第四章三角函數、解三角形第一講任意角和弧度制及任意角的三角函數知識梳理雙基自測(對應學生用書學案PO75)ZHISHISHULISHUANGJIZICE回畫回回知識點一角的有關概念(1)從旋轉的角度看，角可分為正角、負角和零角.(2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角.(3)若夕與a是終邊相同的角，則夕用a表示為6=2E+a,k，知識點二弧度制及弧長、扇形面積公式(1)1弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.(2)角a的弧度數如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為I,那么角a的弧度數的絕對值是|a|=：(3)角度與弧度的換算①1。二焉皿②lrad=(^+(4)弧長、扇形面積的公式設扇形的弧長為/,圓心角大小為a(rad),半徑為r,則/=也岳扇形的面積為知識點三任意角的三角函數(1)定義：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么sina=j,cosay=x9tana=：(xW0).(2)三角函數的符號三角函數在各象限的符號一定要熟記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是點(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角a的無弦線，余弦線和正切線..終邊相同的角與對稱性拓展(1)或，a終邊相同0s=a+2E,JtGZ.(2)“，a終邊關于x軸對稱。邛=-a+2E,k^Z.(3)/1,a終邊關于y軸對稱今我=7t—a+2航，AGZ.(4加，a終邊關于原點對稱㈡夕=7t+a+2E,JtGZ..終邊相同的角不一定相等，相等角的終邊一定相同，在書寫與角a終邊相同的角時,單位必須一致.回國回回題組一走出誤區.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)(1)小于90。的角是銳角.(X)(2)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.(X)(3)角a=hr+W伏GZ)是第一象限角.(X)兀 71(4)若sina=sin,,則a=,.(X)［解析］根據任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是錯誤的.題組二走進教材.(必修IPi71T3改編)一870。的角的終邊所在的象限是(C)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限I解析］-870。=-2X360。-150。，-870。和一150。的終邊相同，所以一870。的終邊在第三象限..(必修IP176T5改編)下列與詈的終邊相同的角的表達式中正確的是(C)A.2fat+45°(JieZ) B.k360°+?MAGZ)C.Jt-360°-315°（A：ez） D.E+7/EZ）TT［解析］由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和孤度，應為￡+2?或k360°+45°（&GZ）..他修IP182T4改編）若角。滿足tanGO,sinKO,則角。所在的象限是（C）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限［解析］由tanGO知，6是一、三象限角，由sinKO知，。是三、四象限角或終邊在y軸非正半軸上，故。是第三象限角.7T.（必修IP176T9（2）改編）一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為全弧度.題組三走向高考.（2020?課標II,2,5分）若a為第四象限角，則（D）A.cos2a>0 B.cos2a<0C.sin2a>0 D.sin2a<0jr［解析|解法1：?；a是第四象限角，二一］+2E<a<2E,AGZ,；.—兀+4也<2a<4E,kGZ,.?.角2a的終邊在第三、四象限或y軸非正半軸上，二sin2a<0,cos2a可正、可負、可零.故選D.解法2：sin2a=2sinacosa<0..（2019?浙江，14,5分）已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點［一,，則sin（a+兀）的值為,.解析1由角q的終邊過點 一,）得sina=—,,所以sin（a+7t）=-sina=*考點突破互動探究（對應學生用書學案P076）KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點一角的基本概念——自主練透■例1（1）若角6的終邊與號的終邊相同，則在區間［0,2兀）內終邊與冬的終邊相同的角（2）若角a的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角a的取值集合是（C）a=2kn—^fjaa=2E+?Aez)|aa=lat+^Mz］\aa=kn—^9左(3)(多選題)已知角a的終邊在第二象限，貝反的終邊必在第幾象限(AC)A.一 B.二C.三 D.四［解析1(1)V。=號+2kn(k￡Z)，.二菱=卒+癡(攵￡Z).依題意，0W與+Ev2mAWZ,3 11解得一k《Z.：.k=OA,即在區間［0,2兀)內終邊與細同的角為與，券(2)因為直線y=y［3x的傾斜角是：，所以終邊落在直線y=^x上的角的取值集合為aa=far+；,kez),故選C.(3)由角a的終邊在第二象限，所以5+k2兀＜。＜兀+卜2兀，kGZ,“"兀aK、k? ,所以不+5271V兀，kGZ,當k=2m,時，^+加2兀號工+加2兀，mGZ,所以彳終邊在第一象限；57c (X,37t當k=2m+1, 時，1+%2”5＜了+加2兀，mGZ,所以卷終邊在第三象限，綜上，1的終邊在第一或三象限.故選A、C.［引申］(1)本例題(3)中，若把第二象限改為第三象限，則結果如何？［答案］為終邊在第二或第四象限.(2)在本例題(3)中，條件不變，?的終邊所在的位置是在第一、二或四象限.(3)在本例(3)中，條件不變，則兀一a是第二象限角，2a終邊的位置是第三或第四象限或y軸負半軸上. 名師直被MINGSHIDIANBO.迅速進行角度和瓠度的互化，準確判斷角所在的象限是學習三角函數知識必備的基本功，若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化成2E+a(O<a<27t)(AGZ)的形式，然后再根據a所在的象限予以判斷，這里要特別注意是兀的偶數倍，而不是兀的整數倍..終邊相同角的表達式的應用利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數依iez)賦值來求得所需角..確定依6N*)的終邊位置的方法(1)討論法：①用終邊相同角的形式表示出角a的范圍.②寫出上的范圍.③根據k的可能取值討論確定系的終邊所在位置.(2)等分象限角的方法：已知角a是第制機=123,4)象限角，求多是第幾象限角.K①等分：將每個象限分成々等份.②標注：從x軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環標上1,2,3,4,直至回到X軸正半軸.③選答：出現數字機的區域，即為上所在的象限.如F判斷象限問題可采用等分象限法.考點二扇形的弧長、面積公式的應用——師生共研??■例2已知扇形的圓心角是a,半徑為R,弧長為/.(1)若a=60。，R=10cm,求扇形的弧長/；jr(2)若a=§,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積；(3)若扇形的周長是20cm,當扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面積最大？I解析］(l)a=60°=1,/=10x1=^(cm).2ir(2)設弓形面積為S弓.由題知l=—cm.S弓=5扇形一S三角形=^X竽X2—3X22Xsin鼻=停一小)cn?.(3)由已知得,Z+2?=20,所以S=：/R=；(20-2R)R=107?-/?2=-(/?-5)2+25.所以當R=5時，S取得最大值25cm2,此時Z=10,a=2.［答案］(1/y^cm(2)停一4§)cm2(3)a=2時，S最大為25cm2 名師克披MINGSHIDIANBO弧長和扇形面積的計算方法(1)在瓠度制下，計算扇形的面積和瓠長比在角度制下更方便、簡捷.但要注意圓心角的單位是瓠度.(2)從扇形面積出發，在弧度制下使問題轉化為關于a的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值.⑶記住下列公式:①/=aR；②S=g/R;③S=、R2.其中R是扇形的半徑，/是弧長,a(O<a<27t)為圓心角，S是扇形面積.〔變式訓練1〕(1)(多選題)(2022?青島質檢)已知扇形的周長是6,面積是2,下列選項可能正確的是(ABC)A.圓的半徑為2B.圓的半徑為1C.圓心角的弧度數是1D.圓心角的弧度數是2(2)(2021?山東濰坊期中)《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=1(弦X矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現

