本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，=a+b.(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線，方向相反且模是6a的模的.所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=b，又試用a、b表示③(a+2b)-(2b+a)=0.即：b+a++(-a)=0，如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以與共線，且有公共端點(diǎn)B，所以A，B，C提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實(shí)數(shù)，只有λ，μ都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成立.(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 ()6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算第一頁，共57頁。本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=1.向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.第二頁，共57頁。1.向量的數(shù)乘運(yùn)算第二頁，共57頁。(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.第三頁，共57頁。(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa【思考】向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是什么？提示：數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量，它既有大小又有方向.第四頁，共57頁。【思考】第四頁，共57頁。2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.第五頁，共57頁。2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律第五頁，共57頁。【思考】這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實(shí)數(shù)，只有λ，μ都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成立.第六頁，共57頁。【思考】第六頁，共57頁。3.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.第七頁，共57頁。3.向量的線性運(yùn)算第七頁，共57頁。【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.第八頁，共57頁。【思考】第八頁，共57頁。(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.第九頁，共57頁。(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)第十頁，共57頁。【素養(yǎng)小測(cè)】第十頁，共57頁。(3)若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.(

)第十一頁，共57頁。(3)若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.第十一頁提示：(1)√.因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當(dāng)λ<0時(shí)，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時(shí)不成立.第十二頁，共57頁。提示：(1)√.因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-32.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3第十三頁，共57頁。2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 ()第十三頁，共57頁。【解析】選C.因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯(cuò)誤.第十四頁，共57頁。【解析】選C.因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；第十四頁求x+y的值.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，=-b，所以四邊形ANCD是平行四邊形.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)類型二用已知向量表示相關(guān)向量如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=與5x+2y=a相加，-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】設(shè)λ則則+3e1-3e2=5(e1+e2)=5(3)λ(a+b)=λa+λb.這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使類型一向量的線性運(yùn)算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測(cè))化簡(jiǎn)

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結(jié)果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b第十五頁，共57頁。求x+y的值.類型一向量的線性運(yùn)算第十五頁，共57頁。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

第十六頁，共57頁。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思維·引】1.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).2.利用解方程的方法求解.第十七頁，共57頁。【思維·引】1.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).第十七頁【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0第十八頁，共57頁。【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=【內(nèi)化·悟】1.向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？提示：去括號(hào)，合并“同類項(xiàng)”.第十九頁，共57頁。【內(nèi)化·悟】第十九頁，共57頁。2.解含有向量的方程時(shí)，可以把向量當(dāng)成普通未知量求解嗎？提示：可以.第二十頁，共57頁。2.解含有向量的方程時(shí)，可以把向量當(dāng)成普通未知量求解嗎？第二【類題·通】向量線性運(yùn)算的方法(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).第二十一頁，共57頁。【類題·通】第二十一頁，共57頁。(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.第二十二頁，共57頁。(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解【習(xí)練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.第二十三頁，共57頁。【習(xí)練·破】第二十三頁，共57頁。【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.第二十四頁，共57頁。【加練·固】第二十四頁，共57頁。【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.第二十五頁，共57頁。【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，第二十五頁，共57頁。類型二用已知向量表示相關(guān)向量【典例】1.(2019·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為_______.

第二十六頁，共57頁。類型二用已知向量表示相關(guān)向量第二十六頁，共57頁。第二十七頁，共57頁。第二十七頁，共57頁。2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示第二十八頁，共57頁。2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為第二【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計(jì)算“系數(shù)”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)求出第二十九頁，共57頁。【思維·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

