第七章氣體一維高速流動第一節微弱擾動波的傳播第二節氣體一維定常等熵流動第三節氣體一維定常等熵變截面管流

第四節正激波12/21/2022工程流體力學第七章氣體一維高速流動第一節微弱擾動1前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體，即使在較高的壓強下密度的變化也很微小，所以在一般情況下，可以把液體看成是不可壓縮流體。對于氣體來說，可壓縮的程度比液體要大得多。但是當氣體流動的速度遠小于在該氣體中聲音傳播的速度（即聲速）時，密度的變化也很小。例如空氣的速度等于50m/s，這數值比常溫20℃下空氣中的聲速343m/s要小得多，這時空氣密度的相對變化僅百分之一。所以為簡化問題起見，通常也可忽略密度的變化，將密度近似地看作是常數，即在理論上把氣體按不可壓縮流體處理。當氣體流動的速度或物體在氣體中運動的速度接近甚至超過聲速時，如果氣體受到擾動，必然會引起很大的壓強變化，以致密度和溫度也會發生顯著的變化，氣體的流動狀態和流動圖形都會有根本性的變化，這時就必須考慮壓縮性的影響。氣體動力學就是研究可壓縮流體運動規律以及在工程實際中應用的一門科學。本章中僅主要討論氣體動力學中一些最基本的知識。12/21/2022工程流體力學前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體2第一節微弱擾動波的傳播一.微弱擾動波的一維傳播

如圖7-1所示，在一個截面積為A、足夠長的直圓管中充滿了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度

向右輕微地推動一下，使活塞右側的氣體壓強升高一個微小增量，所產生的微弱壓強擾動向右傳播。活塞將首先壓縮緊貼活塞的那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個不連續的微弱的壓強突躍，就是壓縮波mn，它以速度向右推進。壓縮波面mn是受活塞微小推移的影響而被擾動過的氣體與未被擾動過的靜止氣體的分界面。設在壓縮波前未被擾動過的靜止氣體的壓強為

、密度為

、溫度為，波后已被擾動過的氣體以與活塞的微小運動同樣的微小速度

向右運動，其壓強增高到

，密度和溫度也相應增加到和。

12/21/2022工程流體力學第一節微弱擾動波的傳播一.微弱擾動波的一維傳3圖7-1微弱擾動波的一維傳播12/21/2022工程流體力學圖7-1微弱擾動波的一維傳播12/18/2022工程流體4顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以設想觀察者隨波面mn一起以速度c向右運動。氣體相對于觀察者定常地從右向左流動，經過波面速度由c降為c-dv，而壓強由p升高到p+dp，密度和溫度由

、增加到

、。如圖7-1(b)所示，取包圍壓縮波的控制面，根據連續性條件，在

時間內流入和流出該控制面的氣體質量應該相等，即化簡后，得

（7-1）

由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計。于是對于控制面，根據動量定理，沿氣體流動的方向，質量為

的氣體的動量變化率等于作用在該氣體上的壓力之和，即或（7-2）12/21/2022工程流體力學顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以設想5由式（7-1）和式（7-2）得由于是微弱擾動，遠小于，即，所以

（7-3）式（7-3）與物理學中計算聲音在彈性介質中傳播速度（即聲速）的拉普拉斯公式完全相同。可見氣體中微弱擾動波的傳播速度就是聲速。在式（7-3）的推導過程中，并未對介質提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續介質。不同介質的壓縮性不同，壓縮性小的擾動波傳播速度高，壓縮性大的擾動波傳播速度低，因此聲速值反映了流體可壓縮性的大小。式(7-3)是聲速的通用表達式，要計算某種流體中具有的聲速值，尚需確定和

的關系，以求出

的值。12/21/2022工程流體力學由式（7-1）和式（7-2）得由于是微弱擾動，遠小于6由于微弱擾動波的傳播過程進行得很迅速，與外界來不及進行熱交換，而且其中的壓強、密度和溫度變化極為微小，所以這個傳播過程可以近似地認為是一個可逆的絕熱過程，即等熵過程。假定氣體是熱力學中的完全氣體，則根據等熵過程關系式

=常數和完全氣體狀態方程

，可得代入式（7-3），得（7-4）為絕熱指數為氣體常數，J/(kg·K)為熱力學絕對溫度，K對于空氣，,R=287J/(kg·K)。12/21/2022工程流體力學由于微弱擾動波的傳播過程進行得很迅速，與外界7由式（7-4）可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態參數的變化而變化。于是在同一流場中，各點的狀態參數若不同，則各點的聲速也不同。所以聲速指的是流場中某一點在某一瞬時的聲速，稱為當地聲速。在實際計算中，通常用氣體速度與當地聲速的比值來作為判斷氣體壓縮性對流動影響的一個標準，即（7-5）稱為馬赫數，是一個無量綱數，也是氣體動力學中一個重要參數。我們常根據馬赫數的大小,把氣流分為亞聲速流<1，跨聲速流≈1，超聲速流1<<3和高超聲速流>3等幾類。亞聲速流動和超聲速流動有許多顯著的差別，我們將在以后各節中逐一介紹。12/21/2022工程流體力學由式（7-4）可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態參數8二微弱擾動波的空間傳播

