第三章含時間因素的貨幣等值計算講授內容一、利息計算公式二、等值的計算三、電子表格的運用一、利息計算公式（一）利息的種類1、單利利息；2、復利利息（二）現金流量圖（CashFlowDiagram）（三）利息計算公式1、一次支付復利公式；2、一次支付現值公式3、等額支付系列復利公式；4、等額支付系列積累基金公式5、等額支付系列資金恢復公式；6、等額支付系列現值公式7、均勻梯度系列公式（四）運用利息公式應注意的問題（五）名義利率和有效利率1、離散式復利；2、連續式復利（一）利息的種類假設以年利率6%借入資金1000元，共借4年，其償還情況如表所示：1、單利計息即每期均按原始本金計算利息，這種計息方式稱為單利（計息）。利息與時間呈線性關系，不論計息期數為多大，只有本金計息，而利息本身不再計息。設P代表本金，n代表計息期數，i代表利率，I代表所付或所收的總利息，F代表本利和，則有：I=PniF=P(1+ni)2、復利計息將本期的利息轉為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，這種計息方式稱為復利（計息）。同樣設P代表本金，n代表計息期數，i

代表利率，I代表所付或所收的總利息，F代表本利和，則有：F=P(1+i)

nI=P{(1+i)n?1}我國銀行目前名義上用的還是單利計算，只是通過存期的不同，規定不同的單利利率。我國當前居民銀行存款利率：一年（2.25%）；二年（2.79%）；三年（3.33%）；五年（3.60%）貸款利率：半年至一年（5.31%）；一至三年（5.40%）；三至五年（5.76%）；五年以上（5.94%）符號定義：

P—現值

F—終值

i—年利率

n—計息期數

A—年金（年值）Annuity計息期末等額發生的現金流量

G—等差支付系列中的等差變量（三）利息公式第一年年初:P第一年年末:P(1+i)第二年年末:P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2

……第n年年末:P(1+i)n（三）利息公式1、一次支付復利公式F=P（1+i）ni

——利率(interestrate)；n

——計息期數(number)；P

——現在值(PresentValue/worth)；F

——將來值(FutureValue/worth)；(1+i)n

——一次支付復利系數(single-paymentcompoundamountfactor)，有時記為（F/P,i,n）,則有F=P(F/P,i,n)案例例在第一一年年年初，，以年年利率率6%投資1000元，則則到第第四年年年末末可得得本利利和多多少？？2、一次次支付付現值值公式式一次支支付現現值系系數案例例為了在在第四四年年年末得得到1262.50元，按按年利利率6%計算，，現在在必須須投資資多少少？答：或3、等額額支付付系列列復利利公式式…等額支支付系系列復復利系系數案例例連續5年每年年年末末借款款1000元，按按年利利率6%計算，，第5年年末末累積積借款款多少少？答：4、等額額支付付系列列積累累基金金公式式等額支支付系系列積積累基基金系系數案例例如果要要在第第5年年末末得到到資金金1000元，按按年利利率6%計算，，從現現在起起連續續5年每年年必須須存儲儲多少少？答：⒌等額支支付系系列資資金回回收（（恢復復）公公式等額支支付系系列資資金回回收現現金流流量圖圖0123……………….n-1n年PAAA……………….