第三十頁，共57頁。【解析】1.由已知第三十頁，共57頁。2.設(shè)=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由第三十一頁，共57頁。2.設(shè)=x，=y，第三十一頁，共57頁。解得即==第三十二頁，共57頁。解得第三十二頁，共57頁。方向相反且模是6a的模的.當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()方向相反且模是6a的模的.關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).(方法二)因?yàn)?0，(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.b，又試用a、b表示設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？所以(a-b)，【解析】設(shè)λ則則(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，類型一向量的線性運(yùn)算方向相反且模是6a的模的.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【內(nèi)化·悟】分析切入問題時(shí)，對(duì)條件應(yīng)怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結(jié)果.第三十三頁，共57頁。方向相反且模是6a的模的.【內(nèi)化·悟】第三十三頁，共5【類題·通】(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(2)當(dāng)直接表示較困難時(shí)，應(yīng)考慮設(shè)出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.第三十四頁，共57頁。【類題·通】第三十四頁，共57頁。【習(xí)練·破】如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知=a，=b，試用a，b表示第三十五頁，共57頁。【習(xí)練·破】第三十五頁，共57頁。【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，第三十六頁，共57頁。【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，第三十六頁，共5所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因?yàn)?0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.第三十七頁，共57頁。所以四邊形ANCD是平行四邊形.第三十七頁，共57頁。(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，b，又試用a、b表示向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？所以y=3x-b=3=a-b.當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.【思維·引】利用向量共線定理解答.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.所以所以m+n=0.先用向量表示向量，然后②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；利用解方程的方法求解.如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|先用向量表示向量，然后(方法二)因?yàn)?0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因?yàn)樵谒倪呅蜛DMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.第三十八頁，共57頁。(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示第三十九頁，共57頁。【加練·固】第三十九頁，共57頁。【解析】因?yàn)?a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得第四十頁，共57頁。【解析】因?yàn)?a-b，第四十頁，共5=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.第四十一頁，共57頁。=a+類型三向量共線定理及應(yīng)用角度1求參數(shù)問題【典例】(2019·天水高一檢測(cè))設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-第四十二頁，共57頁。類型三向量共線定理及應(yīng)用第四十二頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十三頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十三頁，共57頁。【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.第四十四頁，共57頁。【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)第四十四頁【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應(yīng)用，突出考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.第四十五頁，共57頁。【素養(yǎng)·探】第四十五頁，共57頁。【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.第四十六頁，共57頁。【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使第四十六頁角度2三點(diǎn)共線問題【典例】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)第四十七頁，共57頁。角度2三點(diǎn)共線問題第四十七頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十八頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十八頁，共57頁。【證明】由題意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線，且有公共端點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線.第四十九頁，共57頁。【證明】由題意，得=(3a+b)-(【類題·通】關(guān)于向量共線定理的應(yīng)用(1)向量共線定理：b與a(a≠0)共線與b=λa是一個(gè)等價(jià)定理，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.第五十頁，共57頁。【類題·通】第五十頁，共57頁。(2)證明三點(diǎn)共線，往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩個(gè)有向線段表示的向量共線，必須說明構(gòu)造的兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，否則兩向量所在的直線可能平行，解題時(shí)常常會(huì)因忽視對(duì)公共點(diǎn)的說明而丟分.第五十一頁，共57頁。(2)證明三點(diǎn)共線，往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩個(gè)有向線段表所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，先用向量表示向量，然后(2)a與-λa的方向相反.線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 ()=a-b.(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)設(shè)=x，=y，(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？λ1+λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為得11x=a+2b，即x=a+b.所以x+y=1+λ-λ=1.【思維·引】利用向量共線定理解答.關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.(方法二)因?yàn)?0，利用解方程的方法求解.[(2a+8b)-(4a-2b)]的結(jié)果是 ()的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.【發(fā)散·拓】關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式平面上三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).第五十二頁，共57頁。所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a【【延伸·練】已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若求x+y的值.第五十三頁，共57頁。【延伸·練】第五十三頁，共57頁。【解析】設(shè)λ則則所以x+y=1+λ-λ=1.第五十四頁，共57頁。【解析】設(shè)λ則則【習(xí)練·破】已知非零向量e1，e2不共線.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.第五十五頁，共57頁。【習(xí)練·破】第五十五頁，共57頁。【解析】(1)因?yàn)?e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共線，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.第五十六頁，共57頁。【解析】(1)因?yàn)?e1+e2，(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，只能有所以k=±1.第五十七頁，共57頁。(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線，第五十七頁，共57本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，=a+b.(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線，方向相反且模是6a的模的.所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=b，又試用a、b表示③(a+2b)-(2b+a)=0.即：b+a++(-a)=0，如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以與共線，且有公共端點(diǎn)B，所以A，B，C提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實(shí)數(shù)，只有λ，μ都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成立.(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 ()6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算第一頁，共57頁。本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=1.向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.第二頁，共57頁。1.向量的數(shù)乘運(yùn)算第二頁，共57頁。(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.第三頁，共57頁。(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa【思考】向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是什么？提示：數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量，它既有大小又有方向.第四頁，共57頁。【思考】第四頁，共57頁。2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.第五頁，共57頁。2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律第五頁，共57頁。【思考】這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實(shí)數(shù)，只有λ，μ都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成立.第六頁，共57頁。【思考】第六頁，共57頁。3.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.第七頁，共57頁。3.向量的線性運(yùn)算第七頁，共57頁。【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.第八頁，共57頁。【思考】第八頁，共57頁。(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.第九頁，共57頁。(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)第十頁，共57頁。【素養(yǎng)小測(cè)】第十頁，共57頁。(3)若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.(

)第十一頁，共57頁。(3)若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.第十一頁提示：(1)√.因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當(dāng)λ<0時(shí)，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時(shí)不成立.第十二頁，共57頁。提示：(1)√.因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-32.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3第十三頁，共57頁。2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 ()第十三頁，共57頁。【解析】選C.因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯(cuò)誤.第十四頁，共57頁。【解析】選C.因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；第十四頁求x+y的值.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，=-b，所以四邊形ANCD是平行四邊形.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)類型二用已知向量表示相關(guān)向量如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=與5x+2y=a相加，-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】設(shè)λ則則+3e1-3e2=5(e1+e2)=5(3)λ(a+b)=λa+λb.這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使類型一向量的線性運(yùn)算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測(cè))化簡(jiǎn)

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結(jié)果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b第十五頁，共57頁。求x+y的值.類型一向量的線性運(yùn)算第十五頁，共57頁。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

第十六頁，共57頁。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思維·引】1.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).2.利用解方程的方法求解.第十七頁，共57頁。【思維·引】1.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).第十七頁【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0第十八頁，共57頁。【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=【內(nèi)化·悟】1.向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？提示：去括號(hào)，合并“同類項(xiàng)”.第十九頁，共57頁。【內(nèi)化·悟】第十九頁，共57頁。2.解含有向量的方程時(shí)，可以把向量當(dāng)成普通未知量求解嗎？提示：可以.第二十頁，共57頁。2.解含有向量的方程時(shí)，可以把向量當(dāng)成普通未知量求解嗎？第二【類題·通】向量線性運(yùn)算的方法(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).第二十一頁，共57頁。【類題·通】第二十一頁，共57頁。(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.第二十二頁，共57頁。(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解【習(xí)練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.第二十三頁，共57頁。【習(xí)練·破】第二十三頁，共57頁。【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.第二十四頁，共57頁。【加練·固】第二十四頁，共57頁。【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.第二十五頁，共57頁。【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，第二十五頁，共57頁。類型二用已知向量表示相關(guān)向量【典例】1.(2019·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為_______.

第二十六頁，共57頁。類型二用已知向量表示相關(guān)向量第二十六頁，共57頁。第二十七頁，共57頁。第二十七頁，共57頁。2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示第二十八頁，共57頁。2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為第二【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計(jì)算“系數(shù)”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)求出第二十九頁，共57頁。【思維·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

第三十頁，共57頁。【解析】1.由已知第三十頁，共57頁。2.設(shè)=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由第三十一頁，共57頁。2.設(shè)=x，=y，第三十一頁，共57頁。解得即==第三十二頁，共57頁。解得第三十二頁，共57頁。方向相反且模是6a的模的.當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()方向相反且模是6a的模的.關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).(方法二)因?yàn)?0，(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.b，又試用a、b表示設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？所以(a-b)，【解析】設(shè)λ則則(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，類型一向量的線性運(yùn)算方向相反且模是6a的模的.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【內(nèi)化·悟】分析切入問題時(shí)，對(duì)條件應(yīng)怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結(jié)果.第三十三頁，共57頁。方向相反且模是6a的模的.【內(nèi)化·悟】第三十三頁，共5【類題·通】(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(2)當(dāng)直接表示較困難時(shí)，應(yīng)考慮設(shè)出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.第三十四頁，共57頁。【類題·通】第三十四頁，共57頁。【習(xí)練·破】如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知=a，=b，試用a，b表示第三十五頁，共57頁。【習(xí)練·破】第三十五頁，共57頁。【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，第三十六頁，共57頁。【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，第三十六頁，共5所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因?yàn)?0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.第三十七頁，共57頁。所以四邊形ANCD是平行四邊形.第三十七頁，共57頁。(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的【解析】(方法一)連接CN，則ANDC，b，又試用a、b表示向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？所以y=3x-b=3=a-b.當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.【思維·引】利用向量共線定理解答.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.所以所以m+n=0.先用向量表示向量，然后②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；利用解方程的方法求解.如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|先用向量表示向量，然后(方法二)因?yàn)?0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因?yàn)樵谒倪呅蜛DMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.第三十八頁，共57頁。(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示第三十九頁，共57頁。【加練·固】第三十九頁，共57頁。【解析】因?yàn)?a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得第四十頁，共57頁。【解析】因?yàn)?a-b，第四十頁，共5=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.第四十一頁，共57頁。=a+類型三向量共線定理及應(yīng)用角度1求參數(shù)問題【典例】(2019·天水高一檢測(cè))設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-第四十二頁，共57頁。類型三向量共線定理及應(yīng)用第四十二頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十三頁，共57頁。【思維·引】利用向量共線定理解答.第四十三頁，共57頁。【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.第四十四頁，共57頁。【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)第四十四頁【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應(yīng)用，突出考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.第四十五頁，共57頁。【素養(yǎng)·探】第四十五頁，共57頁。【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即2me