前面討論了微弱擾動波的一維傳播，下面進一步討論微弱擾動波在空間流場中的傳播。為了便于分析問題，假設流場中某點有一固定的擾動源，每隔1s發生一次微弱擾動，現在分析前3s產生的微弱擾動波在空間的傳播情況。由于不論流場是靜止的還是運動的，是亞聲速的還是超聲速的，都將對微弱擾動波在空間的傳播情況產生影響，所以下面分四種情況來討論。1．靜止流場(V=0)在靜止流場中，擾動源產生的微弱擾動波以聲速c向四周傳播，形成以擾動源所在位置為中心的同心球面波，微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(a)所示。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續，擾動必將傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在靜止氣體中的傳播是無界的。12/21/2022工程流體力學二微弱擾動波的空間傳播前面討論92．亞聲速流場(V<c)在亞聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(b)所示。由于擾動源本身以速度運動，故微弱擾動波在各個方向上傳播的絕對速度不再是當地聲速c，而是這兩個速度的矢量和。這樣，球面擾動波在順流和逆流方向上的傳播就不對稱了。但是由于V<c，所以微弱擾動波仍能逆流傳播，相對氣流傳播的擾動波面是一串不同心的球面波。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續，擾動仍可以傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在亞聲速氣流中的傳播也是無界的。12/21/2022工程流體力學12/18/2022工程流體力學10圖7-2微弱擾動波在靜止氣體中的傳播返回(1)(2)返回(3)(4)12/21/2022工程流體力學圖7-2微弱擾動波在靜止氣體中的傳播返回(1)113．聲速流場（v=c）

在聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(c)所示。由圖可見，由于V=c，所以擾動波已不能逆流向上游傳播，所有擾動波面是與擾動源相切的一系列球面。隨著時間的延續，球面擾動波不斷向外擴大，但無論它怎樣擴大，也只能在擾動源所在的垂直平面的下游半空間內傳播，永遠不可能傳播到上游半空間。也就是說，微弱擾動波在聲速氣流中的傳播是有界的。4．超聲速流場（v>c）

在超聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(d)所示。由圖可見，由于v>c，所以相對氣流傳播的擾動波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶向擾動源的下游，所有擾動波面是自擾動源點出發的圓錐面的一系列內切球面，這個圓錐面就是馬赫錐。隨著時間的延續，球面擾動波不斷向外擴大，但也只能在馬赫錐內傳播，永遠不會傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微弱擾動波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬赫錐。12/21/2022工程流體力學3．聲速流場（v=c）在聲速流場中12馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用表示。由圖7-2(d)可以容易地看出，馬赫角與馬赫數之間的關系為

（7-6）馬赫角從90°[這時相當于擾動源以聲速V=c流動的情況，如圖7-2(c)所示]開始，隨著馬赫數的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動源，所以當物體以超聲速運動時，它所引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內部，即微弱擾動波不能向馬赫錐外傳播。這就說明了，為什么以超聲速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達觀察者的耳朵以前聽不到聲音的原故。12/21/2022工程流體力學馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的13上述關系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時的情況。假如氣體以與上述擾動源的運動速度數值相等而方向相反的速度作等速直線運動，則擾動源就成為靜止微小障礙物，即圖7-2中的3點就是靜止擾動源，而擾動源所發出的擾動波（圖中的各圓）不斷地被氣流以速度-V帶走。很明顯，在（即）的亞聲速流動時，帶走的各擾動波在一定時間后可達到空間中的任何一點。也就是說，擾動波不僅能順流傳播，而且也能逆流傳播。但在（即）的超聲速流動時，帶走的各擾動波只能在馬赫錐內順流傳播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動中的微弱擾動不能傳播到整個空間。這就是超聲速流動和亞聲速流動的一個重要差別，從而使這兩種流動的圖形有著根本的不同。12/21/2022工程流體力學上述關系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時的14第二節氣體一維定常等熵流動

在討論不可壓縮流體流動時，應用連續性方程和伯努利方程就可以對許多問題求解。但是對于可壓縮流體——氣體流動僅僅應用上面兩個基本方程還不足以求解，因為由于氣體密度的變化必然會引起熱力學狀態發生相應的變化。就是說在氣流流動中，不僅它的力學狀態在發生變化，而且熱力學狀態也在隨著改變。因此必須把熱力學中的狀態方程和過程方程一并考慮，才能解決氣體流動問題。本節將只討論氣體的一維定常等熵流動，即假定氣體是完全氣體，在流動過程中與外界無熱交換，摩擦影響很小可以忽略不計。在一般情況下還認為各參數僅在一個方向上有顯著的變化，而且變化是連續的、不隨時間而變化，這就是一維定常等熵流動。在許多實際流動問題中，例如氣體在噴管、擴壓管和短葉柵中的流動都可以近似地認為是一維定常等熵流動。12/21/2022工程流體力學第二節氣體一維定常等熵流動在討論不可壓15一、氣體一維定常流動的基本方程

1．連續性方程

由于氣體的密度在流動中是發生變化的，所以它的連續性方程不能像不可壓縮流體那樣按體積流量來計算，而需要用質量流量來計算，即氣體在流管中流動時，每單位時間內流過流管中任意兩個有效截面的質量流量必定相等，即(7-7)也可以把連續性方程寫成微分形式，即對式(7-7)取對數后微分，得

(7-8)12/21/2022工程流體力學一、氣體一維定常流動的基本方程1．連續性方程16

2．能量方程由于氣體的密度很小，所以質量力可以忽略不計。氣體是一維定常流動，并令，，則歐拉運動微分方程可寫成或（7-9）將式（7-9）沿流管（或流線）進行積分，得對于等熵流動，將等熵過程關系式常數，代入上式，得完全氣體一維定常等熵流動的能量方程為（7-10）顯然，這個方程只能用于可逆的絕熱流動。12/21/2022工程流體力學2．能量方程12/18/2022工程流體力學17熱力學第一定律用于流體流動的能量關系式為在絕熱流動的條件下，，上式可寫成，積分可得能量方程的另一表達式