？=AAF=（A/P，i，n）_____資金回回收系系數（capitalrecoveryfactor）(1+i)n

-1i(1+i)n

而于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n

-1A(1+i)n

P5、等額額支付付系列列資金金恢復復公式式等額支支付系系列資金恢恢復系系數案例例如果現現在以以年利利率5%投資1000元，在在今后后的8年中，，每年年年末末以相相等的的數額額提取取回收收本利利和，，則每每年年年末可可以等等額提提取多多少？？6、等額額支付付系列列現值值公式式等額支支付系系列現值系系數案例例按年利利率6%計算，，為了了能夠夠在今今后5年中每每年年年末得得到100萬元的的利潤潤，假假設不不考慮慮殘值值的影影響，，現在在應投投資多多少？？答：7、均勻勻梯度度系列列公式式某工廠購進進一臺機器器設備，每每年都需要要設備制造造商提供一一次有償維維護服務，，該機器設設備隨著使使用而日益益老化，所所需勞動力力和備件將將越來越多多，所需維維護費用也也將逐步增增加，該工工廠可選擇擇以下兩種種維護費支支付方式：：（1）在使用n年以后再支支付前n年的維護費費；（2）在購進機機器時一次次性支付n年維護費；；已知第一年年年末的維維護費用為為A1，當每年的維維護費用以以相同的金金額G增加時，在考慮資金金時間價值值的情況下下，這兩種種方式分別別應支付多多少維護費費？7、均勻梯度度系列公式式如果將上面面現金流量量圖轉化為為等額支付付系列：（1）第一種支支付方式：：等額支付系系列復利公公式（F）；（2）第二種支支付方式：：等額支付系系列現值公公式（P）；7、均勻梯度度系列公式式7、均勻梯度度系列公式式等額支付系系列積累基基金公式等額支付系系列資金恢恢復公式等額支付系系列復利公公式：7、均勻梯度度系列公式式等額支付系系列復利系系數梯度系數（A/G,i,n）案例假定某人第第一年末把把1000元存入銀行行，以后9年每年遞增增存款200元。如果年年利率為8%，把這筆存存款折算成成10年的年末等等額支付系系列，相當當于每年存存入多少？？答：案例假定某人第第一年末把把5000元存入銀行行，以后5年每年遞減減600元。如果年年利率為9%，把這筆存存款折算成成6年的年末等等額支付系系列，相當當于每年存存入多少？？答：等比梯度系系列8、運用利息息公式應注注意的問題題（1）為了實施施方案的初初始投資，，假定發生生在方案的的壽命期初初；（2）方案實施施工程中的的經常性支支出，假定定發生在計計息期末；；（3）本年的年年末即是下下一年的年年初；（4）P是在當前年年度開始時時發生；（5）F是在當前以以后的第n年年末發生生；（6）A是在考察期期間各年年年末發生。。當問題包包括P和A時，系列的的第一個A是在P發生一年后后的年末發發生；當問問題包括F和A時，系列的的最后一個個A是和F同時發生；；（7）均勻梯度度系列中，，第一個G發生在系列列的第二年年年末。（四）名義義利率和有有效利率當利率的時時間單位與與計息期不不一致時，，就出現了了名義利率率和有效利利率的概念念。有效利率(effectiveinterestrate)：資金在計息息期所發生生的實際利利率。(年)名義利率(nominalinterestrate)：當計息期短短于一年時時，每一計計息期的有有效利率乘乘上一年中中計息期數數所得到的的年利率。。例如，“每半年計息息一次，計計息期的利利率為3%”，3%為實際計息息用的利率率，即有效效利率。3%×2=6%為(年)名義利率。。（四）名義義利率和有有效利率有效利率和和名義利率率的關系實實際上是復復利和單利利的關系。。例如，“年利率12%，每月計息息一次”。此時，12%為名義利率率，年有效效利率為：：案例例如果實際的的年有效利利率為12%，按每月計計息一次，，那么實際際的月有效效利率為多多少？年名名義利率為為多少？解析：假設月實際利利率為r，則有：(1+r)12=1+12%從而可估算出出月有效利率率為0.95%；年名義利率為為：12×0.95%=11.4%。1、離散式復利利離散式復利：：按期（年、季季、月和日））計息的方法法。例如：年利率為6%，每半年計息息一次，有效效年利率是多多少？年利率率為6%，每月計息一一次，有效年年利率又是多多少？兩者進進行比較后可可以得出什么么結論？一年中計算復復利的次數越越頻繁，則年年有效利率比比年名義利率率越高。