有圓心角為甘，半徑為6m的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是（小弋1.73）（C）A.16A.16mD.25mC.20D.25m 1 _J3_5___2sinatana1212 3,［解析］（1）設扇形半徑為r,圓心角弧度數為a,2r+ar=6,

2r+ar=6,

則由題意得村,=2,解得r=2,可得圓心角的瓠度數是4或1.27r 71 jr(2)如圖，由題意，得乙408=7，O4=6.在Rt△AOO中，可得/AO￡)=§,ND4O=4,OZ)=；AO=；X6=3,可得矢=6—3=3.由AD=AOs\n三=6X坐=3小，可得弦AB=2AD=2X34=6\G，所以弧田面積=g（弦X矢+矢2）=|（6a/3X3+32）=9<3+4.5^20（m2）,故選C.考點三三角函數的定義——多維探究角度1定義的直接應用■例3已知角a的終邊經過點p（—x,—6）,且cosQ=一宜，則二二十二7二=二是1jsinu.idnct—■?5I解析］因為角a的終邊經過點P（一X,—6）,且cosa=一三，所以所以cosa<\/x2+36 ⑶解得x=|或X=一>|（舍去）,所以W-6）,所以sina=一萬，角度2三角函數值符號的應用?■例4（1）下列各選項中正確的是（D）A.sin300°>0 B.cos（-305°）<0tan（一音）>0 D.sin10<0COSQ⑵若sinataria<0,且; <0,則角a是（C）【anaA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角［解析］（1）300°=360°-60°,則300。是第四象限角，故sin300。>0,-305°=—360°+55°,則一305。是第一象限角，故cos（—305。）>0,而一手兀=—8兀+于，所以一丁是第二象限角，故lan（一專+0,因為3兀<10〈與，所以10是第三象限角，故sin1（X0.故選D.COSCL（2）由sinatana<0可知sina,tana異號，則a為第二或第三象限角.由而無<0可知cosa,tana異號，則a為第三或第四象限角.綜上可知，a為第三象限角.故選C.名帥直彼MINGSHIDIANBO定義法求三角函數值的兩種情況（1）已知角a終邊上一點P的坐標，可先求出點P到原點的距離|OP|=r,然后利用三角函數的定義求解.（2）已知角a的終邊所在的直線方程，可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離r,再利用三角函數的定義求解，應注意分情況討論.〔變式訓練2〕（1）（角度1）若sinGeos0<0,需1>0，則角。是（D）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角（2）（角度2）已知角a的終邊與單位圓的交點為P（一去）'），貝Isina-tana等于（C）A?邛 B.十C--2 d-4［解析］（1）由黑~1>0,得/。，cos6t>0,又sin"cos80,所以sinOvO,所以夕為第四象限角，選D.

所以當y,sina—+爐=1,解得y=等.(2)解法1：因為點/(一3所以當y,sina—+爐=1,解得y=等.3當y=,sina所以sina-tana=當y=,sinatanq=小,TOC\o"1-5"\h\z、 3所以sinatana——g.a=X,又因為sin?a+cos2a=1,所9 ) 3 . .sinasin2a 4 3以sin-a=T,sina-tana=sma--—= =-r=一不4 cosacosa 2~2名師講壇素養提升(對應學生用書學案P078)MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG利用三角舀數線斛三角不等式■例5(1)■例5(1)不等式sin乎的解集為X(2)不等式cos』2一'的解集為＞12E一胃W.iW2E+胃，kez\.［解析］(1)過點(o,里)作平行于X軸的直線，交單位圓于點P&,里)，尸2(一/坐),則以0乃、OP2為終邊的角分別為鼻+2E、竽+2E伏GZ),其正弦值為坐，終邊落在陰影部分的角的正弦值不小于半，.,.sinx》學的解集為{x|2E+；〈xW2E+與，&GZ}.。2(。2(一今普(2)過點(一/0)作垂直于x軸的直線與單位圓交于點Qi則以OQi,0。2為終邊的角的余弦值為一；，其對應的角分別為2E+半、2E一尊女￡Z),終邊落在陰影部分的角的余弦值大于等于一：.27r 2n.?.cosx》一2的解集為尹x2E一名帥支帔MINGSHIDIANBO(1)利用單位圓解三角不等式的步驟為：①確定區域的邊界；②確定區域；③寫出解集.sina>cosa杪kinsina>cosa杪kinaI>IcoaaI由圖可知sina>cosa由圖可知sina>cosa的解集美ati 5tt］2kn+^<a<2kn+~^~t攵￡Zj,sina<cosa的解集聲2fac-,<a<2E+j,%wz1；|sina|>|cosa|的解集..Tt.kit-ik￡Zf,|sina|<|cosa|的|sina|>|cosa|的解集..Tt.kit-ik￡Zf,|sina|<|cosa|的解集A.sina<tana<cosaa,tana的大小是(C)E+：，.B.cosa<sina<tanaC.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa［解析］(l)V3-4sin2jr>0,利用三角函數線畫出X滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示),.?.天右出一?E+g)(k￡Z).(2)如圖所示，作出角q的正弦線MP,余弦線0M,正切線AT,觀察可得，AT>OM>MP,故有sina<cosa<tana.故選C.第二講同角三角函數的基本關系式與誘導公式知識梳理?雙基自測(對應學生用書學案P079)ZHISHISHULISHUANGJIZICE回國畫回知識點一同角三角函數的基本關系式(1)平方關系：sin2x+cos2x=1.(2)商數關系：黑上皿宏無GZ)知識點二三角函數的誘導公式組數一二三四五六角2lat+a(2￡Z)兀+a—aTt-an2~a71,正弦sina-sin_a-sin_asinaCOSccos_c余弦cosa-cos_。cos_c-cos_。sin_a-sin_a正切tanatana-tan_a—tan_a畫畫國畫.同角三角函數基本關系式的變形應用：如sinx=tan笛cosx,tan2x+1 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx等..誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”.“奇”與“偶”指的是誘導公式中的整數k是奇數還是偶數.“變”與“不變”是指函數的名稱的變化，若k是奇數，則正、余弦互變；若k為偶數，則函數名稱不變.“符號看象限”指的是在k；+a()tGZ)中，將a看成銳7T角時妗+a(AGZ)所在的象限.回國回回題組一走出誤區.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)(1)若a,￡為銳角,則sirPa+cos?丑=1.(X)(2)若］￡!<,則tan 恒成立.(X)(3)sin(7t+a)=-sina成立的條件是a為銳角.(X)(4)若sin(苧-a)=1(2￡Z),則cosa=j.(X)［解析］(1)根據同角三角函數的基本關系式知當a,p為同角時才正確.(2)cosa#0時才成立.(3)根據誘導公式知a為任意角,(4)sin(多一，=—cosa,/.cosa=—題組二走進教材TOC\o"1-5"\h\z- 4.(必修IP⑻練習T1改編)已知。為銳角，且cosa=5，則sinE+a)=(A)3A.—5 B.54 4C.-t D.5 3【解析I由題意得sin cos2a=^,3故sin(n+a)="sina=t.SinCL—COSCL3.(必修1P|86Tl5改編)已知tana=g,則曹，產'=(A)2 3sma十2cosa