（7-11）這個方程可用于可逆的絕熱流動，也可用于不可逆的絕熱流動，即式（7-11）在熵有增加（有摩擦或其他不可逆因素）的絕熱流動中也是正確的。因為在與外界無熱交換的絕熱過程中，消耗于抵抗摩擦所作的功完全轉換為熱能，該熱能重又加入氣流中，使氣流中的熵增加。所以在絕熱流動中總能量不變，摩擦損失的存在只會使氣流中不同形式的能量重新分配，即一部分機械能不可逆地轉化為熱能，因而能量方程（7-11）的形式不變。12/21/2022工程流體力學熱力學第一定律用于流體流動的能量關系式為在絕熱流動的條件下，18對于完全氣體，存在下列關系代入式（7-11），也可得到與式（7-10）同一形式的完全氣體一維定常等熵流動的能量方程。現在來分析一下這個方程中各項的物理意義，可將式（7-10）改寫成（7-12）根據熱力學可知，對于完全氣體上式第一項是單位質量氣體所具有的內能u，即12/21/2022工程流體力學對于完全氣體，存在下列關系12/18/202219而式（7-12）的后兩項是單位質量氣體的壓強勢能和動能。所以完全氣體一維定常等熵流動的能量方程的物理意義是：在完全氣體一維定常等熵流動中，氣流流管任一有效截面（或流線的任一點）上單位質量氣體的壓強勢能、動能和內能之和保持不變。由于，代入式（7-10）得到完全氣體能量方程的又一個表達式（7-13）12/21/2022工程流體力學而式（7-12）的后兩項是單位質量氣體的壓強勢能和動能。所以20二、滯止參數在實際工程上，為了分析和計算流動問題方便起見，常使用滯止參數這個概念，而且由于它比較容易測量，所以滯止參數得到廣泛的應用。設想氣體流過流管的兩個有效截面時，在一個截面上完全滯止下來，也就是說，在這個截面上的氣流速度等于零。則這個截面上的氣流狀態稱為滯止狀態，滯止狀態下各相應參數稱為滯止參數，分別以、、、等表示之。氣體繞過一個物體時，在駐點處氣流受到阻滯，速度等于零，這一點的氣流狀態也是滯止狀態。在滯止狀態下式（7-10）、式（7-11）和式（7-13）可寫成（7-14）

（7-15）（7-16）12/21/2022工程流體力學二、滯止參數在實際工程上，為了分析和21由式（7-14）和式（7-15）可知，在滯止狀態下氣流的動能全部轉變為熱能，可以用滯止焓表示之，它表示單位質量的氣流所具有的總能量，稱為總焓。式（7-15）又可改寫成（7-17）上式表明，滯止溫度要比氣流的溫度T高出，對于J/（kg·K）的空氣，則高出12/21/2022工程流體力學由式（7-14）和式（7-15）可知，在滯止狀22例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K，也即約5℃。可見，將一個帶小玻璃球的普通水銀溫度計或熱電偶溫度計放在氣流中來測量氣流的溫度，讀出的溫度比氣流的溫度T要高。但小玻璃球上駐點處的溫度雖達到滯止溫度，但其上的其他各點的溫度升高要小一些，所以普通水銀溫度計上讀出的平均溫度比滯止溫度稍低一些。因此用任何靜止溫度計都不能直接測得氣流的真實溫度了，只有用與氣流同樣速度運動的溫度計才能直接測得利用關系式和可將式（7-17）改寫為或

（7-18）對于等熵氣流和12/21/2022工程流體力學例如速度為100m/s的空氣流，滯止溫度超過氣流的溫度約5K23將式（7-18）代入上兩式，得（7-19）

（7-20）這樣，只要知道氣流的滯止參數和值，就可由式（7-18）、式（7-19）和式（7-20）以及，求得流管內氣流在某指定截面上的溫度、壓強、密度和速度。反之，若已知、、和也可求得、滯止參數、和。所以這三個公式是計算氣體一維定常等熵流動問題的基本公式。12/21/2022工程流體力學將式（7-18）代入上兩式，得12/18/2022工程流體力24第三節氣體一維定常等熵變截面管流一、氣流速度與密度的關系

由一維流動的運動微分方程式

（7-9）得

變形得

（7-21）由式（7-21）和能量方程式（7-9）可看出：（1）不管Ma>1，或Ma<l，只要>0，則<0，<0；反之<0，則>0，>0。這說明加速氣流（>0），必引起壓強降低（<0）和氣體膨脹（<0）；而減速氣流（<0），使壓強增加（>0）和氣體壓縮（>0），即氣體流動伴隨著密度的變化。亞聲速氣流和超聲速氣流都具有上述性質，但當不同時，與的變化值不同。12/21/2022工程流體力學第三節氣體一維定常等熵變截面管流一、氣流速度與25（2）Ma<l時密度相對變化量是小于速度的相對變化量，即<。Ma>1時，密度的相對變化量大于速度的相對變化量，即>。這種亞聲速和超聲速在變化數量上的差別，導致了亞聲速和超聲速在速度與通道截面形狀關系上本質的差別。12/21/2022工程流體力學（2）Ma<l時密度相對變化量是小于速度的相對變化量，即26二、氣流速度與通道截面的關系由一維流動的運動微分方程（7-9），并利用和得