1、離散式復利利如果名義利率率為r，一年中計算算利息n次，每次計息息的利率為r/n，根據一次支支付復利系數數公式，年末末本利和為：：案例例假定某人把1000元進行投資，，時間為10年，利息按年年利率8%，每季度計息息一次計算，，求10年末的將來值值？解析：每年計計息4次，10年的計息期為為4×10=40次，每一計息息期的有效利利率為8%÷4=2%，10年末的將來值值：名義利率為8%，每年的計息息期n=4,年有效利率為為：名義利率為6%，計息期不同同時的年有效效利率比較：：由小到大頻率增大連續復利下的的利息計算公公式二、等值的計計算478.20012345678年300i=6%012345678年i=6%同一利率下不不同時間的貨貨幣等值在某項經濟活活動中，如果果兩個方案的的經濟效果相相同，就稱這這兩個方案是是等值的。例如：在年利利率6%情況下，現在在的300元等值于8年末的300×(1+0.06)8=478.20元。這兩個等等值的現金流流量如下圖所所示。（一）等值的的概念即使金額相等等，由于發生生的時間不同同，其價值并并不一定相等等；反之，不同時時間上發生的的金額不等，，其貨幣的價價值卻可能相相等。貨幣的等值包包括三個因素金額金額發生的時時間利率如果兩個現金金流量等值，，則在任何時時間其相應的的值必定相等等。貨幣等值是考考慮了貨幣的的時間價值從利息表上查查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內插法法可得(二)計息期為一年年的等值計算算相同有效利率名義利率直接計算例：當利率為為多大時，現現在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750計算表明，當當利率為6.41%時，現在的300元等值于第9年年末的525元。例：當利率為為8%時，從現在起起連續6年的年末等額額支付為多少少時與第6年年末的10000等值？A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年計算表明，當當利率為8%時，從現在起起連續6年1363元的年末等額額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：當利率為為10%時，從現在起起連續5年的年末等額額支付為600元，問與其等等值的第0年的現值為多多大？解：P=A(P/A,10%,5)=2774.59元計算表明，當當利率為10%時，從現在起起連續5年的600元年末等額支支付與第0年的現值2274.50元是等值的。。(三)計息期短于一一年的等值計計算如計息期短于于一年，仍可可利用以上的的利息公式進進行計算，這這種計算通常?？梢猿霈F下下列三種情況況：1.計息期和支付期相同例：年利率為為12%，每半年計息息一次，從現現在起，連續續3年，每半年為為100元的等額支付付，問與其等等值的第0年的現值為多多大？解：每計息期期的利率（每半年一期期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100××4.9173=491.73元計算表明，按按年利率12%，每半年計息息一次計算利利息，從現在在起連續3年每半年支付付100元的等額支付付與第0年的現值491.73元的現值是等等值的。例：求等值狀狀況下的利率率。假如有人人目前借入2000元，在今后兩兩年中分24次等額償還，，每次償還99.80元。復利按月月計算。試求求月有效利率率、名義利率率和年有效利利率。解：現在99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499查表，上列數數值相當于i=1.5%。因為計息期期是一個月，，所以月有效效利率為1.5%。名義利率：：r=(每月1.5%）×（12個月）=18%年有效利率：：2.計息期長于于于支付期通常規定存款款必須存滿整整個一個計息息期時才計算算利息，在計計息期間存入入的款項在該該期不計算利利息。計息期間間的存款款應放在在期末，，而計息息期間的的提款應應放在期期初。計息期間間的存款應放放在期末末，而計息息期間的的提款應放放在期初初。每季度計計息一次次，年利利率8％，求年年底帳戶戶總額。。例：250400100存款提款1001000123456789101112（月）