D.7D.71人…_ sina_cosatana-1 2［解析］I0 =7- I0= j-.故選A.4.（必修1P186T16改編）化簡cos1—sina,~~+sin1-rsina1—-.故選A.4.（必修1P186T16改編）化簡cos1—sina,~~+sin1-rsina1—cosa1+cosasina+cosa~22-sina-cosaC.sina-cosaD.cosa-sina［解析1原式=cos(1—sina)2,F^+sina(1-cos療

sin2a3 ?.n<a<^n,?.cosa<0,sina<0.原式=—(1—sina)—(1—cosa)=sina+cosa-2.題組三走向高考5.(2019?全國卷I,7,5分)tan255。=(D)B.—2+*\/3B.—2+*\/3D.2+小C.2一小［解析］由正切函數的周期性可知，tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=州 近=2+小，故選D.3另：tan225°=tan75°>tan60°=^3????選D?6.(2015?福建)若sina=~13'且a為第四象限角，則tana的值等于（D）6.(2015?福建)若sina=~13'且a為第四象限角，則tana的值等于（D）C.1212B.一彳D.一五［解析］因為sina=-?且。為第四象限角,12 5所以cosQ=jj,所以tana=一五，故選D.7.. 4(2017?全國卷川，4,5分)己知sina—cos則sin2a=(A)A.C.I解析］將sinq—cosa=Q的兩邊進行平方，得sin2a—2sinacosa+cos2a="^",即sinla7一§,故選A.考點突破?互動探究(對應學生用書學案P080)KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點一同角三角函數的基本關系式——師生共研??1^■例1(1)已知a是第三象限角，cosa=一而，則lana=(D)(2)已知a是三角形的內角，且tana=則sina+cosa的值為二(3)若角a的終邊落在第三象限，則+2sina,的值為二工—sin2ayj1-cos2aQ［解析］(1)因為。是第三象限角，COSQ=一百，(2)由tana=-y得sina=-geosa,將其代入sin2a+cos2a=1,得Ucos2a=1,9所以cos2a 易知cosa<0,所以cosa一噂，sina=嚅,故sina+cosa(3)由角a的終邊落在第三象限,得sina<0,cosa<0,|cosa\|sina\—cosa—sina

名師直被MINGSHIDIANBO名師直被MINGSHIDIANBO(1)已知一個角的三角函數值求這個角的其他三角函數值時，主要是利用公式sin1+tan2a*(變式訓練1〕(1)若a是第二象限角，tana=一1+tan2a*(變式訓練1〕(1)若a是第二象限角，tana=一合則sina=(C)1A.§ B.-5一5C?百 D?一Ecos0(2)若sinOcosf)=q,則tan’々=2.2 sinu~~(3)已知已為第四象限角，sin8+3cos0=1,則tan。=二§... 5 .sina5［解析］(l?tana=一五，??古=一夜.Vsin2a+cos2a=1,..2.f12.Y.. 5..sin-a+l-^-sinaF=1,..sma=±yq.又a為第二象限角，?,.sina=卷，故選C.gos9sin。cose 1 ()tan+§訪9-cos。+sin0~cos0sin0~'(3)由(sin0+3cos0)2=1=sin20+cos20,得6sin8cos0=-8cos20,又因為。為第四象限4角，所以cosJWO,所以6sin8=-8cos仇所以tan8=一亍考點二誘導公式及其應用——多維探究角度1利用誘導公式化簡三角函數式?■例2⑴化簡：(2)遇sina,cosa的齊次式常“弦化切”，如：asina+bcosaatana+b. sinacosa;j] ?j；sin6tcosct=—.csina-racosactana-td 1sinacosa tanasin2a+cos2a1+tan2a'sin2a+sinacosa_2cos2a=sin%+sinqcosq-2cos2asin2a+sinacosa_2cos2a=ta/a+tana-2

Q)化簡志工罌黑1.I解析］(1)原式=cosa(—cosa)tan2a

sina(-sinq)(—sina)Q)化簡志工罌黑1.I解析］(1)原式=cosa(—cosa)tan2a

sina(-sinq)(—sina)sin-acos-asin3asina(2)Vcos10°>sin10°,.1l—2sin100cos10、1§沛10。-2§皿10°cos100+cos2i()。?泉式=sin10°-cos10°=sinIO°-cos10°|sin100-cos10°|cos10°-sin10°sin10°-cos10°=-(cos10°-sin10°)角度2 “換元法”的應用例3已知cos^—。)=小則cos管+J)+sin停一。)的值是0.［解析］因為cos管+e)=cos［兀_(*一夕)=_cos.-。)=_a疝停_'=sin所以cos管+@+sin管一0=a+a=0.名抑支捷MINGSHIDIANBO(1)誘導公式的兩個應用方向與原則：①求值：化角的原則與方向：負化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：化簡的原則與方向：統一角，統一名，同角名少為終了.(2)注意已知中角與所求式子中角隱含的互余、互補關系、巧用誘導公式解題，常見的互余關系有5一a與1+a；1+a與聿-a；；+a與;一a等，互補關系有三+a與專一a；；+a與華一a等.〔變式訓練2〕(1)(角度1)(1)(角度1)已知＜。)=cos(一兀—a)tan(jc-a)(2)(角度2)(202(2)(角度2)(2021?唐山模擬)已知a為鈍角，sin仔+a)$則34-34-coscos(-ii-a)tan(7t-a)=coscoscos(-ii-a)tan(7t-a)=cosa所以?｛一駕=。3（_第=3.（花、.「兀（兀I （nI（2）sinlal=sin2^\4'aJ=co\4'a因為Q為鈍角，所以3兀4+口弓兀,名師講壇?素養提升（對應學生用書學案P081）MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENGsinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之間的關條■例4（2022?北京東城模擬）已知sin0+cos9=R。￡（0,兀），則lan。=二不7［解析］解法一：因為sin夕+cos。=百，夕￡（0,九）49所以（sin6+cos9）2=1+2sin8cos0=y^,,cc60sm0cos0=~77n-169由根與系數的關系，知sin。，cos。是方程x2—專一器=0的兩根，所以xi=11,X2=5百因為夕￡（0,兀），所以sin0>0.所以sin cos6=-\,tan6=筆=一.13 13cos6 5解法二：同解法一，得sin"cos。=解法二：同解法一，得sin"cos。=60169'-sin6teos0 60小八」,口tan6 60…口八12八八5所以訴求百=一旃，弦化切,付高而=一項,解行30=一5或tan6=一亙7 60又夕￡(0,7t),sin夕+cos0=yj>O,sinffcos9=-y^<0.，夕￡(3'兀)'且k皿0|>|cos外sin0 12=|tan???tan8=y.解法三：解方程組1解法三：解方程組17sin0+cos9=E，ksin20+cos20=l.1213'13,cos0=一專13'13,cos0=一專cos0=^.（舍去）12故tan9=一予名抑支技MINGSHIDIANBO名抑支技MINGSHIDIANBOsinx+cosx,sin%—cosx.sinxcosx之間的關系為(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx9(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2.因此已知上述三個代數式中的任意一個代數式的值，便可求其余兩個代數式的值.〔變式訓練3〕irjr(1)已知sin29=w，且W<&5，則cos。一sin?=(B)A?坐jr（2）（2021?山東師大附中模擬）已知一于a<0,sina+cosa=g,則嬴工。五的值為（C）C.苧3【解析1(l)l(cos0—sin0)2=1—2sin0cos0=1—sin26=j,

