第11章

偏心受力構件承載力計算偏心受拉構件承載力計算偏心受壓構件承載力計算概述偏心距e0=0時，軸心受壓構件當e0→∞時，即N=0時，受彎構件偏心受壓構件的受力性能和破壞形態介于軸心受壓構件和受彎構件。11.1概述

=NAssA￠軸心受壓構件Ne0AssA￠偏心受壓構件純彎曲構件＋M＝Ne0AssA￠11.2.1兩種破壞形態偏心受壓構件的破壞形態與偏心距e0和縱向鋼筋配筋率有關1、拉壓破壞（大偏心受壓破壞）M較大，N較小偏心距e0較大As配筋合適11.2偏心受壓構件承載力計算

受拉破壞時的截面應力和破壞形態◆截面受拉側混凝土較早出現裂縫，As的應力發展較快，首先達到屈服強度。◆此后，裂縫快速開展，受壓區高度減小。◆最終受壓側鋼筋A's受壓屈服，壓區混凝土壓碎而達到破壞。◆這種破壞具有明顯預兆，變形實力較大，破壞特征與配有受壓鋼筋的適筋梁相像，承載力主要取決于受拉側鋼筋。◆形成這種破壞的條件是：偏心距e0較大，且受拉側縱向鋼筋配筋率合適，通常稱為大偏心受壓。AsA's5.1偏心受壓構件正截面的破壞形態拉壓破壞的主要特征：破壞從受拉區起先，受拉鋼筋首先屈服，而后受壓區混凝土被壓壞。拉壓破壞形態圖受拉破壞時的截面應力和破壞形態AsA's2、受壓破壞產生受壓破壞的條件有兩種狀況：⑴相對偏心距e0/h0較小，截面全部或大部分受壓⑵相對偏心距e0/h0較大，但受拉側縱向鋼筋配置過多As太多◆截面受壓側混凝土和鋼筋受力較大;而受拉側鋼筋應力較小。◆當相對偏心距e0/h0很小時，“受拉側”還可能出現“反向破壞”狀況。◆截面最終是由于受壓區混凝土首先壓碎而達到破壞。◆承載力主要取決于壓區混凝土和受壓側鋼筋，破壞時受壓區高度較大，遠側鋼筋可能受拉也可能受壓，破壞具有脆性性質。◆因該受壓破壞一般為偏心距較小的狀況，故常稱為小偏心受壓。5.1偏心受壓構件正截面的破壞形態受壓破壞特征：由于混凝土受壓而破壞，壓應力較大一側鋼筋能夠達到屈服強度，而另一側鋼筋受拉不屈服或者受壓不屈服。受壓破壞形態圖受壓破壞時的截面應力和破壞形態受壓破壞時的截面應力和破壞形態3.界限破壞◆即受拉鋼筋屈服與受壓區混凝土邊緣極限壓應變ecu同時達到。◆與適筋梁和超筋梁的界限狀況類似。◆因此，相對界限受壓區高度仍為:兩種偏心受壓構件的推斷當x≤xb時當x>xb時——受拉破壞(大偏心受壓)——受壓破壞(小偏心受壓)11.2.2基于縱向彎曲的二階彎矩計算由于施工誤差、荷載作用位置的不確定性及材料的不勻整等緣由，實際工程中不存在志向的軸心受壓構件。為考慮這些因素的不利影響，引入附加偏心距ea，即在正截面受壓承載力計算中，偏心距取計算偏心距e0=M/N與附加偏心距ea之和，稱為初始偏心距ei參考以往工程閱歷和國外規范，附加偏心距ea取20mm與h/30兩者中的較大值。此處h是指偏心方向的截面尺寸。一、初始偏心距二、彎矩增大系數◆由于側向撓曲變形，軸向力將產生二階效應，引起附加彎矩。◆對于長細比較大的構件，二階效應引起附加彎矩不能忽視。◆圖示典型偏心受壓柱，跨中側向撓度為f。對跨中截面，軸力N的偏心距為ei+f，即跨中截面的彎矩為M=N(ei+f)。◆在截面和初始偏心距相同的狀況下，柱的長細比l0/h不同，側向撓度f的大小不同，影響程度會有很大差別，將產生不同的破壞類型。◆對于長細比l0/b≤8的短柱。◆側向撓度f與初始偏心距ei相比很小。◆柱跨中彎矩M=N(ei+f)隨軸力N的增加基本呈線性增長。◆直至達到截面承載力極限狀態產生破壞。◆對短柱可忽視側向撓度f影響。◆長細比l0/b=8~30的中長柱。◆f與ei相比已不能忽視。◆f隨軸力增大而增大，柱跨中彎矩M=N(ei+f)的增長速度大于軸力N的增長速度。◆即M隨N的增加呈明顯的非線性增長。◆雖然最終在M和N的共同作用下達到截面承載力極限狀態，但軸向承載力明顯低于同樣截面和初始偏心距狀況下的短柱。◆因此，對于中長柱，在設計中應考慮側向撓度f對彎矩增大的影響。◆長細比l0/b>30的長柱◆側向撓度f的影響已很大◆在未達到截面承載力極限狀態之前，側向撓度f已呈不穩定發展即柱的軸向荷載最大值發生在荷載增長曲線與截面承載力曲線相交之前。◆這種破壞為失穩破壞，應進行特地計算本章關注截面承載力計算，因此下面的探討僅針對l0/b≤30的短柱和中長柱。彎矩作用內截面對稱的偏心受壓構件，當同一主軸方向的桿端彎矩比M1M2不大于0.9且設計軸壓比不大于0.9時，構件的長細比滿足廣義的界限條件公式的要求，可不考慮該方向構件自身撓曲產生的附加彎矩影響。 式中：M1、M2—分別為偏心受壓構件兩端截面按結構分析確定的對同 一主軸的彎矩設計值；確定值較大端為M2，確定值 較小端為M1，當構件按單曲率彎曲時，M1/M2為 正，否則為負；l0—構件的計算長度，此處可近似取偏心受壓構件相應主軸方向 兩支撐點之間的距離；i—偏心方向的截面回轉半徑。《規范》對二階效應的考慮：彎矩增大系數l0彎矩增大系數l0《規范》建議的彎矩增大系數l0取h=1.1h0端彎矩相等的p?δ效應端彎矩同號不相等的p?δ效應端彎矩相等不同號的p?δ效應《規范》規定考慮二階效應后的彎矩設計值：l0式中：一、基本假定◆偏心受壓正截面受力分析方法與受彎狀況是相同的，即仍接受以平截面假定為基礎的計算理論。◆對于正截面承載力的計算，同樣可按受彎狀況，對受壓區混凝土接受等效矩形應力圖。等效矩形應力圖的強度為a1fc，等效矩形應力圖的高度與中和軸高度的比值為b1。◆以受拉鋼筋屈服與受壓區混凝土邊緣極限壓應變εcu同時達到作為破壞界限。因此，相對界限受壓區高度仍為:11.2.3偏心受壓構件正截面承載力計算11.2.3偏心受壓構件正截面承載力計算當x≤xb時當x>xb時—受拉破壞(大偏心受壓)—受壓破壞(小偏心受壓)二、基本計算公式受拉側鋼筋應力σs？x,As,A’s？eNeN三、兩種偏心受壓構件的推斷當x≤xb時—受拉破壞(大偏心受壓)當x>xb時—受壓破壞(小偏心受壓)(1)干脆推斷法多用于截面復核eNeN(2)閱歷公式推斷法僅用于矩形截面計算(3)試算推斷法用于隨意截面設計先按照大偏心構件進行計算，得到ξ后再判斷。若則原假設正確，繼續計算；若則需要改為小偏心重新計算。已知：截面尺寸(b×h)、材料強度(fc、fy，fy′)、構件長細比(l0/h)以及軸力N和彎矩M設計值。若ei>0.3h0，一般可先按大偏心受壓狀況計算四、大偏壓不對稱配筋矩形截面設計⑴As和A's均未知時兩個基本方程中有三個未知數，As、A's和x，故無唯一解。與雙筋梁類似，為使總配筋面積（As+A's）最小可取x=xbh0得★若A's<rminbh?則取A's=rminbh，然后按A's為已知狀況計算。★若As<rminbh?應取As=rminbh。★若As<0