(二)計息期大大于支付付期的情情況解：按上上述原則則，現金金流量圖圖可改畫畫為：10025040010020001234季度300例:求每半年年向銀行行借1400元，連續續借10年的等額額支付系系列的等等值將來來值。利利息分別別按:1）年利率率為12％,每年計息息一次。。2）年利率率為12％，每半半年計息息一次3）年利率率12％，每季季度計息息一次，，這三種種情況計計息。01210年28002800140014002800解：1）計息期期長于支支付期14002）計息期期等于支支付期F=1400(F/A,12%÷2，102）＝51500（元）3）計息期期短于支支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）＝52000（元）0123414001400i＝12％÷4＝3％A=1400(A/F,3%,2)季度3.計息期短短于支付付期例：按年年利率為為12%，每季度度計息一一次計算算利息，，從現在在起連續續3年的等額額年末支支付借款款為1000元，問與與其等值值的第3年年末的的借款金金額為多多大？解：其其現金流流量如下下圖

0123456789101112季度F=？100010001000第一種方方法：取一個個循環周周期，使使這個周周期的年年末支付付轉變成成等值的的計息期期末的等等額支付付系列，，其現金金流量見見下圖：：012342392392392390123410001000將年度支支付轉化化為計息息期末支支付（單單位：元元）A=F（A/F，3%，4）=1000××0.2390=239元（A/F，3%，4）239F=？季度經轉變后后計息期期與支付付期重合合（單位位：元））F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元第二種方方法：把等額額支付的的每一個個支付看看作為一一次支付付，求出出每個支支付的將將來值，，然后把把將來值值加起來來，這個個和就是是等額支支付的實實際結果果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000=3392元F=A(F/A,12.55%,3)=1000×3.3923=3392元第三種方方法：將名義義利率轉轉化為年年有效利利率，以以一年為為基礎進進行計算算。年有效利利率是通過三種種方法計計算表明明，按年年利率12%，每季度度計息一一次，從從現在起起連續三三年的1000元等額年年末借款款與第三三年年末末的3392元等值。。例4:假定現金金流量是是：第6年年末支支付300元，第9、10、11、12年末各支支付60元，第13年年末支支付210元，第15、16、17年年末各各獲得80元。按年年利率5％計息，，與此等等值的現現金流量量的現值值P為多少？？P=?0300678910111213141516172106080解：P=－300(P/F,5%,6)－60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)－210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=－3000.7162－603.54560.6768－2100.5303+802.72320.5051=－369.16也可用其其他公式式求得P=－300(P/F,5%,6)－60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)－210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=－3000.7462－604.31010.5568－2100.5303+803.1530.4363=－369.16例5:某項目第第1~4年平均投投資50萬元，第第4年建成投投產，年年凈收益益40萬元，第第5~10年生產達達產后年年均凈收收益70萬元。第第11~12年生產約約有下降降，年均均凈收益益50萬元，在在年利率率8%時，求終終值、現現值、第第4年期末的的等值資資金？62課堂練習習1、某工程程投資100萬元，第第三年開開始投產產，需要要流動資資金300萬元，投投產后，，每年銷銷售收入入抵銷經經營成本本后為300萬元，第第5年追加投投資500萬元，當當年見效效且每年年銷售收收入抵銷銷經營成成本后為為750萬元，該該項目的的經濟壽壽命為10年，殘值值100萬元，繪繪制該項項目的現現金流量量圖？63課堂練習2.貸款上大學學，年利率率5％，每學年年初貸款6000元，4年畢業，畢畢業1年后開始還還款，6年內按年等等額付清，，每年應付付多少？（1）繪制該問問題的現金金流量圖（2）寫出計算算式課堂練習3.某投資工程程，第4年投產，生生產期20年，預測投產后年年均凈收益益180萬元，若基基準投資收收益率為10％，如果第第1年投資400萬元，第2年投資300萬元，試求求第3年尚需投資資多少萬元元?（1）繪制該該問題的的現金流流量圖（2）寫出計計算式某新工程程項目欲欲投資200萬元，工工程1年建成，，生產經經營期為為9年，期末末不計算算余值。。期望投投資收益益率為12％，問每每年至少少應等額額回收多多少金額額？4：023456789101PA2022/12/22663.4常用的還還本付息息方式在現代貨貨幣市場場中，借借款人與與銀行（（債權人人）事前前約定還還款的方方式和期期限，慣用的方方式有等等額還款款、等額額還本、、每期付付息到期期一次還還本和本本息到期期一次總總付等四種方方式。2022/12/2267(一)等額還款款這種方式式是要求求借款人人每期歸歸還相等等的金額額，直至至到約定定的期限限還清本本金和利利息。這這種還本本付息方方式便于于借款人人記憶和和均勻地地籌集還還款數額額。表3-5等額還款款方式計計算表（（單位位：萬元元）年份12345合計年初欠款100.0082.2463.4243.4922.37311.52年末還本付息23.7023.7023.7023.7023.70118.50其中付息5.944.893.772.581.3318.50還本17.7618.8219.9321.1222.37100.00年末欠款82.2463.4243.4922.370.003.4常用的還還本付息息方式2022/12/2268(二)等額還本本這種方式式要求借借款人每每期歸還還除等額額的本金金外，再再加上每每期的利利息支付付。這種種方式對對借款人人初期的的還款壓壓力較大大。表3-6等額還本本方式計計算表（（單位位：萬元元）年份12345