要求cossin仇只需判斷cos0—sin0的符號.:<0<冬.,.cos0<sin0,BPcos0—sin0<O. A/.cos0-sin0=—yl(cos0-sinff)2=(2)解法一：Vsina+cosa=￡，A(sina+cosa)2=^,Asinacosa=一首，又（又（甘，0）,/.sina<0,cosa>0,cosa-sina=<\/(sina-cosa)2=^1—2sinacosa=25''cos2a-sin25''cos2a-sin2a(cosa-sina)(cosa+sina)7,故選C.sina+cos解法二：由7得解法二：由7得sina—cosa=一予..tanasina 3cosa 4'.1sin2a+cos2a1+lan%**cos2a-sin2acos2a—sin2a1-tan2a第三講兩角和與差的三角函數二倍角公式第一課時三角函數公式的基本應用知識梳理雙基自測（對應學生用書學案P082）ZHISHISHULISHUANGJIZICE回回回圓知識點一兩角和與差的正弦、余弦和正切公式知識點二二倍角的正弦、余弦、正切公式(l)sin2a=2sinacosa；(2)cos2a=cos%-sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a；“、 -2tana, ,7ta?.n，一~、(3)tan 了+［且0工也+亍keZ).知識點三半角公式(不要求記憶)a /I-cosa⑴sin菱=々『一：a1+cosa(2)cos2=±\ 2 ；a1-cosasina1-cosa(.)tan2-1+cosa-1+cosa-sina*畫畫圓圖.陽苴八# 2 1+cos2a. 1-cos2a.降稚公式：cos2a- 2 ，sm」Q- ..升塞公式：1+cos2a=2cos2q,1—cos2a=2sin2a..公式變形：tana±tanp=tan(a±/?)(1+tanatan尸).1-tana(it\1+tana(n\77^ ^tanl7—aI；-~; =lanl7+alTOC\o"1-5"\h\z1+tana14J1—tana )sin2a.-2tana_ 1—tan%.._ .. 、.cosa~9sjnafs】n2a=1+碗"cos2a=?+均."1±sin2a=(smq±cosq)一.4.輔助角(“二合一”)公式：asma+hcosa=yja2+b2sin(a ,其中8'。=曙^

國國回回題組一走出誤區1.判斷正誤(正確的打“J"錯誤的打"X")(1)存在實數a,夕使等式sin(a+0=sina+sin4成立.(V)(2)在銳角△48C中，sinAsinB和cosAcos8大小不確定.(X)(3h/§sina+cosa=2sin(a+§.(X)(4)y=3sinx+4cosx的最大值是7.(X)(5)公式tan(a+夕)=:3;:可以變形為tana+tan￡=tan(a+￡)(l—tanatan￡),且對任意角a,￡都成立.(X)［解析］根據正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是錯誤的，(1)是正確的.題組二走進教材... 42.A.10C.7小10（必修IP217T3改編）已知cosa=2.A.10C.7小10［解析］VaG4Y,V2.. ［解析］VaG4Y,V2..sina=157a/25A2十（一歹入2――10..（必修IP219例4改編）計算sin43°cos13°+sin47°cos103°的結果等于（A）A.1 B.手C.坐 D.當I解析］原式=sin43°cos130-cos43°sin13°=sin（43°-13°）=sin30°=；.故選A.另解：原式=cos47°cos13°—sin47°sin13°=cos（47°+13°）=cos60°=］.故選A..（必修IP220T3改編）tan100+tan50。+小tan10°tan50°=^3.,tan100+tan50° .［解析］tan60°=tan（10°+50°）=_—~/.tan100+tan50°=tan60°（l—tan1tan1vtan10°tan50°）=巾一小tan10°tan50°,工原式=小一小tan10°tan50°+于tan10°tan50°=小.題組三走向高考