以上兩式與連續性方程的微分形式（7-8）各聯立一次，消去和，得到氣體的壓強變化率和速度變化率與通道截面變化率的兩個關系式，即

（7-22）

（7-23）12/21/2022工程流體力學二、氣流速度與通道截面的關系由一維流動的運動微分方程（7-927（1）Ma<1，亞聲速流動。

與

同號。而

與異號。當壓強降低時，通道截面積隨著氣流速度的增加而縮小，這就是亞聲速噴管；當壓強升高時，通道截面積隨著氣流速度的減小而擴大，這就是亞聲速擴壓管。這種現象與不可壓縮流體的流動規律相類似。（2）Ma>1，超聲速流動。與異號，而與同號。當壓強降低時，通道截面積隨著氣流速度的增加而擴大，這就是超聲速噴管。這是由于超聲速氣體在壓強下降時，密度劇烈減小、體積迅速增大，這時通道截面積必須擴大，才能使劇烈膨脹的加速氣流通過。反之，當壓強升高時，通道截面積隨著氣流速度的減小而縮小，這就是超聲速擴壓管。由式（7-22）和式（7-23）可以得到三個重要結論：12/21/2022工程流體力學（1）Ma<1，亞聲速流動。與同號。而28（3）=1，這時。從以上兩種情況知道，當降壓加速的氣流由亞聲速連續變為超聲速時，通道截面先收縮后擴大，在最小截面（）處速度達到聲速（），該最小截面稱為臨界截面，也稱為喉部截面，簡稱喉部。當升壓減速的氣流由超聲速連續地變為亞聲速時，通道截面也是先收縮后擴大，在最小截面處速度達到聲速。在臨界截面上的相應參數稱為臨界參數，分別以、和等表示之。可將代入式（7-18）、式（7-19）和式（7-20），得到臨界截面上氣流的臨界溫度、臨界壓強和臨界密度各與滯止溫度、滯止壓強和滯止密度之間的關系式

（7-24）

（7-25）（7-26）常用氣體的物理性質見表7-2。12/21/2022工程流體力學（3）=1，這時。從以上兩種29表7-1氣流參數變化與通道截面變化之間關系12/21/2022工程流體力學表7-1氣流參數變化與通道截面變化之間關系12/130表7-2常用氣體的物理性質（標準大氣壓強、20℃）12/21/2022工程流體力學表7-2常用氣體的物理性質（標準31三、氣體經漸縮噴管和縮放噴管的流動

由上面可知，要使氣流加速，當流速尚未達到當地聲速時，噴管截面應逐漸收縮，直至流速達到當地聲速時，截面收縮到最小值，這種噴管稱為漸縮噴管。漸縮噴管出口處的流速最大只能達到當地聲速。要使氣流從亞聲速加速到超聲速，必須將噴管做成先逐漸收縮而后逐漸擴大形（在最小截面處流速達到當地聲速），這種噴管稱為縮放噴管。縮放噴管是瑞典工程師拉伐爾（deLaval）在研制汽輪機時發明的，所以又稱為拉伐爾噴管。這種利用管道截面的變化來加速氣流的幾何噴管，在汽輪機、燃氣輪機、噴氣發動機和流量測量中被廣泛地應用，本節以完全氣體為對象，來討論漸縮噴管和縮放噴管基本設計關系式。12/21/2022工程流體力學三、氣體經漸縮噴管和縮放噴管的流動由32

1、漸縮噴管假定氣體在等熵條件下從大容器中經漸縮噴管流出，如圖7-3所示。由于容器的容量很大，可近似地把容器中的氣體速度看作是零（），即容器中的氣體處于滯止狀態（、、），而噴管出口截面上的氣流參數為、和。對0-0，2-2截面列一維定常等熵流動的能量方程（7-10），得或

12/21/2022工程流體力學1、漸縮噴管12/18/2022工程流體力學33圖7-3漸縮噴管12/21/2022工程流體力學圖7-3漸縮噴管12/18/2022工程流體力學34將等熵過程關系式代入上式，得出口截面處的流速為或又

，則出口截面上的馬赫數為

（7-29）或12/21/2022工程流體力學將等熵過程關系式或12/18/2022工程流體力學35通過噴管的質量流量式中

—噴管出口截面積。將和式（7-27）代入上式，得

(7-30）12/21/2022工程流體力學通過噴管的質量流量將和式（7-27）代入36由上式可知，當氣體的滯止參數和噴管的出口截面積保持不變時.質量流量僅隨壓強比而變化，由式（7-30）描繪出的與的關系曲線如圖7-4（a）所示。圖7-4氣體流過漸縮噴管時流量與設計出口壓強和環境壓強的變化

12/21/2022工程流體力學由上式可知，當氣體的滯止參數和噴管的出口截面積保持不變時.質37當氣體經過設計成的漸縮噴管時，實際上質量流量隨著而變化,為噴管出口截面外的氣流壓強，稱為環境壓強。與的關系曲線如圖7-4（b）所示，

與圖7-4（a）中的-曲線相比，兩者有明顯的差異。從中我們得到如下結論：

（1）==1到最大值時對應的壓強與相比，兩曲線ab完全吻合。（2）=1時，=0，即當噴管的進、出口壓強相等時，氣體不流動，出口馬赫數。12/21/2022工程流體力學當氣體經過設計成的漸縮噴管時，實際上質量流量隨38（3）<l時，逐漸降低，出口馬赫數逐漸增加，沿曲線ab逐漸增加，當出口截面上的流速增加到聲速時，即時，流量達到最大值，此時的壓強比稱為臨界壓強比。可由下法求得，即將代入式（7-29），得臨界壓強比

