2.5一元二次方程的根與系數的關系2.5一元二次方程的根與系數的關系第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數的關系2.5一元二次方逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的根與系數的關系的應用逐點課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程課時導入復習提問

引出問題方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不僅表示可以由方程的系數a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數之間的聯系，一元二次方程根與系數之間的聯系還有其他表現方式嗎？課時導入復習提問方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根知識點一元二次方程的根與系數的關系知1－講感悟新知1從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數)的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關系嗎？思考1知識點一元二次方程的根與系數的關系知1－講感悟新知1從因式分知1－講歸

納感悟新知方程兩個根的和、積與系數分別有如下關系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.知1－講歸納感悟新知方程兩個根的和、積與系數分別有如下知1－講感悟新知一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項系數a未必是1，它的兩個根的和、積與系數又有怎樣的關系呢？思考2知1－講感悟新知一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二知1－講歸

納感悟新知方程的兩個根x1，x2和系數a，b，c有如下關系：這表明任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：

兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比．知1－講歸納感悟新知方程的兩個根x1，x2和系數a，b感悟新知知1－練例1：利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

(1)x2＋7x＋6＝0；(2)2x2－3x－2＝0.例1解：(1)這里a＝1，b＝7，c＝6.Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，x2，那么

x1＋x2＝－7，x1x2＝6.感悟新知知1－練例1：利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之感悟新知

(2)這里a＝2，b＝－3，c＝－2.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝－1.知1－練感悟新知(2)這里a＝2，b＝－3，c＝－2.知1－練感悟新知知1－練例2：根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程兩個根x1，x2的和與積：(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；

(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，例2感悟新知知1－練例2：根據一元二次方程的根與系數的關系，求解知識點一元二次方程的根與系數的關系的應用知2－導感悟新知2例3：已知關于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一個根是2，求方程的另一個根和p的值．導引：已知二次項系數與一次項系數，利用兩根之和可求出另一根，再運用兩根之積求出常數項中p的值．例3知識點一元二次方程的根與系數的關系的應用知2－導感悟新知2例感悟新知解：設方程的兩根為x1和x2，∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

知2－導感悟新知解：設方程的兩根為x1和x2，知2－導知2－講總結感悟新知已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根與系數的關系求另一根及待定字母的值．知2－講總結感悟新知已知方程的一根求另一根，可以直接代知2－練感悟新知例4：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的兩個實數根x1，x2滿足x12＋x22＝4，則k的值為________．導引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根據根與系數的關系即可得到一個關于k的方程，從而求得k的值．∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－

2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.

例4k＝1知2－練感悟新知例4：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的知2－講總結感悟新知已知方程兩根的關系求待定字母系數的值時，先根據根與系數的關系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關系進行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數的方程，進而求出待定字母的值．知2－講總結感悟新知已知方程兩根的關系求待定字母系數的課堂小結一元二次方程1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根x1，x2和系數a，b，c的關系：

2.用一元二次方程根與系數的關系，求另一根及未知系數的方法：

(1)當已知一個根和一次項系數時，先利用兩根

的和求出另一根，再利用兩根的積求出常數項

(2)當已知一個根和常數項時，先利用兩根的積

求出另一根，再利用兩根的和求出一次項系數．課堂小結一元二次方程1.一元二次方程ax2+bx+c配方法解二次項系數為1的一元二次方程2.2.2湘教版九年級上第2章一元二次方程配方法解二次項系數為1的一元二次方程2.2.2湘教版九年(2)請寫出此題正確的解答過程．易錯警示：用配方法解一元二次方程時，要先把常數項移到方程的右邊，移項時切記要變號．(2)請寫出此題正確的解答過程．易錯警示：用配方法解一元二次99小明在解方程x2－2x－1＝0時出現了錯誤，其解答過程如下：移項，得x2－2x＝－1，

(第一步)配方，得x2－2x＋1＝－1＋1，

(第二步)整理，得(x－1)2＝0.(第三步)所以x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答過程是從第________步開始出錯的，其錯誤原因是____________________________________；7一移項時沒有變號小明在解方程x2－2x－1＝0時出現了錯誤，其解答過程如下：用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝54A用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(若x2＋6x＋m2是一個完全平方式，則m的值是(

)A．3B．－3C．±3D．以上都不對1C若x2＋6x＋m2是一個完全平方式，則m的值是()1C【2020·泰安】將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b為常數)的形式，則a，b的值分別是(

)A．－4，21

B．－4，11

C．4，21

D．－8，695A【2020·泰安】將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋CD12345A678B答案呈現溫馨提示：點擊進入講評習題鏈接AA9CD12345A678B答案呈現溫馨提示：點擊先閱讀下面的內容，再解決問題．例題：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.∴m＋n＝0，n－3＝0.∴m＝－3，n＝3.問題：已知a，b，c為正整數且是△ABC的三邊長，c是△ABC的最短邊長，a，b滿足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．8先閱讀下面的內容，再解決問題．8一元二次方程的根與系數的關系課件將代數式a2＋4a－5變形，結果正確的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9D2將代數式a2＋4a－5變形，結果正確的是()D2用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0，可將方程配方為(

)A．(x＋1)2＝2B．(x＋1)2＝0C．(x－1)2＝2D．(x－1)2＝06A用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0，可將方程配方為(【2020·貴陽十七中期中】將代數式x2－10x＋5配方后，發現它的最小值為(

