PAGEPAGE5安徽大學2001年攻讀碩士研究生入學初試試題考試科目：高等代數 注意：所有解答必須寫在答題紙上，寫在試卷或草稿紙上一律無效！一、(15分)矩陣A,B具有相同的行數，把B的任意一列加到A得到矩陣秩不變，證明:把B的所有列同時加到A上秩也不變.證明:法一：取的列向量的極大線性無關組，那么知道 的任何列都可以由這些向量線性表出，從而得結論。（ 行

列秩矩陣的秩）：法二rankA：

rank(A,bi

)xA0x(A,bi

)0而xAB)0xAbirankA rank(A,B)

)0,ixA0二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按 的冪次排列的多項式a x11a xD 21...a xn1

a x12a x22...a n2

a x1na x2n...a xnn(2)把行列式D的所有元素都加上同一個數，則行列式所有元素代數余子式之和不變.證明：a x11a

a x12a

a x1na x

a 11a a

a 12a a

a x1na a(1)D

21...

22...

...

2n ...

21 11...

22 12...

...

2n 1n...a n1a11

a xn2a 12

...

a xnna1n

a an1 11x

a an2 x

a ann 1nxa21

a11...

a a22 12...

a a2n 1n...

a a21 11...

a a22 12...

a a2n 1n...a an1 11

a an2 1

...1

a ann 1n...

a an1 111

a an2

...

a ann 1nAx

a a21 11...

a a22 12...

a a2n 1n...

Ax

Aij1i,jna an1 11

a an2

...

a ann 1nA(aij

)n

A為中ij

的代數余子式。ijLemma:1 1

1 0... 10 1

0 ... 01 ... 1a a21 11...a a11

a a22 12...a an2 12

... a2n ann

a1n...a1n

1...1

a a21 11...a a

a a22 12...a a

... a2n...a

a1n...a1 a a11

... a1n

n1 11

n2 12

nn 1n0 1 1 ... 11 a21

a ... a22 2n

A.(參考中科大課本P89習題)ij...

...

...

...

...

1i,jn1 a a ... an1 n2 nn(2)只需說明D的代數余子式(Dij

)之和與x無關即可。1 a11ij

x a 01011 ... 1011 ... 1D 1a xa x ... a x1aa ... a ,得證。22

... a1n2n

x 1 a1121

a ... a12 1n22 2n1i,jn ... ... ...1 a x a n2

... ... ... ... a x 1 a ann n2

... ann三、(15分)證明下面的(i)和(ii)等價：矩陣是正交矩陣；矩陣的行列式為當時，矩陣所有元素的代數余子式為其本身，當A時，矩陣所有元素的代數余子式為其本身乘以－1.證明：對階矩陣的伴隨矩陣為detAI'In

n(detA)21detA1；且A*detAA'，也就是矩陣所有元素的代數余子式為其本身乘以detA.i，由矩陣所有元素的代數余子式為其本身乘以detdetA1detAA'detAIn

detAAA'AA'IA是正交矩陣.a b四(15分)(1)設矩Ac d,則矩滿足方x2

(ad)xadbc0; (2Ak0,k2,A20.證明：()為:()I2

A

c

bd

2(ad)adbc,又(A)0故x2ad)xadbc0; 設矩Aa b c d Ak也就滿足方xk0(1x2(ad)xadbcxkad0,adbc由x2A20.A和特征向量.

2,P1 322 3220102301

,BP1A*P2E,求B的特征值 0 1 1 5 解1 0 0,2 5 2,B2 7 0 0 1 5 9

0 0 IB 2 7 4 9)2(3),

9,

3; 2 2

1 2 30 2|BvF2F0,1 9 1

0{v|Bv3v}F1，3 1 1 （特征向量為相應特征子空間的非零向量）。六、(15分)設W,W1

,W是向量空間V的子空間，W2

W,W2

WW2

W,WWW1

WW1

W.2證明：由維數定理dim(Wi

W)dimWi

dimWdim(Wi

W),i1,2.而W WW1 2

WdimW1

dimW2

又W1

WW1

W.2七、(15分)三階矩陣A,B,C,D具有相同的特征多項式，證明其中必有兩個矩陣相似.證明：列舉出三階方陣X所有可能的Jordan標準型如下，X標準型必為：diag(1 2 3 1 2 3X兩重）,則標準型為：1 2 1 (,,

或者1 ；diag1 1 2

1 2 2X,則標準型為：11 1 1 1(,,1

或者

1；1diag1

1 1 1

1 1從而四個具有相同特征多項式的三階方陣必有兩個方陣的Jordan標準型相同故相似.八、(15分)設是向量空間V的正交變換，W是的不變子空間，證明W也是的不變子空間.證明：設dimVn,dimWr.分別取W和W的單位正交基：,1 2

, r

和r

,r

, ,n則,1

, n

,為V的標準正交基，則在這組基下的方陣O應為正交陣,又W是的不變子空間,故可設O為 X Z X Z O ,OO'I

YY'I

,YZ'0Z00 YX 0

n 0 Y

Z' Y' n

nr從而O

0 Y,故W也是九、(15分)設為實矩陣，證明存在正交矩陣G1條件是.證明：必要性顯然。()對的階數進行歸納：n時顯然成立；設n時充分性成立，那么n時：設屬于的特征值的單位特征向量為

把擴充成標準正交基,

,,),令O,1 2

,,

1 1 1),則O為正交陣。且n

1 2 n AO(A,A,,A)(,

,,

)1 O1 1 2 n 1

n 0 A 0 A11其中為n1維行向量，A為n1階實方陣而且特征值均為實數，111由歸納假設，存在n1階正交陣O使得O－1AO為上三角陣令GO1 0則

1 1 1 10 O11 0

1 0 1 0

1

0

O G1AG

O1AO

1

1 1 0 O1 0

0 O1

A0

0 O1AO1為上三角方陣。

1 1 1 1

1 1 1十、(15分)設P為數域，fi

f(x)P[x],gi

g(x)P[x],i1,2,ifg1 1

)(f,g2

)(f1

f,fg,g2 1 2

f,gg)2 1 2證明：設fg1

)d1

,(f,g2

)d2

d|fi

,g,i1,2i且有fi

ad,gbdi i i i

,(ab1,i1,2,i id(ff,fg,gf,gg)(adad

,adb

,bda

,bdbd)1 2 1 2 1 2 1

1 1 2 2 1 12

1 1 2 2 1 12 2dd(aa,ab,ba,bb

(aaa

,ba,bb)d',1 2 1 2 12 1 2 12

1 2 1