5.（2021.全國乙，6,5分）cos?盍-cos2y^=（D）A.C.B.A.C.［解析］解法一:、Tl,5兀-f71cos-五一cos-T2=cos?萬一cos一|cos哈71［解析］解法一:、Tl,5兀-f71cos-五一cos-T2=cos?萬一cos一|cos哈71-sin2-j^=cos解法二：）兀 ,5兀 -co鏟Y2—cos2^2=cos（兀兀、 /兀?哈（冗兀?_cosl4+6j=lcos4cos6+s,n（cos和渥一sin；sin滬停X坐+乎x?一停X坐邛X；＞=（呼今—2=（#+啦卜加一**（#+啦旗-陋）=亞2 16.（2020?課標II,13,5分）若sinx=一則cos2x=§.2［解析］Vsinx=yJcos2x=1—2sin2x=1—2X（一款=1.7.（2020?浙江，13,5分）已知tan9=2,則cos2。=tan（T4I解析］因為tan6=2,所以cos20=cos20—sin20=cos-0—sin-8cos2（9+sin26?1—tan，。1+tanWtan"；）=兀tan6/—tan7o〔4 2-1177~~1=1+2=*1+tan仇an7考點突破?互動探究（對應學生用書學案PO83）KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點一三角函數公式的直接應用自主練透?■例1（1）（2022?湖南益陽、湘潭質量統測）已知sina=g（角a為第二象限角），則=（D）=（D）cos4-4-A-6小一2B-6TOC\o"1-5"\h\z4+^2 心J6 u- 6(2)(2020?全國卷I)已知a￡(0,兀)，且3cos2a—8cosa=5,KOsina=(A)人走 「2A. 3 B. 3C. | D.坐(3)(2020.全國卷川)已知sinJ+sin0+號=1,則sin(0+^)=(B)A.1 B.半c2 D應J3 Ur 2(4)(2020?全國III?9)已知2tan0—tan(e+g=7,貝han0=(D)A.-2 B. -1C.1 D. 2[解析]⑴因為角a為第二象限角，且sina=g，所以cosa=一4左所以cos(ati,..冗 2也、，啦?1、，45媳一4?…_otcos^+sinasm[=一―^-X卞+gX甘—.故選D.(2)V3cos2a-8cosa=5,/.3(2cos2a_1)—8cosa=5,/.6cos2a——8cosa-8=0,3cos2a—4cosa—4=0,解得cosa=2(舍去)或cosa=y7c),/.sina=y[1—cos-=4-.故選A.7c),(3)sin9+sin(e+9=|sin9+(3)sin9+sin(e+9=|sin9+察o$6=4§sin(0+]=l,/.sin(e+/)=乎，故選B.⑷本題考查兩角和的正切公式的應用.?.2anOfn(0+*7,。-黑^,.'.2tan0—2tan29—1—tand—l—ltm9,即tan?。一'4tan。+4=0,解得tan?=2.名帥支披MINGSHIDIANBO(1)使用兩角和與差的三角函數公式，首先要記住公式的結構特征.(2)使用公式求值，應先求出相關角的函數值，再代入公式求值.考點二三角函數公式的逆用與變形用——多維探究角度1公式的逆用降■例2下列函數值*的是(C)A.江 .，5兀 D1—tan222O30'A.sinj2sm12 B.322°30'］sC.sin105°sin15° D.$畝1。。-cos10°［思路I通過適當變形，創造適合公式的條件.A由sin*=cos喈，利用二倍角公式求解；B.由倒數關系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解：C.利用誘導公式及倍角公式求解；D.通分后利用兩角差的正弦公式和倍角公式求解.I解析］A.原式=cos韋一sin^ncos知(Tl\ 兀，§=C0S(L制=_cos2?2 2原式=2tan22O30，=tan45°=2?l-tan222030,C.原式=sin15o-sin（180°-75°）=sin150-sin75°=sin15°-cos15°=zsin30。=；.cos10°—>/5sin10°D.原式=sin10ocos10o2生os10。一坐sin10。）sin10°cos10°4（sin300cos10。-cos300sin10。）2sin10°cos10°4sin20°=sin20。=4角度2公式的變形應用例3⑴（2021?天津耀華中學模擬）已知sin（a+夕）=3,sin（a—夕）=；,則2歡（黑力』（B）A.5 B.4C.3 D.2J2（2）在△A3C中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC=2"(3)(2021.陜西吳起高級中學模擬)已知sin2a=1,則cos2fa+j)=(A)1-61-6A.BC.2 II解析］(1):sin(a+夕)=；,sin(a—^)=|,/.sinacos夕+cosasin￡=工,sinacos夕一cosasin夕=g，sinacosQ=今,cosasinS=*，二簫=5,.FoW喘分=1。非52=%故選民(2)由tanAtanB=tanA+tanB+l,可得tanA+tanB可得1—tanAtanB即tan(A+8)=-l,又因為A+8￡(0,7t),所以A+B=牛，貝|JC=；,cosC=2-名嬸堂被(3)Vsin2a=yMINGSHIDIANBOl-sin2a名嬸堂被(3)Vsin2a=yMINGSHIDIANBOl-sin2a_1~3_l2 -2一不故選A.(1)注意三角函數公式逆用和變形用的2個問題①公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系.②注意特殊角的應用，當式子中出現3,I,坐，，等這些數值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構造適合公式的形式.(2)熟記三角函數公式的2類變式①和差角公式變形：sinasin夕+cos(q+￡)=cosacos夕，cosasin夕+sin(a-0=sinacos0.tana±tan￡=tan(a3)?(l^tanatan份.②倍角公式變形：收自八4 2 “xz兀小

=2Xtan3=“xz兀小

=2Xtan3=2,綜上，式子的運算結果為小的是ABC.故選D.(2)本題主要考查同角三角函數的平方關系與兩角和的正弦公式.z*cos(X- 2 9sin~a― ? ,

配方變形：1土sina=^sin^±cos^j*由sina+cosfi=I,cosa+sin夕=0,兩式平方相加，得2+2sinacos￡+2cosasin夕由sina+cosfi=I,cosa+sin夕=0,兩式平方相加，得2+2sinacos￡+2cosasin夕=I,整理得sin(a+4)=一爹.利用平方關系：si/a+cos2a=1,進行整體運算是求解三角函數問題時常用的技巧，應熟練掌握.(3)原式=l+tan17°+tan280+tanl70-tan280=I+tan45°(l-tanl70-tan28°)+tanI7°tan28°=I+1=2.故選D.(變式訓練1〕(1)(角度1)(2021?河北武邑中學調研)下列式子的運算結果不等于小的是(D)A.B.tan250+tan35°+小tan25°tan35°A.B.2(sin35°cos250+cos35°cos65°)C.1+lanC.1+lan15。1—tan15°D.71tan不D.1—tan2^(2)(角度2)(2018.課標II,15)已知sina+cos4=l,cosa+sin4=0,則sin(a+份=二/(3)(1+tan17°)(1+tan28。)的值為(D)A.-1 B.0C.ID.2C.II解析］(1)對于A,tan25°+tan35°+小tan25°tan35°=tan(25°+35°)(l—tan25°tan35°)+小tan25°tan35°=小一5tan25°tan35°+小tan25°tan35°=小.對于B,2(sin35°cos250+cos35°cos65°)=2(sin35°cos250+cos35°sin25°)=2sin60°=小.對于C,對于D,1+tan15°tan45°+tan15°對于C,對于D,1-tan15o=l-tan450tan150==tan60="7T 7ttanT.2tan7o1o =tX I—tan*^I—tan-不

1ntl1ntl3=§,則tana=2-??1例4(1)(2018?課標全國II,15)已知tan(2)己知a、=：,cos(a+/?)=~(2)己知a、(3)(2018?課標全國II,15)(3)(2018?課標全國II,15)設q為銳角，若cosla+w=-的值為(B)則7A?257A?257幣—8B?18D*I解析］(1)本題主要考查兩角差的正切公式.解法一：tana=tan,5兀解法一：tana=tan,5兀+T1-tan|atan+tanT_j+i_3