)A．－30B．－20C．－5D．03B【2020·貴陽十七中期中】將代數式x2－10x＋5配方后，解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0.∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4.又∵a，b，c為正整數且是△ABC的三邊長，c是△ABC的最短邊長，∴6－4<c≤4(c是正整數)．∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，【點撥】根據a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的值，由a，b，c為正整數且是△ABC的三邊長，c是△ABC的最短邊長，即可求得c的值．【點撥】根據a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的一元二次方程的根與系數的關系課件2.5一元二次方程的根與系數的關系2.5一元二次方程的根與系數的關系第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數的關系2.5一元二次方逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的根與系數的關系的應用逐點課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程課時導入復習提問

引出問題方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不僅表示可以由方程的系數a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數之間的聯系，一元二次方程根與系數之間的聯系還有其他表現方式嗎？課時導入復習提問方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根知識點一元二次方程的根與系數的關系知1－講感悟新知1從因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數)的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關系嗎？思考1知識點一元二次方程的根與系數的關系知1－講感悟新知1從因式分知1－講歸

納感悟新知方程兩個根的和、積與系數分別有如下關系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.知1－講歸納感悟新知方程兩個根的和、積與系數分別有如下知1－講感悟新知一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項系數a未必是1，它的兩個根的和、積與系數又有怎樣的關系呢？思考2知1－講感悟新知一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二知1－講歸

納感悟新知方程的兩個根x1，x2和系數a，b，c有如下關系：這表明任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：

兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比．知1－講歸納感悟新知方程的兩個根x1，x2和系數a，b感悟新知知1－練例1：利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

(1)x2＋7x＋6＝0；(2)2x2－3x－2＝0.例1解：(1)這里a＝1，b＝7，c＝6.Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，x2，那么

x1＋x2＝－7，x1x2＝6.感悟新知知1－練例1：利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之感悟新知

(2)這里a＝2，b＝－3，c＝－2.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝－1.知1－練感悟新知(2)這里a＝2，b＝－3，c＝－2.知1－練感悟新知知1－練例2：根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程兩個根x1，x2的和與積：(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；

(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，例2感悟新知知1－練例2：根據一元二次方程的根與系數的關系，求解知識點一元二次方程的根與系數的關系的應用知2－導感悟新知2例3：已知關于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一個根是2，求方程的另一個根和p的值．導引：已知二次項系數與一次項系數，利用兩根之和可求出另一根，再運用兩根之積求出常數項中p的值．例3知識點一元二次方程的根與系數的關系的應用知2－導感悟新知2例感悟新知解：設方程的兩根為x1和x2，∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.

又∵x1x2＝＝p2－2p＋5＝2×4＝8，∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.

知2－導感悟新知解：設方程的兩根為x1和x2，知2－導知2－講總結感悟新知已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根與系數的關系求另一根及待定字母的值．知2－講總結感悟新知已知方程的一根求另一根，可以直接代知2－練感悟新知例4：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的兩個實數根x1，x2滿足x12＋x22＝4，則k的值為________．導引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根據根與系數的關系即可得到一個關于k的方程，從而求得k的值．∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－

2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.

例4k＝1知2－練感悟新知例4：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的知2－講總結感悟新知已知方程兩根的關系求待定字母系數的值時，先根據根與系數的關系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關系進行變形，再將兩根的和與積整體代入，列出以待定字母為未知數的方程，進而求出待定字母的值．知2－講總結感悟新知已知方程兩根的關系求待定字母系數的課堂小結一元二次方程1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根x1，x2和系數a，b，c的關系：

2.用一元二次方程根與系數的關系，求另一根及未知系數的方法：

(1)當已知一個根和一次項系數時，先利用兩根

的和求出另一根，再利用兩根的積求出常數項

(2)當已知一個根和常數項時，先利用兩根的積

求出另一根，再利用兩根的和求出一次項系數．課堂小結一元二次方程1.一元二次方程ax2+bx+c配方法解二次項系數為1的一元二次方程2.2.2湘教版九年級上第2章一元二次方程配方法解二次項系數為1的一元二次方程2.2.2湘教版九年(2)請寫出此題正確的解答過程．易錯警示：用配方法解一元二次方程時，要先把常數項移到方程的右邊，移項時切記要變號．(2)請寫出此題正確的解答過程．易錯警示：用配方法解一元二次99小明在解方程x2－2x－1＝0時出現了錯誤，其解答過程如下：移項，得x2－2x＝－1，

(第一步)配方，得x2－2x＋1＝－1＋1，

(第二步)整理，得(x－1)2＝0.(第三步)所以x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答過程是從第________步開始出錯的，其錯誤原因是____________________________________；7一移項時沒有變號小明在解方程x2－2x－1＝0時出現了錯誤，其解答過程如下：用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(

)A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝54A用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(若x2＋6x＋m2是一個完全平方式，則m的值是(

)A．3B．－3C．±3D．以上都不對1C若x2＋6x＋m2是一個完全平方式，則m的值是()1C【2020·泰安】將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b為常數)的形式，則a，b的值分別是(

)A．－4，21

B．－4，11

C．4，21

D．－8，695A【2020·泰安】將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋CD12345A678B答案呈現溫馨提示：點擊進入講評習題鏈接AA9CD12345A678B答案呈現溫馨提示：點擊先閱讀下面的內容，再解決問題．例題：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