?假設錯誤⑵A's為已知時當A's已知時，兩個基本方程有二個未知數As和x，有唯一解。先由其次式求解x，若x<xbh0，且x>2a'，則可將代入第一式得若x>xbh0？★若As小于rminbh？應取As=rminbh。則應按小偏心或加大截面或按A‘s為未知重新設計;則可偏于平安的近似取x=2a'，按下式確定As若x<2a'？⑵A's為已知時當A's已知時，兩個基本方程有二個未知數As和x，有唯一解。先由其次式求解x，若x<xbh0，且x>2a'，則可將代入第一式得若x>xbh0？★若As小于rminbh？應取As=rminbh。★若As小于rminbh？應取As=rminbh。則應按小偏心或加大截面或按A's為未知重新設計；則可偏于平安的近似取x=2a'，按下式確定As若x<2a'？【例題11-1】矩形柱b×h=300mm×500mm，計算長度l0=4.5m，軸力設計值N=1250kN，柱全長彎矩設計值M=300kN?m，接受C30混凝土，縱向鋼筋接受HRB400(fy=fy’＝360N/mm2)，求縱向鋼筋AS及AS’例題選講1、推斷是否考慮二階效應須要考慮二階效應引起的彎矩增大，且可先按大偏壓計算。3、推斷偏心類別2、求彎矩增大系數

4、求5、求6、復核偏心類別?受拉鋼筋選用322，As

＝1140mm2

。受壓鋼筋選用328，As'

＝1847mm2

。ei≤0.3h0兩個基本方程中有三個未知數，As、As'和x，故無唯一解。確定其中一個未知量，再求解另外兩個未知量。五、小偏壓不對稱配筋截面設計已知：截面尺寸(b×h)、材料強度(fc、fy，fy′)、構件長細比(l0/h)以及軸力N和彎矩M設計值。小偏心受壓，即x>xb，ss<fy，As未達到受拉屈服。進一步考慮，假如x<2b1-xb，ss>-fy'，則As未達到受壓屈服因此，當xb<x<(2b1-xb)，As無論怎樣配筋，都不能達到屈服，為運用鋼量最小，故可取As=0.002bh。從受拉側鋼筋入手如附加偏心距ea與荷載偏心距e0方向相反，則可能發生As一側混凝土首先達到受壓破壞的“反向破壞”。此時通常為全截面受壓，由圖示截面應力分布，對A‘s取矩，可得：e'=0.5h-a'-(e0-ea)h'0=h-a'另一方面，當偏心距很小且軸力很大時，即：確定As后，就只有x和A's兩個未知數，故可得唯一解。依據求得的x，可分為三種狀況⑴若x<(2b1

-xb)，則將x代入求得A's。⑵若h/h0>x>(2b1

-xb)，ss=-fy'，基本公式轉化為下式，⑶若x>h/h0，應取x=h，同時取a1=1，代入基本公式干脆解得A's重新求解x和A's注：還應按軸心受壓驗算垂直彎矩方向的配筋量。【例題11-2】已知軸向壓力設計值N＝5280kN，彎矩設計值M＝24.2kN·m，截面尺寸b×h=400mm×600mm，a＝a’＝45mm。構件計算長度l0＝4m，接受的混凝土強度等級為C35，鋼筋為HRB400。求：鋼筋截面面積As和A's。1、推斷是否考慮二階效應須要考慮二階效應引起的彎矩增大，且可按小偏壓計算。3、推斷偏心類別2、求彎矩增大系數

4、求因為：5、求6、復核偏心類別?5、求受拉鋼筋選用225+222

As

＝1610mm2

。受壓鋼筋選用428，As'

＝2463mm2

。已知：截面尺寸(b×h)、截面配筋As和As’、材料強度(fc、fy，fy’)、以及構件長細比(l0/h)。依據軸力和彎矩作用方式，截面承載力復核分為兩種狀況：1、給定軸力設計值N，求彎矩作用平面的彎矩設計值MNMuNuNMMuNu六、不對稱配筋構件的截面復核2、給定軸力作用的偏心距e0，求軸力設計值N1、給定軸力設計值N，求彎矩作用平面的彎矩設計值M由于給定截面尺寸、配筋和材料強度均已知，未知數只有x和M兩個。若N

≤Nb，為大偏心受壓，若N

>Nb，為小偏心受壓，由(a)式求x，代入(b)式求e,再求e0，彎矩設計值為M=Ne0。2、給定軸力作用的偏心距e0，求軸力設計值N若ei≥e0b，為大偏心受壓未知數為x和N兩個，聯立求解得x和N。

fyAsf'yA'sNbeixce'xbe若ei<e0b，為小偏心受壓◆聯立求解得x和N◆尚應考慮As一側混凝土可能出現反向破壞的狀況e'=0.5h-a'-(e0-ea)，h'0=h-a'◆另一方面，當構件在垂直于彎矩作用平面內的長細比l0/b較大時，尚應依據l0/b確定的穩定系數j，按軸心受壓狀況驗算垂直于彎矩作用平面的受壓承載力上面求得的N比較后，取較小值。例11-3：已知軸向力設計值N＝1200kN，截面尺寸為b×h=400mm×600mm，a＝a'＝45mm。構件計算長度l0＝4m，接受的混凝土強度等級為C40，鋼筋為HRB400，As'＝1520mm2，As＝1256mm2。求：該構件在h方向上所能承受的彎矩設計值。【解】N＝1200kN<Nb，為大偏心受壓構件所以該構件屬于大偏心受壓狀況，且受壓鋼筋能達到屈服強度，則該構件在h方向上所能承受的彎矩設計值為：M2