（7-31）也可通過直接對式（7-30）求導，并令的方法求得。再將式（7-31）代入式（7-30）和式（7-27）中，即分別得到臨界流量，也就是最大流量和臨界速度（也稱為臨界聲速）.（7-32）（7-33）12/21/2022工程流體力學（3）<l時，逐漸降低，出口馬赫數逐39（4）從再繼續降低，即<時，流量保持不變，始終等于最大流量，如圖7-4（b）中水平線bc所示。這現象可作如下的解釋：在漸縮噴管出口截面上的速度最大只能達到聲速，所以氣流在漸縮噴管內只能膨脹到為止。當環境壓強小于時，漸縮噴管出口截面上的壓強仍然保持為，故氣流從降低到環境壓強的膨脹過程只能在噴管外進行。因此，氣體通過噴管中的流量仍保持為最大流量，不再改變。12/21/2022工程流體力學（4）從再繼續降低，即<時，流40

2、縮放噴管縮放噴管可以使氣流從亞聲速加速到超聲速。噴管收縮部分的作用與漸縮噴管完全一樣，即在噴管的收縮部分，氣流膨脹到最小截面處達到臨界聲速。而后，在擴張部分中繼續膨脹，加速到超聲速。縮放噴管出口截面上的氣流速度（超聲速）仍可用式（7-27）或式（7-28）求得，只需將出口截面上的設計壓強代入。這時通過噴管的流量由最小截面上的參數決定，因為在這里已經達到聲速，流量為最大值（7-34）式中——噴管的最小截面積，也稱為喉部截面積或臨界截面積。12/21/2022工程流體力學12/18/2022工程流體力學41下面討論當環境壓強與出口截面上的設計壓強不同時，環境壓強對氣流的影響。假定保持不變，而環境壓強從逐漸下降。

（1）當=時，氣體在噴管內沒有流動，如圖7-5中OB線所示。（2）當從開始下降時，只要在最小截面上的壓強大于臨界壓強。即>，則在整個噴管內部是亞聲速氣流，如圖7-5中ODE曲線所示，這時的縮放噴管相當于文丘里管。12/21/2022工程流體力學下面討論當環境壓強與出口截面上的設計壓強42圖7-5縮放噴管內的壓強和流量變化返回(2)返回(4)12/21/2022工程流體力學圖7-5縮放噴管內的壓強和流量變化返回(2)返回(4)1243（3）如果環境壓強繼續下降到使最小截面上的壓強達到臨界壓強，則流量達到如式（7-34）所示的最大值這時在噴管擴張部分可能有兩種流動狀況：當=（為噴管中氣流只在喉部達到聲速其余全為亞聲速時出口截面的壓強）時，在整個噴管擴張部分中仍然都是亞聲速氣流，如圖7-5中OCF曲線所示；而當環境壓強等于噴管出口截面上的設計壓強時，即=，在整個噴管的擴張部分中都是超聲速氣流，如圖705中OCJ曲線所示，即氣流在縮放噴管內壓強從下降到（即亞聲速連續變到超聲速）的連續變化曲線。12/21/2022工程流體力學（3）如果環境壓強繼續下降到使最小截面上的壓強44（4）當環境壓強在和之間，即>>，氣流在擴張部分會出現壓強的不連續變化，也就是形成一個所謂正激波，正激波的位置隨著的下降，從最小截面處移到噴管出口處，就是正激波移到噴管最小截面時的出口壓強，氣流通過正激波從超聲速變成亞聲速，一直到出口截面處，如圖7-5中OCS1S2H線所示。

顯然，對于縮放噴管，只要≤，不論環境壓強怎樣變化，氣流通過縮放噴管的流量將始終保持為最大流量，這是由于噴管最小截面處的臨界參數沒有變化；當>時，流量將減小；當=時，流量等于零.如圖7-5的右圖所示。12/21/2022工程流體力學（4）當環境壓強在和之間，即>45第四節正激波一、正激波形成本節以氣體中的微弱擾動波在直圓管中傳播的情況為例來說明正激波形成的物理過程。如圖7-6所示，在一個充滿靜止氣體的直圓管中，活塞向右作加速運動，活塞右側的靜止氣體受壓后被擾動形成一個壓縮波向右移動，已被擾動的氣體的壓強從升高到，設-是一個有限的壓強量。為了分析方便起見，假定把這個有限的壓強增量看作是無數個無限小壓強增量dp的總和。于是，可認為在活塞右側形成的壓縮波是一系列微弱擾動波連接而成的。每一個微弱擾動波壓強增加dp。當活塞開始運動時，第一個微弱擾動波以聲速傳到未被擾動的靜止氣體中去，緊跟著第二個微弱擾動波以聲速傳到已被第一個微弱擾動波擾動過的氣體中去。12/21/2022工程流體力學第四節正激波一、正激波形成12/18/246圖7-6在圓管中正激波的形成過程12/21/2022工程流體力學圖7-6在圓管中正激波的形成過程12/18/2022工47顯然，被第二個微弱擾動波擾動過的氣體中的壓強、密度和溫度都比被第一個微弱擾動波擾動過的氣體中的相應參數略大一些，根據，因此>，也就是說第二個微弱擾動波的聲速比第一個微弱擾動波的聲速略快一些。與此相類似，第三個微弱擾動波又以比第二個略快一些的聲速（>）向右傳播，…。如果在某一時刻波形如圖7-6（a）所示，經過一段時間后，后面的微弱擾動波一個一個追趕上前面的波，波形變得愈來愈陡，最后疊加成一個垂直于流動方向的具有壓強不連續面的壓縮波，這就是正激波，如圖7-6（c）所示。氣流通過激波除壓強突躍地升高外，密度和溫度也同樣突躍地增加，而速度則下降。發生這種突躍地不連續變化是在與氣體分子平均自由行程同一數量級（在空氣中約3×10-4mm左右）內完成的，也可以說，各氣流參數是在一個極小的激波厚度內連續地進行變化的。當然也可以認為，是在一個幾何面上突然變化的；這就是說，可以把激波看作是一個不連續的間斷面，氣流參數通過激波的變化是突躍的，不連續的。12/21/2022工程流體力學顯然，被第二個微弱擾動波擾動過的氣體中的壓強、密度和48二、正激波前后氣流參數如圖7-7所示，正激波前和正激波后各氣流參數的下標分別為1和2。由于圓管的截面積不變，所以連續性方程可寫成（a）若忽略摩擦的影響，則動量方程可寫成