竽-Tx「2?解法二：tan(a一?5ntana-tan .4tan解法二：tan(a一?5ntana-tan .4tan。-11… 5兀1+tana591+tanatan3解得tana=2-(2)因為已知aefo,5且COSQ=/,COS(q+#=S，所以sina=y]1—cos2a=s\n(a+p)=yj1—cos2(a+)8)=^^,則sinQ=sin[(q+￡)—a]=sin?+尸)cosa-cos(a+/?)sina5^3xl_rHx4^3_^314X7-(-14)X7cos|a+6>-y得COS/?=cos|a+6>-y得COS/?=一§,⑶:a為銳角，「.Ocaq,5"+季＜卷設a=a+/由7-9名帥支拔MINGSHIDIANBO名帥支拔MINGSHIDIANBO(1)角的變換：明確各個角之間的關系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的拆分與組合的技巧，半角與倍角的相互轉化，如：2a=(a+4)+(a—份，a=(a+夕)一夕={a—pyA-p,40°=60°—20°, a)=會,2X券.(2)名的變換：明確各個三角函數名稱之間的聯系，常常用到同角關系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.〔變式訓練2〕4 1 , 13(1)已知a,0均為銳角,cosa=7>tan(a—fi)=—則tanQ=k.J 5 ，(2)已知a,4都是銳角，cos(a+夕)=*，sin(a—^)=|,則cos2a=一患.(3)已知cosa+2cos(a+§=0,則lan(a+*=(C)A.一4 B.小C.3巾 D. 一3小(4)(2021?深圳市統一測試)已知tan。=-3,則sin2(a+；)=(D)TOC\o"1-5"\h\z3 八 3A.T B. 一§-4 4C.j D.一g[解析]⑴由于a為銳角，且cosa=T,故sina=-\Jl-cos2a=T,tan "=：.由tan(aD D COSCt13解得tan13解得tanp=~^.“)1+tanatan[i 3⑵丁a,夕都是銳角，/.0<a+。<虱,一^<a—華冬5 3又?.?cos(a+jff)=記,sin(a一4)=亍12 4.??sin(a+4)=Yj,cos(q—S)=g,54123則cos2a=cos[(a+/?)+(a—)8)J=cos(a+yff)cos(a—sin(a+)ff)sin(a—^)=Y^X~——X-1665,⑶由cosa+2cos^a+^J=0,

a)=0,得cosa+2忤osa所以2cosa-巾sina)=0,得cosa+2忤osa所以2cosa-巾sinq=0,則lana=^^.所以tan(a+m=兀2由Stana十tanw 、十oo3 3r6 3 3sinct(4)解法一：因為tana=-3,所以;=—3,貝Usina=-3cosa,代入sii^a+cos2a=1cosex.得9cos2a+cos2a=1,所以cos2a=^,所以sin2(a+寧71+z=cos2a=2cos2a-4—1=-5,故選D.解法二：sin2?+t.cos2a-sin2a1-tan2a1—9=cos2a=cos2a-sirra~; =—;-sm-Q十cos-ataira十19十14—5，故選D.名師講壇素養提升（對應學生用書學案P085）MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG輔助利公式的應用應用1求值*1^■例5（2022?安徽江淮十校聯考）已知cos（x*）=一乎，則cosx+cos（x—鼻）=C.-1 C.-1 D.±1應用2求最值■例6⑴（2017?全國II）函數y（x）=2cosx+sinx的最大值為心.⑵函數於）=2于sinxcosx—2sin解析]函數/(x)=cos2x+巾sinxcosx=5+]cos2x+2s>解析]函數/(x)=cos2x+巾sinxcosx=5+]cos2x+2s>n2x=sinjr37r Jr 2兀k+2E,kGZ,得 A￡Z「?”￡[0,7t],，當女=0時，可得單02 o j調遞減區間為I，專]故選B. 名林支技MINGSHIDIANBO用輔助角公式變形三角函數式時：（1）遇兩角和或差的三角函數，要先展開再重組;（2）遇高次時，要先降嘉；（3）熟記以下常用結論：①sina±cosa=V^sin（ag）；@y［3sina±cosa=2sinla±7）；［分析I（1）直接利用輔助角公式化為Asin（Gx+e）；（2）高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用輔助角公式化為Asin（5+s）.I解析I（1次^）=小（8§￡^+§足毛乎）=小§皿*+3）（其中COS5顯然40的最大值為小.(2)j(x)=y[3s\n2x+cos2x—1=2sin^2x+^—1.顯然義X）max=l,?T）min=-3.故的值域為［-3,1］.應用3求單調區間??■例7函數凡r）=cos2x+小sinxcosMxWQ，兀］）的單調遞減區間為（B）((2x+§+￡.由2E+5〔變式訓練3〕(1)(2021?湖南瀏陽一中期中)已知sin修+a)+cosa=一半，則cos一a)=(C)A r2^2A.3 03（2）（2021?北京，14）若函數；W=sin（x+3）+cosx的最大值為2,則常數3的一個取值為當JT（取值滿足0=3+2版優￡Z）即可）.⑶已知函數段）=sin停一x）sinx—，5cos2不，則危）在*y上的增區間為（B）「5兀27fl 「花57flA?［kTj B.岳司C.nn6fC.nn6f2D.7C2tc-rT［分析］⑴將sin《+a）展開后重組再用輔助角公式化簡.［解析］⑴?.,5訪（5+。）+（：0§。=—乎，ain?+cosa=-^ina+zcosa即sin(a+1)=一；,ain?+cosa=-^ina+zcosa即sin(a+1)=一；,(2)本題考查三角恒等變換及輔助角公式的應用.y(x)=sin(x+^)+cosx=sinxcos_+cosxsing+cosx=cos-sinx+(sin+l)cosx=-\/cosV+(sin+1)2sin(x+。)(其中tan0=J),由fix)的最大值為2,所以ylcos2^+（sin^+1）2=2,化簡可得sin°=l,則0可為看其取值滿足9=］+2E（k￡Z）即可.（3）J［x）—sin（2-xIsinx-\3cos2x=cosxsinx—"^"（l+cos2x）=］sin2x一^""cos2r—^~=sin（2x一5一半，當/牛］時，有黑兀，從而當0W2x—時，即看《招時,/）單調遞增；綜上可知，危）在總，言上單調遞增，故選B.第二課時三角函數式的化簡與求值考點突破?互動探究(對應學生用書學案P086)KAODIANTUPOHUDONGTANJ1U考點一三角函數式的化簡一師生共研■例1化簡下列各式：、sin(a+尸)-2sinacosfi"2sinasinjff+cos(a+/?)*⑵1_1.tan01+tan。'⑶(2021?開封模擬)化簡：sin2asin2^?+cos2acos2)ff—^cos2acos20=g.［解析］⑴原式sina?cos夕+cosa?sin2sina?cosff2sinasin夕+cosacos.一sinasinp一(sinacos夕一cosa?sinfi)cosacos夕+sinasin夕-sin(a-0)-sin(a-0)

cos(q一夕)——tan(a-/?).(2)原式=(1+tan，)一(1—tan0)