=442.35kN·m◆實際工程中，受壓構件常承受變號彎矩作用，當彎矩數值相差不大，可接受對稱配筋。◆接受對稱配筋不會在施工中產生差錯，故有時為便利施工或對于裝配式構件，也接受對稱配筋。◆對稱配筋截面，即As=As'，fy=fy'，a=a'，其界限破壞狀態時的軸力為Nb=a1fcbxbh0。七、矩形截面對稱配筋構件的截面設計除要考慮偏心距大小外，還要依據軸力大小（N<Nb或N>Nb）的狀況判別屬于哪一種偏心受力狀況。若x=N/afcb<2a'，可近似取x=2a'，對受壓鋼筋合力點取矩可得e'=ei-0.5h+a'1、當ei>eib.min=0.3h0，且N<Nb時，為大偏心受壓

x=N/a1fcb由第一式解得代入第二式得這是一個x的三次方程，設計中計算很麻煩。為簡化計算，可近似取as=x(1-0.5x)在小偏壓范圍的平均值，代入上式2、當ei≤eib.min=0.3h0，為小偏心受壓或ei>eib.min=0.3h0，但N>Nb時，為小偏心受壓上式配筋為其次次迭代的近似值，與精確解的誤差已很小，滿足一般設計精度要求。對稱配筋截面復核的計算與非對稱配筋狀況相同。【例題11-4】矩形柱b×h=400mm×500mm，計算長度l0=4.5m，軸力設計值N=1200kN，柱全長彎矩設計值M=300kN?m，接受C30混凝土，縱向鋼筋接受HRB400(fy=fy’＝360N/mm2)，求對稱縱向鋼筋AS及AS’1、推斷是否考慮二階效應須要考慮二階效應引起的彎矩增大，且可先按大偏壓計算。3、推斷偏心類別2、求彎矩增大系數

4、求鋼筋選用420，As

＝As'=1256mm2

。八、Nu-Mu相關曲線

對于給定的截面、材料強度和配筋，達到正截面承載力極限狀態時，其壓力和彎矩是相互關聯的，可用一條Nu-Mu相關曲線表示。NNNuMuB(Nb,Mb)A(N0,0)C(0,M0)

Nu-Mu相關曲線反映了在壓力和彎矩共同作用下正截面承載力的規律，具有以下一些特點：⑴相關曲線上的任一點代表截面處于正截面承載力極限狀態時的一種內力組合。●如一組內力（N，M）在曲線內側說明截面未達到極限狀態，是平安的；●如（N，M）在曲線外側，則表明截面承載力不足。(2)截面受彎承載力Mu與作用的軸壓力N大小有關。●當軸壓力較小時，Mu隨N的增加而增加（CB段）；●當軸壓力較大時，Mu隨N的增加而減小（AB段）。(3)當彎矩為零時，軸向承載力達到最大，即為軸心受壓承載力N0（A點）。當軸力為零時，為純受彎承載力M0（C點）。截面最大受彎承載力在B點(Nb，Mb)出現，該點近似為界限破壞。11.3偏心受拉構件承載力計算11.3.1兩種偏心受拉構件的判別及破壞特征

1）大偏心受拉破壞

2）小偏心受拉破壞

N

fyAs

fy'A'se0easas‘h0-as'e'

α1fcbh0

ee0

fyAs

fyA'se'asas'h0-as'N1）基本假定◆偏心受拉正截面受力分析方法與受彎狀況是相同的，即仍接受以平截面假定為基礎的計算理論。◆對于正截面承載力的計算，同樣可按受彎狀況，對受壓區混凝土接受等效矩形應力圖。等效矩形應力圖的強度為a1fc，等效矩形應力圖的高度與中和軸高度的比值為b1。◆以受拉鋼筋屈服與受壓區混凝土邊緣極限壓應變εcu同時達到作為破壞界限。因此，相對界限受壓區高度仍為:11.3.2大偏心受拉構件正截面承載力計算

1）基本公式

式中

e—軸向力作用點至受拉鋼筋As合力點之間的距離；

N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

11.3.2大偏心受拉構件正截面承載力計算

2）適用條件

3）不對稱配筋計算方法

①截面設計N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

②截面校核：已知構件尺寸、配筋、材料強度、荷載及偏心距。N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

如何求解受拉側鋼筋應力σs？

4）對稱配筋計算方法①截面設計：對稱配筋時必有

，因此，按不對稱配筋時的情形處理。②截面校核：類似于不對稱配筋。

N

fyAs

fy'A'se0easas’h0-as'e'

α1fcbh0

1）不對稱配筋

（1）（2）①基本公式：如下圖，由截面內力平衡得

e0N

fyAs

fyA'se'easas'h0-as'11.3.3小偏心受拉構件正截面承載力計算

'②截面設計：已知構件尺寸、材料強度等級和內力，求配筋。在此狀況下基本公式中有二個未知數，可干脆求解。③截面校核：一般已