或（b）氣流通過激波時受到急劇地壓縮，由于其時間極短，所產生的熱量來不及外傳，故使氣流的熵增加。所以氣流通過激波時的突躍壓縮過程是一個不可逆的絕熱過程。于是，氣流在激波前后的總能量相等，并保持不變，對于完全氣體能量方程可寫成（c）或（d）式中臨界聲速也保持不變。12/21/2022工程流體力學二、正激波前后氣流參數12/18/2022工程流體力49圖7-7正激波12/21/2022工程流體力學圖7-7正激波12/18/2022工程流體力學50將氣體狀態方程應用與正激波前、后的狀態，得（e）將式（b）的兩邊各除以式（a）的兩邊，得（f）由能量方程（d）可得（g）（h）將式（g）和（h）代入式（f），簡化后得由于，所以（7-35）這就是著名的普朗特公式，再由動量方程（b）和連續性方程（a）可知12/21/2022工程流體力學將氣體狀態方程應用與正激波前、后的狀態，得12/18/20251由于激波是壓縮波，即>，因此<。所以由式（7-35）可得重要結論：若正激波前是超音速流，則在正激波后必定是亞音速氣流。由于和，則式（b）可改寫成所以（7-36）又由代入式（c）得（i）再由于，所以式（i）可寫成（7-37）12/21/2022工程流體力學由于激波是壓縮波，即>，因此<52由狀態方程和式（a）所以（7-38）現將式（7-36）和式（7-37）代入式（7-38）得或12/21/2022工程流體力學由狀態方程和式（a）12/18/2022工程流體力學53簡化成或（7-39）式（7-39）最簡單但無意義的解是，即上、下游的馬赫數相等，無正激波存在的情況。式（7-39）的另一個解就是正激波前、后馬赫數的關系式（7-40）12/21/2022工程流體力學簡化成12/18/2022工程流體力學54將式（7-40）代入式（7-36）和式（7-37），得（7-41）（7-42）再將式（7-41）和式（7-42）代入式（7-38），得（7-43）式（7-40）至（7-43）表示正激波前、后各氣流參數之比都是波前馬赫數的函數。所以，當波前各氣流參數已知時，就可以從這些公式求得波后各氣流參數之值。12/21/2022工程流體力學將式（7-40）代入式（7-36）和式（7-37），得12/55第五節應用舉例【例7-1】空氣從大容器經喉部直徑為25mm的縮放噴管流向大氣，設大容器中的計示壓強和溫度各為690kPa和40℃，大氣壓強101.3kPa（abs.）。若不計空氣流過噴管時的損失，試求臨界流速、出口流速、出口馬赫數和出口截面的直徑以及。空氣J/（kg·K），1.4。解析【例7-2】在亞聲速飛行的飛機上，裝有皮托管和靜壓管，用來測量飛機的飛行速度。今測得大氣的靜壓

0.75×105Pa，氣溫-10℃，動壓0.25×105Pa。試計算飛機的飛行速度。解析12/21/2022工程流體力學第五節應用舉例【例7-1】空氣從大容器經喉56【例7-3】核爆炸產生的爆震波（激波）以16000m/s的速度在靜止的大氣中傳播，原來空氣的壓強為1.0133×105Pa，溫度為300K，試計算：(1)激波相對靜止空氣的馬赫數；(2)激波后相對靜止觀察者的壓強和溫度的滯止值。解析12/21/2022工程流體力學【例7-3】核爆炸產生的爆震波（激波）以16000m/57【解】空氣的臨界壓強由式（7-25）0.528×（690+101.3）=417.7（kPa）而101.3kPa，于是，故采用縮放噴管。空氣的氣體常數J/（kg·K），則（kg/m3）臨界流速由式（7-33）（m/s）出口速度為

返回【例7-1】（m/s）12/21/2022工程流體力學【解】空氣的臨界壓強由式（7-25）返回【例7-1】（m/58空氣的定壓比熱J/（kg·K），則，由式（7-11）