1—tan(2)原式=2tan02tan01—tan?，=tan20.(3)解法一：(從“角”入手，化復角為單角)原式=sin2asin2￡+cos2acos2￡—%2cos2a—1)(2cos2￡—1)=sin2asin2/?—cos2acos2/^+cos2a+cos2/5—=sin2asin2)ff+cos2asin2/?+cos2)ff—=sin2/?+cos2/?—2=1-2=2?解法二：(從“名”入手，化異名為同名)原式=5畝2公出為+(1—sin%)cos2在一；cos2acos2人=cos2我一sin2a(cosR-siM夕)一；cos2acos2夕

=cos2/?—sin2acos2^—tcos2acos邛=cos2y3—cos2s(sin%+gcos2a)1+cos2尸1 12 -2cos2/?=2-解法三：(從“嘉”入手，利用降嘉公式先降次)原式=1-cos2a1原式=1-cos2a1-cos+ ) -2COS2a-cos2p=W(1+cos2acos2尸一cos2a—cos2尸+1+cos2acos2y?+cos2<x+cos2夕)一2cos2acos2萬=；+gcosacos^cos2acos2夕=；.解法四：從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方原式=(sina-sin夕一cosacos/?)2+2sinasin夕?cosacos尸一,cos2a-cos2萬=cos2(a+jff)+zsin2asin2/?—^cos2a-cos2夕=cos2(a+/?)—2*cos(2a+2夕)cos2(a+夕)-[2cos2m+夕)-1]=；.名帥支帔 MINGSHIDIANBO(1)此類化簡題，對公式既要會正用，又要會逆用，甚至變形應用.(2)應用公式時特別注意角不要化錯，函數名稱、符號一定要把握準確.(3)對asinx+Aosx化簡時，輔助角(p的值如何求要清楚.〔變式訓練1〕I解析](1)解法一：原式=sinxcosj+cosxsin^+2sinxcos2cosxsin三一，5cos年cosx-V§sin竽sinx=(cos：+2cos胃一小sin與｝inx+(sisin3-2sin鼻一小cos33).isin2X^jcosx=0.n-Ji=2sinLr+^+^j+2sinLr解法二：原式=sin^x+^J—小cosx+1)+2sin(x cos2a2sin^+a^cos^+asincos2asincos2a]cos2a?考點二求值問題——多維探究角度1給角求值?■例2求下列各式的值.sin7°+cos15°sin8°(1)cos70-sin15°sin8O；V3tanl20-3'"sin120(4cos2120-2),［解析］sin(15°-8°)+cos15°sin8°［解析］(D原式=cos(15°-8°)-sin15°sin8°sin15°cos8°cos15°cos8°sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=tan(45°-30°)tan45°-tan30°1+tan45°tan30°tan45°-tan30°1+tan45°tan30°―亞r3小一1i+亞小+11,3—2—y/3.、 小tan12°—3 小(sin12°~?小cos12°)25sin(12°—60°)(2)sin12°(4cos2120-2)=2cos24°sin12°cosl2°=I.”。。2sm4o名師支披MINGSHIDIANBO名師支披MINGSHIDIANBO給角求值問題的解題思路給角求值問題往往給出的角是非特殊角，求值時要注意：(1)觀察角，分析角之間的差異，巧用誘導公式或拆分；(2)觀察名，盡可能使函數統一名稱；(3)觀察結構，利用公式，整體化簡.角度2給值求值?■例3已知coslVio

io4-3^3［解析］由題意可得8*+：)=1+cos(28+52=J_=To,cos(2e+?=4—sin2。=一亍即sin-42。=亍因為cos(e+因為cos(e+；)=迎.10根據同角三角函數基本關系式，可得cos20=|,由兩角差的正弦公式，可得7C .7C . 71sin20coscos29sinj4l__3 4-373■"52-52-10名帥直彼 MINGSHIDIANBO給值求值問題的解題關鍵給值求值問題的解題關鍵在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解時一定要等.7T等.注意角的范圍的討論.如a=(a+P)一<，2a=(a+H)+(a一夕)，4^a=2~且sin8=鳴，則且sin8=鳴，則A+B■例4已知A,8均為鈍角，sin^+cosb+W”=(C)［解析］由題意知)(1—cosA)+JcosA一坐sinA=J-得sinA=害，sin4 4 乙 乙1U J 1VJ今俱，cos(今俱，cos(4+B)=cosAcos8一A,8均為鈍角，n<A+B<2ntcosA——j;-,cosB=sinAsin那么，^<A+B<2n,所以sinAsin那么，^<A+B<2n,所以A+B=牛，故選C.名師點被MINGSHIDIANBO（1）已知三角函數值求角的解題步驟：①求出角的某一三角函數值；②確定角的范圍；③根據角的范圍確定角.（2）給值求角的原則：①已知正切函數值，選正切函數；②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是（0,習，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0,兀），選余弦較好；若角的范圍為（一會選正弦較好.〔變式訓練2〕（1）（角度1）（2021湖南永州二模加1150。（1+，^1110。）=（A）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.1C.2 D.小（2）（角度2）（2021.新高考1）若tan。=-2,則晅空獸等=（C）sm〃十cos6A. B. -|「2 c 6C-5 D- 5（3）（角度2）（2021?黑龍江哈師大附中模擬）已知aG（0, 且2cos2a=cos住一。），則sin2a的值為（C）1-871-87-8

A.c1-87-8

_-

氏D.(4)(角度3)已知sina—,sin(a/?)—--喀，a,￡均為銳角，則角￡等于（C）a5nA-72B,三C三J4c兀D-6［解析］(l)sin50°(l+小tan100)/.r-sin10°A=疝50。(1+小玄詞cos100+小sin100~Sin500- 8sl。。2(gcos10°+坐sin10°)=sin5O0-

2sin50°cos500sin100°cos10°俳cos10°=cos100=cos10。=1?二選A?sin<9(l+sin2。)⑵sin0+cos0sine(sin5+cos2"+2sin夕cos8)sin0+cos0sin8(sine+cos4sin0+cos6=sin8(sin0+cos0)=sin20+sin夕cos0sirPJ+sin6?cos0sin20+cos20ta/J+tan9(一2戶一22=ta*J+l=(—2>+1=5.故選C?兀 兀(3)由題意可得2(cos2q—sin2a)=costcosa+sinTsina,即2(cosa+sina)(cosa-sina)=2"(=2"(cos?+sina).由q￡(0,引，可得cosa+sinaWO,所以。平方，可得1—sin2a=：,所以sin2a=9，故選C.o o兀 花 77 7t(4).0<a<2，0<^<2，.?一E〈a一4<2，. _n_f2小?.cosa—yj1-sin-ct一 ,cos(a—^)—y]1—sin-(?—/?)—1sin￡=sin[a—(a-夕)]=sinacos(a-/?)—cosasin(a一尸)聿嚼邛《普)=梟,7C.?/=；,故選c.名師講壇?素養提升osa—sina—,等式兩邊（對應學生用書學案P087）三角形中的恒等變換問題在三角形中，常用的角的變形結論有：A+B=lC；2A+2B+2C=2n；三角函數的結論有：sin(A+3)=sinC,cos(A+B)=~cosC,tan(A+B)=~tanC,sin―-CA+B.C=cosy,cos-—=sin3.A>B<=>sinA>sin80cosA<cosB.TOC\o"1-5"\h\z3 5■例5⑴設A,3是△ABC的內角，且cos4=W，sin8=a，則sinC=(D)63T16 16A-布或—a B- 65「16363 一63C-君或一益 D- 65(2)(2022?河北唐山一中質檢)在△ABC中，若sin(A-8)=1+2cos(B+0sin(A+O，則4ABC的形狀一定是(D)A.等邊三角形 B.不含60。的等腰三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形［分析］(1)由sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin8知求sinA、cosB即可.(2)利用cos(B+0=-cosA,sin(A+O=sinB及兩角差的正弦公式求解.3［解析］(l)：cosA=§,0<4<兀，為銳角，且sinA ［一cos2A=1.又sinB4<sinA,：.B<A, 121?B為銳角且cos 1-sin2B=y^.63sinC=sin［兀一(A+3)］=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=行.故選D.(2)Vsin(A-5)=1+2cos(3+C)sin(A+。,sinAcos8—cosAsinB=1—2cosAsinB,sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=l,sinC=1,又0<C<7t,/.C=^9??.△ABC為直角三角形，故選D.［誤區警示］本題(1)極易求得兩解，問題出在上，因為由sinB="^,可得兩個3值,考慮A的因素，只有一個適合，因此sinC只有一個結果.MINGSHIDIANBO

利用三角函數解決三角形問題要注意一些隱含條件，再根據所給的三角函數值確定角的范圍，然后再進行求值.本題應用三角形中大角對大邊，也可知爾hsinA>sinB,知B為銳角.〔變式訓練3〕⑴在△ABC中，若sin(27t—A)=一正sin(7t—8),小cosA=一?cos(Tt-B),則C=(D)C.713D.C.713D.7兀(2)(2021?寧夏平羅中學期中)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足sinA=2sinBcosC,則△ABC一定是(A)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形f—sinA=—y［2sinB①，［解析］由已知得I廠二…h/3cosA="\/2cos8②，①2+②2,得2cos2A=1,即cosA=當cosA=半時，cos8=坐，又A,8是三角形的內角，TT IT /Tt所以A=w，8=4，所以C=7T—(A+8)=五.當cosA=一當時，cosB=一坐,又A,8是三角形的內角，3 5所以A=%,不符題意，舍去.7tt綜上可得。=石，故選D.(2)由題意知sin(8+C)=2sin8cosC,整理化簡得sin3cosC-cosBsinC=0即sin(B-Q=0,又一：.B-C=0,BPB=C9故選A.第四講三角函數的圖象與性質知識梳理雙基自測（對應學生用書學案PO88）ZHISHISHULISHUANGJIZlCE

回畫回回知識點一周期函數的定義及周期的概念(1)對于函數Hx),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有y(x+7)=犬x),那么函數(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個函數的同期.如果在周期函數y(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期.(2)正弦函數、余弦函數都是周期函數，2E-eZ,y0)都是它們的周期,最小正周期是27t.知識點二正弦、余弦、正切函數的圖象與性質函數性質y=sinxy=cosxy=tanx圖象37r\開芽271/rW"4定義域{小￡R}{小ER}{x|x^R5+E,且X#kGZ)值域{M-lWvWUR單調性在2k￡在kw7T-彳+2k7t,L2+2fac],"上遞增；「+2fac,*+2履],過上遞減在「(2&-1)兀，2M,AGZ上遞增；在12E,(2%+1)兀1,kGZ上遞減在(++tat,5+E),%￡Z上遞增最值7Tx=a+2E僅ez)時,Jmax=1；X=TT—Z)2時，ymin=~1x=2E伏eZ)時，ymax=l；X=兀+2far僅￡Z)時，ymin=—1無最值奇偶性偶直對稱性對稱中心伙兀，0）,kGZfcezJ佟0）,對稱軸犬=而+',k￡Z.i=E,kRZ無對稱軸最小正周期2n2nn回回回國.函數y=sinx,xe[0,2制的五點作圖法的五個關鍵點是9@、思_[）、&Q）、-1\（2元，0）.函數產cosx,xG[0,2捫的五點作圖法的五個關鍵點是皿、&_Q）、（兀，一1）、（罷_2）、（2兀，1）..函數y=sinx與y=cosx的對稱軸分別是經過其圖象的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，如y=cosx的對稱軸為x=kn（kGZ）,而不是x=2E（2￡Z）..對于y=tanx不能認為在其定義域上為增函數，而是在每個區間（E—全E+加IGZ）內為增函數.回國回回題組一走出誤區.判斷正誤（正確的打“J”，錯誤的打“X”）（l）y=sinx在第一象限是增函數.（X）（2）正切函數丫=1211》在定義域內是增函數.（X）（3）y=sin兇是周期為兀的偶函數.（X）（4）由sin《+Usin看知，號是正弦函數y=sinx（x《R）的一個周期.（X）（5）已知y=Zsinx+l,x￡R,則y的最大值為k+1.（X）題組二走進教材.（必修IP207Tl改編）函數y=tan2x的定義域是（D）A.卜扭#攵兀+去B.卜卜工券+余C.jxlxWE+去Mz] D.1小[解析]由+k《Z,得xH苧+：,k《Z,所以y=tan2x的定義域為fI,kn,n,*產萬+［,AGZj..（必修IP207T3改編）下列關于函數y=4sinx,xG［-7t,捫的單調性的敘述，正確的是（B）A.在［一兀，0］上是增函數，在［0,捫上是減函數.在［甘，2上是增函數，在一兀，一］及，，兀上是減函數C.在［0,捫上是增函數，在［一兀，0］上是減函數D.在任，兀］及［―兀，—上是增函數，在［甘，\上是減函數［解析］函數y=4sinx在［一兀，一外和g，小單調遞減，在［一會外上單調遞增.故選B..（必修IP207T2改編）函數y=3—2cos（x+：）的最大值為$,此時x=^+2E（A?Z）.［解析|函數y=3—2cos（x+：）的最大值為3+2=5,此時x+：=it+2hr,kWZ,即x=^+2E（%￡Z）.題組三走向高考（2021?新高考I,