復(fù)變函數(shù)與積分變換第復(fù)變函數(shù)與積分變換第9頁共6頁一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題2分，共30分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。下列復(fù)數(shù)中，位于第三象限的復(fù)數(shù)是（ ）A. 1B. 1C. 1D. 12i下列等式中，不成立的等式是（ ）3arctan43C.arg(34i)22arg(34i)下列命題中，的是（ ）

B.arg(3i)arg(i)D.zz|z|2A. z1表示圓的內(nèi)部 B. Re(z)0表示上半平面C. 0argz4

表示角形區(qū)域

D. Im(z0表示上半平面關(guān)于z0A.0

z下列命題正確的是（ ）zzB.不存在 C.1

1下列函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面上解析的函數(shù)是（ ）zez sinz C.tanzez D.sinzezz21在復(fù)平面上，下列命題中，的是（ ）cosz是有界函數(shù)Lnz2

2Lnzz2eizcoszisinz zz23在下列復(fù)數(shù)中，使得ez3zln22ii3C.zln22i6

i成立的是（

zln42ii3D.zln42i6已知z31i，則下列正確的是（ ）z

i32e12 z

62e

3i4 C.z

7i32e12

D.z

62e3i

4|z|3z

dz的值為（ ）B.2 C. 2i D. 4i設(shè)C為正向圓周|z|4,

ez dz等于（ ）C(zi)101A. 10!

2iB. 10!

2i9!

2iD. 9!以下關(guān)于級數(shù)的命題不正確的是（ ）級數(shù)

32in 是絕對收斂的

級數(shù)

1 i

是收斂的n0

7

n2

2n

n(n1)在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)絕對收斂 D.在收斂圓周上，條件收斂z0

ezz(1cosz)

的（ ）A.可去奇點(diǎn)C.二級極點(diǎn)1z(z 2)

在點(diǎn)z 處的留數(shù)為（

B.一級極點(diǎn)D.三級極點(diǎn)1A.0 1 C.2

D. 12設(shè)C為正向圓周|z1,則積分

ezdzcsin

等于（ ）A．2π B．2πi D．－2π已知F)F[f(t)]，則下列命題正確的是（ ）A.F[f(t2)]e2jF()B.C.A.F[f(t2)]e2jF()B.C.F[f(2t)]2F(2)D.F[e2jtf(t)]F(2)二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）zz1

1i,z2

1 3i，求 z2

.已知f(z)(bx2y2x)i(axyy)在復(fù)平面上可導(dǎo)，則ab .設(shè)函數(shù)f(z)=ztcostdt，則f(z)等于 .0

n1

(2)nznn2

的收斂半徑.設(shè)z3，則映射在z 1i處的旋轉(zhuǎn)角，伸縮率.0設(shè)函數(shù)f(t)t2sint，則f(t)的拉氏變換等.三、計(jì)算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）設(shè)C為從原點(diǎn)到3－4i的直線段，計(jì)算積分I [(xy)2xyi]dzC設(shè)f(z

ez cosz. (1求f(z)（2）求f(z).z2i24．已知u(x,y)x2y24xf(z)u(x,yiv(xyf(0)3。23.將函數(shù)f(z)

1(z1)(z

在點(diǎn)z0處展開為洛朗級數(shù).25.計(jì)算

dz .|z|3(z1)2(zi)(z4)四、綜合題（共4小題，每題8分，共32分）計(jì)算

20

1 d.54cos求分式線性映射f(z)f(2i)0，argf(0)1.2,f(tt,0,

1t00t1的傅氏變換。其它y(ty(t)et,其中y(0)1.復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試卷答案一、選擇題1．B. 2. C. 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B12.D 13.C 14.A 15.B二、填空題16．z

i6

, 17.1, 18.3(zez6

ez

1),1 31 3( 31)i三、計(jì)算題（本大題共4小題，每題7分，共28分）設(shè)C為從原點(diǎn)到2＋3i的直線段，計(jì)算積分I [(x2y)ixy]dzC解：設(shè)曲線C的參數(shù)方程為C:z(23i)t 0t1.I[(x2y)ixydz1(2ttt2i)(2i)dtC 01(tt2i)(2i)dt(2i)(t2ti)10 0102i.設(shè)f(z

ez cosz. (1求f(z)（2）求f(z).4z2解：(1)由方程4z2

0得z2，故f(z)的解析區(qū)域?yàn)镃\{2,2}.(2)f(z)

ez(4z22z)sinz.(4z2)2f(z)

1(z1)(z

在點(diǎn)z0處展開為泰勒級數(shù).解：f(z)

1 1 1 1 1(z1)(z2) (z2) (1z)

z) (1z)2 1z

z

znz

|z1.2n0

2

n0 n0

2n1

nn0n1將函數(shù)f(z) ez(z1)2

在圓環(huán)0|z1|內(nèi)展開成洛朗級數(shù). zn

1

1 n z 解：ez的泰勒展式為ez

，故ez的羅朗展式為ezn!n0

，n!n0 1 n1 f(z)

ez1(z1)2

1(z1)2

n0

z1n!

n0

1 .n!(z1)n2四、綜合題（共4小題，每題8分，共32分）已知u(z,y)x2y22xf(z)u(xyiv(xyf(0)。解：由柯西－黎曼方程得vu

2y, 所以v(xy)x2ydxCy)2xyCy).x yv2xC(y)y

02x2,所以CyyCy)dxC2yC.0所以v(x,y)2xy2yC.從而f(z)x2y2x(2xy2yC)i.又f(0)Ci所以C2. 所以f(z)x2y2x(2xy2y2)i.計(jì)算

dz .|z|2(z1)2(z1)(z3)解：由柯西積分定理得1 1原式|z2

(z1)(z3)dz(z1)2 |z12

(z1)2(z3)dz(z1)1(z1)2(z1(z1)2(z3) (z1)(z3)222z(z1)2(z3)2

z1

1.

z1z11,27.f(t)1,0,

16 161t00t1的傅氏變換。其它解：F)

ft)etdt0etdt1etdt1 0eiti01 eiti01

1eiei1i1