所以K=-99℃出口馬赫數為通過噴管的流量為

（kg/s）返回【例7-1】12/21/2022工程流體力學空氣的定壓比熱J/（kg·K），則59出口密度為（kg/m3）出口截面積為（m2）出口直徑為（m）（mm）可由式（7-30）求得經試算，得=0.909，則（kPa）返回【例7-1】12/21/2022工程流體力學出口密度為（kPa）返回【例7-1】12/18/2022工60【解】如果不考慮空氣的壓縮性，把氣流看作是密度常數的不可壓縮流體，則有（a）（m/s）當地聲速

馬赫數由上可知，氣流速度較高，，需要考慮壓縮性的影響，為此，由式（7-19）返回【例7-2】（m/s）12/21/2022工程流體力學【解】如果不考慮空氣的壓縮性，把氣流看作是密度常數61利用牛頓二項式定理展開取前四項，并寫成注意到代入上式得

（b）返回【例7-2】12/21/2022工程流體力學利用牛頓二項式定理展開返回【例7-2】12/18/2022工62對亞聲速流動，，與式（a）相比較，可見不考慮壓縮性影響，計算的速度偏高。時，式（b）右邊括號中的第三項以后可忽略不計。這樣式（b）寫成或

代入數值并化簡得解得（m/s）這就是飛機的飛行速度。飛行的馬赫數為返回【例7-2】12/21/2022工程流體力學對亞聲速流動，，與式（a）相比較，可見不考慮壓縮63【解】（1）靜止空氣中的聲速為（m/s）于是激波相對靜止空氣的馬赫數為（2）激波后的壓強，由式（7-41）得

Pa返回【例7-3】12/21/2022工程流體力學【解】（1）靜止空氣中的聲速為返回【例7-3】12/18/64激波后的溫度，由式（7-42）得（K）激波后相對激波的風速，由式（7-43）得（m/s）因此激波相對靜止觀察者的風速為（m/s）返回【例7-1】返回【例7-3】12/21/2022工程流體力學激波后的溫度，由式（7-42）得返回【例7-1】返回【例7-65相對觀察者的馬赫數為最后，相對靜止觀察者的滯止溫度和壓強由式（7-18）和（7-19）可得（K）（Pa）需要說明的是，此結果與真實情形是不完全符合的，因空氣在高溫下已不能認為是理想氣體，但定性說明了在極強的激波后面，氣體的溫度和壓強是很高的。返回【例7-3】12/21/2022工程流體力學相對觀察者的馬赫數為返回【例7-3】12/18/2022工程66第七章氣體一維高速流動第一節微弱擾動波的傳播第二節氣體一維定常等熵流動第三節氣體一維定常等熵變截面管流

第四節正激波12/21/2022工程流體力學第七章氣體一維高速流動第一節微弱擾動67前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體，即使在較高的壓強下密度的變化也很微小，所以在一般情況下，可以把液體看成是不可壓縮流體。對于氣體來說，可壓縮的程度比液體要大得多。但是當氣體流動的速度遠小于在該氣體中聲音傳播的速度（即聲速）時，密度的變化也很小。例如空氣的速度等于50m/s，這數值比常溫20℃下空氣中的聲速343m/s要小得多，這時空氣密度的相對變化僅百分之一。所以為簡化問題起見，通常也可忽略密度的變化，將密度近似地看作是常數，即在理論上把氣體按不可壓縮流體處理。當氣體流動的速度或物體在氣體中運動的速度接近甚至超過聲速時，如果氣體受到擾動，必然會引起很大的壓強變化，以致密度和溫度也會發生顯著的變化，氣體的流動狀態和流動圖形都會有根本性的變化，這時就必須考慮壓縮性的影響。氣體動力學就是研究可壓縮流體運動規律以及在工程實際中應用的一門科學。本章中僅主要討論氣體動力學中一些最基本的知識。12/21/2022工程流體力學前幾章討論的是不可壓縮流體的流動，例如對于液體68第一節微弱擾動波的傳播一.微弱擾動波的一維傳播

如圖7-1所示，在一個截面積為A、足夠長的直圓管中充滿了靜止的氣體，將圓管左端的活塞以微小速度

向右輕微地推動一下，使活塞右側的氣體壓強升高一個微小增量，所產生的微弱壓強擾動向右傳播。活塞將首先壓縮緊貼活塞的那一層氣體，這層氣體受壓后，又傳及下一層氣體，這樣依次一層一層地傳下去，就在圓管中形成一個不連續的微弱的壓強突躍，就是壓縮波mn，它以速度向右推進。壓縮波面mn是受活塞微小推移的影響而被擾動過的氣體與未被擾動過的靜止氣體的分界面。設在壓縮波前未被擾動過的靜止氣體的壓強為

、密度為

、溫度為，波后已被擾動過的氣體以與活塞的微小運動同樣的微小速度

向右運動，其壓強增高到

，密度和溫度也相應增加到和。

12/21/2022工程流體力學第一節微弱擾動波的傳播一.微弱擾動波的一維傳69圖7-1微弱擾動波的一維傳播12/21/2022工程流體力學圖7-1微弱擾動波的一維傳播12/18/2022工程流體70顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以設想觀察者隨波面mn一起以速度c向右運動。氣體相對于觀察者定常地從右向左流動，經過波面速度由c降為c-dv，而壓強由p升高到p+dp，密度和溫度由