合計年初欠款100.0080.0060.0040.0020.00300.00年末還本付息25.9424.7523.5622.3821.19117.82

其中付息5.944.753.562.381.1917.82還本20.0020.0020.0020.0020.00100.00年末欠款80.0060.0040.0020.000.003.4常用的還還本付息息方式2022/12/2269(三)每期付息息到期一一次還本本這種方式式常見于于債券的的償付，，債權人人按票面面值獲得得利息，，到期一一次兌現現面值。。表3-7每期付息息到期一一次還本本計算表表（（單位位：萬元元）年份12345合計年初欠款100.00100.00100.00100.00100.00500.00年末還本付息5.945.945.945.94105.94129.7其中付息5.945.945.945.945.9429.70還本0000100.00100.00年末欠款100.00100.00100.00100.0003.4常用的還還本付息息方式2022/12/2270(四)本息到期期一次總總付這種方式式常發生生在投資資較大、、建設期期較長的的項目貸貸款。表3-8本息到期期一次總總付計算算表（（單單位：萬萬元）年份12345合計年初欠款100.00105.94112.23118.90125.96563.03年末還本付息0000133.44133.44其中付息000033.4433.44還本0000100.00100.00年末欠款105.94112.23118.90125.9603.4常用的還還本付息息方式2022/12/2271由于貨幣幣的時間間價值，，不能把把發生在在不同時時間的利利息或還還款額簡簡單地相相加來判判斷還本本付息的的好壞。。事實上上，以上上例子中中的4種還款方方式的貨貨幣時間間價值都都是一樣樣的。3.4常用的還還本付息息方式9、靜夜四四無鄰，，荒居舊舊業貧。。。12月-2212月-22Thursday,December22,202210、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。01:26:5401:26:5401:2612/22/20221:26:54AM11、以我我獨沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2201:26:5401:26Dec-2222-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。01:26:5401:26:5401:26Thursday,December22,202213、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。12月-2212月-2201:26:5401:26:54December22,202214、他鄉生白發發，舊國見青青山。。22十二月月20221:26:54上午01:26:5412月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。。十二二月月221:26上上午午12月月-2201:26December22,202216、行動動出成成果，，工作作出財財富。。。2022/12/221:26:5401:26:5422December202217、做前，能能夠環視四四周；做時時，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點的的射線向前前。。1:26:54上上午1:26上上午01:26:5412月-229、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。12月-2212月-22Thursday,December22,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結結果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。01:26:5401:26:5401:2612/22/20221: