12.11.61.80.22.02.83.23.165532.71.02.31.61.7-0.31.72.92.12.046644.00.82.51.61.5-1.11.52.92.42.343553.20.52.51.61.5-1.21.33.02.12.058564.90.32.31.51.4-0.71.43.12.72.640475.00.22.21.41.2-0.11.32.82.72.629584.702.21.41.201.22.62.62.488996.1-0.22.31.41.1-0.21.92.63.13.0022106.5-0.22.41.51.0-0.62.52.63.23.1766115.9-0.22.01.31.0-0.52.82.63.02.9917124.1-0.42.11.40.9-0.12.92.82.52.50502013年CPI同比分類(lèi)和總水平增長(zhǎng)率幾種校核與估算權(quán)重的方法1.利用公布的△vi,wi計(jì)算△如果計(jì)算值與公布的△v相符，不能說(shuō)明所有的wi沒(méi)有改變.如果稍有不符，無(wú)法確認(rèn)是否數(shù)字舍入誤差所致.幾種校核與估算權(quán)重的方法公布的指數(shù)只有2位有效數(shù)字，對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大.1.利用公布的△vi,wi計(jì)算△v,檢查與公布的△v是否相符如果計(jì)算值與公布的△v相符，不能說(shuō)明所有的wi沒(méi)有改變.如果

2.利用公布的△vi及其對(duì)△v的影響計(jì)算權(quán)重，檢查與原有的wi是否相符幾種校核與估算權(quán)重的方法

2013年1月食品同比上漲2.9%，影響總水平約0.95%月

123456789101112△v12.96.02.74.03.24.95.04.76.16.55.94.1△v0.951.980.881.331.051.591.611.541.982.111.921.33w10.3280.3300.3260.3360.3280.3250.3220.3280.3250.3250.3250.324

由2013.1~12公布的△v1和△v計(jì)算w1原有w1=0.31792.利用公布的△vi及其對(duì)△v的影響計(jì)算權(quán)重，檢查與原有

2.利用公布的△vi及其對(duì)△v的影響計(jì)算權(quán)重，檢查與原來(lái)的wi是否相符幾種校核與估算權(quán)重的方法如果數(shù)據(jù)完整，可以對(duì)各個(gè)權(quán)重wi分別計(jì)算、校核.由于公布數(shù)據(jù)的有效數(shù)字所限，舍入誤差對(duì)結(jié)果有不小影響.2.利用公布的△vi及其對(duì)△v的影響計(jì)算權(quán)重，檢查與原來(lái)3.利用公布的n個(gè)月的△vi和△v作擬合，估計(jì)權(quán)重.△vik,△vk(i=1,…,8,k=1,…,n)

用MATLAB命令w=A\b可得Aw=b的最小二乘解.含8個(gè)未知數(shù)w1,

…,w8的n+1個(gè)方程.幾種校核與估算權(quán)重的方法

3.利用公布的n個(gè)月的△vi和△v作擬合，估計(jì)權(quán)重.△vi3.利用公布的n個(gè)月的△vi和△v作擬合，估計(jì)權(quán)重.幾種校核與估算權(quán)重的方法原始數(shù)據(jù)精度太低(1或2位有效數(shù)字)權(quán)重n=72（2011-2013）加非負(fù)約束原始w10.31420.31430.3179w2-0.003500.0349w30.09560.09530.0852w40.08340.08170.0564w50.13780.13370.0964w60.06930.06980.0995w70.14750.14870.1375w80.14260.14390.17222011~2013逐月環(huán)比和同比數(shù)據(jù)對(duì)權(quán)重加非負(fù)約束計(jì)算結(jié)果有較大差距，甚至出現(xiàn)負(fù)值對(duì)權(quán)重加非負(fù)約束后結(jié)果仍相差較大3.利用公布的n個(gè)月的△vi和△v作擬合，估計(jì)權(quán)重.幾種校按照地區(qū)差別解讀CPI不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和居民生活水平的差異較大，全國(guó)CPI環(huán)比、同比總水平與各地區(qū)情況不同.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局還分“城市”和“農(nóng)村”公布CPI數(shù)據(jù).31個(gè)省、市、自治區(qū)統(tǒng)計(jì)局逐月公布當(dāng)?shù)谻PI數(shù)據(jù).可以用類(lèi)似方法解讀當(dāng)?shù)氐腃PI數(shù)據(jù).按照地區(qū)差別解讀CPI不同地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和居民生活水平的差異從數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模角度看,資料較少且不夠完整,只能根據(jù)查到的有限數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀.小結(jié)與評(píng)注CPI是當(dāng)今社會(huì)的熱門(mén)詞匯,各種媒體特別是互聯(lián)網(wǎng)上有大量經(jīng)濟(jì)政策方面的報(bào)道和評(píng)論.權(quán)重的幾種校核與估算方法是編者的初步嘗試，尚待進(jìn)一步研究.從數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模角度看,資料較少且不夠完整,只能根據(jù)2.8核軍備競(jìng)賽

冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱(chēng)為了保衛(wèi)自己的安全,實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”,核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí).

隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束,雙方通過(guò)了一系列核裁軍協(xié)議.

在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張,而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài).

當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí),平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化.

估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.背景與問(wèn)題2.8核軍備競(jìng)賽冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱(chēng)為了保衛(wèi)自己的安全,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：

認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；

己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.模型假設(shè)以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同圖的模型y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線)x=g(y)~乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線)當(dāng)x=0時(shí)y=y0，y0~乙方的威懾值xyy0Oy0~甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線圖的模型y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安分析模型乙方殘存率

s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率.sx個(gè)基地未被摧毀，y–x個(gè)基地未被攻擊.x<y甲方以x枚導(dǎo)彈攻擊乙方y(tǒng)個(gè)基地中的x個(gè),y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個(gè)基地被攻擊2次,s2(x–y)個(gè)未被摧毀;y–(x–y)=2y–x個(gè)被攻擊1次,s(2y–x)個(gè)未被摧毀.y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1–s)xy=y0/sy=y0/s2分析模型乙方殘存率s~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)利用微積分知識(shí)可知y是一條上凸的曲線，且y0變大，曲線上移、變陡.s變大，y減小，曲線變平.xyOy0x<y,y=y0+(1–s)xx=yx=2yy<x<2y,x=ay,分析模型x=y,y=y0/sx=2y,y=

甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值y0變大xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).（其他因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點(diǎn)PP′甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值y

甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP′甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線y=f(x

雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x

,y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值x0,y0和殘存率s均減小.y0減小

y下移且變平xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s變小y增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.模型解釋乙安全線y=f(x)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x,核軍備競(jìng)賽

對(duì)“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程.

提出安全曲線概念，給出它的一般形式.

通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式.

利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.核軍備競(jìng)賽對(duì)“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡(jiǎn)化問(wèn)題AB

風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向，帆以及帆的朝向.2.9揚(yáng)帆遠(yuǎn)航帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡(jiǎn)化問(wèn)題模型分析

風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w

風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且

s1遠(yuǎn)大于

s2.f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力模型分析風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w1=wsin(–)f1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos模型假設(shè)

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略.

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos

航向速度v與力f=f1–p1成正比.v=k1(f1–p1)v1vw1=wsin(–)f1=w1sin=wsinsi2)令=/2,

v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當(dāng)固定時(shí)求使f1最大f1=w[cos(–2)–cos]/2=/2時(shí)f1=w(1–cos)/2最大=k1(f1–p1)cosf1=w1sin=wsinsin(–)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解2)令=/2,1)當(dāng)固定時(shí)求使f1最大f160o

<<75o

1<t<2v1最大備注

只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型.

航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整和.

記t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(

k1w/2)[1–(1+2p/w)cos]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos<1/2模型求解v1=k1[w(1–cos)/2–pcos]coss1>>

s260o<<75o1<t<2v1最大備注2.10節(jié)水洗衣機(jī)

我國(guó)淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)。洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過(guò)程為：加水—漂洗—脫水—加水—漂洗—脫水…（稱(chēng)“加水—漂洗—脫水”為一輪）。請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪，每輪加水量等），使在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。選自1996年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題2.10節(jié)水洗衣機(jī)我國(guó)淡水資源有限，節(jié)問(wèn)題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過(guò)程將待洗衣物和洗滌劑放入缸內(nèi)，加水后啟動(dòng)洗衣機(jī).漂洗中通過(guò)洗滌劑的物理化學(xué)作用，將附著在衣物上的污物溶于水中，再脫去含有污物的污水，構(gòu)成“加水—漂洗—脫水”一輪運(yùn)行過(guò)程.一輪后殘留在衣物上的污物有所減少，但若尚未達(dá)到洗凈的效果，就需要再來(lái)一輪，如此循環(huán).直到衣物上污物減少到相對(duì)清潔，可以接受.建模應(yīng)考慮：現(xiàn)實(shí)生活中洗衣機(jī)大多運(yùn)行2或3輪.問(wèn)題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過(guò)程將待洗衣物和洗滌劑放入缸內(nèi)，加水

一次性加入的洗滌劑雖能幫助衣物上污物溶于水，但也不希望留在衣物上，因此將“污物”視為衣物上原有的污物與留在衣物上的洗滌劑的總和.

洗滌劑溶解污物的過(guò)程涉及物理化學(xué)的微觀機(jī)制，只需從宏觀層面上認(rèn)為，每一輪運(yùn)行中污物都已充分溶于水中，形成一定的濃度.通過(guò)一輪一輪地加水和脫水，使污物濃度不斷降低.

不討論通常洗衣機(jī)運(yùn)行的最后一步—甩干或烘干.問(wèn)題分析洗衣機(jī)運(yùn)行的基本過(guò)程一次性加入的洗滌劑雖能幫助衣物上污物溶于水，但也不模型假設(shè)1.每輪漂洗后衣物上的污物全部均勻地溶于水中.2.與每輪的加水量相比，每輪脫水后衣物仍含

少量的水，每輪的含水量為常數(shù).3.每輪脫水前后污物在水中的濃度保持不變.最后一輪脫水后衣物的污物含量與初始含量

之比(污物比)，需不超過(guò)某個(gè)給定的數(shù)值.建模目標(biāo)：在滿足衣物污物比的條件下，

確定洗衣機(jī)運(yùn)行多少輪

(最多4輪)及每輪

的加水量，使總用水量最少.模型假設(shè)1.每輪漂洗后衣物上的污物全部均勻地溶于水中.2模型建立洗衣機(jī)共運(yùn)行n輪(n=2,3,4),x0~初始污物含量.c~每輪脫水后衣物含水量，ε~最終污物比(給定).

脫水前后污物濃度保持不變

污物濃度~單位容積水中的污物含量.uk~第k輪加水量，xk~第k輪脫水后污物含量.

……

模型建立洗衣機(jī)共運(yùn)行n輪(n=2,3,4),x0~初始污建模目標(biāo)要求

xn/x0≤ε

在條件

下確定洗衣機(jī)運(yùn)行輪數(shù)n(=2,3,4)和每輪加水量uk(k=1,2,…,n)，使總用水量

最少.模型建立建模目標(biāo)要求xn/x0≤ε

在條件模型簡(jiǎn)化

幾何平均值算術(shù)平均值n個(gè)數(shù)的幾何平均值小于或等于算術(shù)平均值，當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)數(shù)相等時(shí)等號(hào)成立.uk

全相等，即每輪加水量是一個(gè)固定值u.c<<uk

模型簡(jiǎn)化

幾何平均值算術(shù)平均值n個(gè)數(shù)的幾何平均值小于或模型簡(jiǎn)化

uk

=u

問(wèn)題化為在條件下求u和n(=2,3,4)使z=nu最小.

簡(jiǎn)化:

u是第1輪加水量，此后各輪加水量應(yīng)減掉c（脫水后衣物的含水量）.模型簡(jiǎn)化

uk=u

問(wèn)題化為在條件模型求解

對(duì)于給定的c,ε,

依次固定n=2,3,4，比較總用水量z的大小，確定u和n的解.對(duì)于固定的c,數(shù)值??n和λn直接反映了每輪加水量和總用水量的大小.

模型求解

對(duì)于給定的c,ε,依次固定n=2,3,4，模型求解ε0.5%1%2%5%10%??214.210.07.14.53.2??35.84.63.72.72.2??43.83.22.72.11.8λ228.320.014.28.96.3λ317.513.911.18.16.5λ415.012.610.68.57.1

ε??ελ若衣物清潔程度要求較高(ε≤2%)，洗衣機(jī)運(yùn)行4輪的總用水量最少.清潔程度要求較低時(shí)(ε≥5%)，總用水量都差不多，運(yùn)行3輪更合適.模型求解ε0.5%1%2%5%10%??214.210.0模型討論每輪加水量u的上限和下限c~脫水后衣物含水量umin=bwa和b取決于衣物的質(zhì)地，其數(shù)值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定.缸體容積限制

u的上限umaxw~洗滌前衣物質(zhì)量(kg)a~每kg衣物脫水后含水量c=

awb~每kg衣物浸泡所需水量浸沒(méi)衣物需求u的下限uminumin

≤u≤umax

umin

≤uu

≤umax

通過(guò)控制w來(lái)滿足.模型討論每輪加水量u的上限和下限c~脫水后衣物含水量umi此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！

研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單

用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)構(gòu)造和求解模型盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來(lái)建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.

第二章初等模型研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建

第二章

初等模型2.1

雙層玻璃窗的功效2.2

劃艇比賽的成績(jī)2.3

實(shí)物交換

2.4

汽車(chē)剎車(chē)距離與道路通行能力2.5估計(jì)出租車(chē)的總數(shù)2.6評(píng)選舉重總冠軍2.7解讀CPI2.8

核軍備競(jìng)賽2.9

揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.10節(jié)水洗衣機(jī)第二章2.1雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.1雙層玻璃窗的功效雙層單層2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=4~810-3(J/cm·s·kw·h),k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低,而這要求空氣非常干燥、不流通.房間通過(guò)天花板、墻壁、…損失的熱量更多.實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!hQ1/Q242O0.060.030.026模型應(yīng)用取h=2.2劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000m成績(jī)t(min)種類(lèi)1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84空艇重w0(kg)

槳手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇(單人、雙人、四人、八人)4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系.試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l/b,w0/n

基本不變艇長(zhǎng)l

艇寬bl/b

(m)(m)7.930.29327.0