、增加到

、。如圖7-1(b)所示，取包圍壓縮波的控制面，根據連續性條件，在

時間內流入和流出該控制面的氣體質量應該相等，即化簡后，得

（7-1）

由于壓縮波很薄，作用在該波上的摩擦力可以忽略不計。于是對于控制面，根據動量定理，沿氣體流動的方向，質量為

的氣體的動量變化率等于作用在該氣體上的壓力之和，即或（7-2）12/21/2022工程流體力學顯然，這是不定常流動。為了得到定常流動，可以設想71由式（7-1）和式（7-2）得由于是微弱擾動，遠小于，即，所以

（7-3）式（7-3）與物理學中計算聲音在彈性介質中傳播速度（即聲速）的拉普拉斯公式完全相同。可見氣體中微弱擾動波的傳播速度就是聲速。在式（7-3）的推導過程中，并未對介質提出特殊要求，故該式既適用于氣體，也適用于液體，乃至適用于一切彈性連續介質。不同介質的壓縮性不同，壓縮性小的擾動波傳播速度高，壓縮性大的擾動波傳播速度低，因此聲速值反映了流體可壓縮性的大小。式(7-3)是聲速的通用表達式，要計算某種流體中具有的聲速值，尚需確定和

的關系，以求出

的值。12/21/2022工程流體力學由式（7-1）和式（7-2）得由于是微弱擾動，遠小于72由于微弱擾動波的傳播過程進行得很迅速，與外界來不及進行熱交換，而且其中的壓強、密度和溫度變化極為微小，所以這個傳播過程可以近似地認為是一個可逆的絕熱過程，即等熵過程。假定氣體是熱力學中的完全氣體，則根據等熵過程關系式

=常數和完全氣體狀態方程

，可得代入式（7-3），得（7-4）為絕熱指數為氣體常數，J/(kg·K)為熱力學絕對溫度，K對于空氣，,R=287J/(kg·K)。12/21/2022工程流體力學由于微弱擾動波的傳播過程進行得很迅速，與外界73由式（7-4）可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態參數的變化而變化。于是在同一流場中，各點的狀態參數若不同，則各點的聲速也不同。所以聲速指的是流場中某一點在某一瞬時的聲速，稱為當地聲速。在實際計算中，通常用氣體速度與當地聲速的比值來作為判斷氣體壓縮性對流動影響的一個標準，即（7-5）稱為馬赫數，是一個無量綱數，也是氣體動力學中一個重要參數。我們常根據馬赫數的大小,把氣流分為亞聲速流<1，跨聲速流≈1，超聲速流1<<3和高超聲速流>3等幾類。亞聲速流動和超聲速流動有許多顯著的差別，我們將在以后各節中逐一介紹。12/21/2022工程流體力學由式（7-4）可知，氣體中的聲速隨氣體的狀態參數74二微弱擾動波的空間傳播

前面討論了微弱擾動波的一維傳播，下面進一步討論微弱擾動波在空間流場中的傳播。為了便于分析問題，假設流場中某點有一固定的擾動源，每隔1s發生一次微弱擾動，現在分析前3s產生的微弱擾動波在空間的傳播情況。由于不論流場是靜止的還是運動的，是亞聲速的還是超聲速的，都將對微弱擾動波在空間的傳播情況產生影響，所以下面分四種情況來討論。1．靜止流場(V=0)在靜止流場中，擾動源產生的微弱擾動波以聲速c向四周傳播，形成以擾動源所在位置為中心的同心球面波，微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(a)所示。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續，擾動必將傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在靜止氣體中的傳播是無界的。12/21/2022工程流體力學二微弱擾動波的空間傳播前面討論752．亞聲速流場(V<c)在亞聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(b)所示。由于擾動源本身以速度運動，故微弱擾動波在各個方向上傳播的絕對速度不再是當地聲速c，而是這兩個速度的矢量和。這樣，球面擾動波在順流和逆流方向上的傳播就不對稱了。但是由于V<c，所以微弱擾動波仍能逆流傳播，相對氣流傳播的擾動波面是一串不同心的球面波。如果不考慮微弱擾動波在傳播過程中的損失，隨著時間的延續，擾動仍可以傳遍整個流場。也就是說，微弱擾動波在亞聲速氣流中的傳播也是無界的。12/21/2022工程流體力學12/18/2022工程流體力學76圖7-2微弱擾動波在靜止氣體中的傳播返回(1)(2)返回(3)(4)12/21/2022工程流體力學圖7-2微弱擾動波在靜止氣體中的傳播返回(1)773．聲速流場（v=c）

在聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(c)所示。由圖可見，由于V=c，所以擾動波已不能逆流向上游傳播，所有擾動波面是與擾動源相切的一系列球面。隨著時間的延續，球面擾動波不斷向外擴大，但無論它怎樣擴大，也只能在擾動源所在的垂直平面的下游半空間內傳播，永遠不可能傳播到上游半空間。也就是說，微弱擾動波在聲速氣流中的傳播是有界的。4．超聲速流場（v>c）

在超聲速流場中，擾動源產生的微弱擾動波在3s末的傳播情況如圖7-2(d)所示。由圖可見，由于v>c，所以相對氣流傳播的擾動波不僅不能向上游傳播，反而被氣流帶向擾動源的下游，所有擾動波面是自擾動源點出發的圓錐面的一系列內切球面，這個圓錐面就是馬赫錐。隨著時間的延續，球面擾動波不斷向外擴大，但也只能在馬赫錐內傳播，永遠不會傳播到馬赫錐以外的空間。也就是說，微弱擾動波在超聲速氣流中的傳播也是有界的，界限就是馬赫錐。12/21/2022工程流體力學3．聲速流場（v=c）在聲速流場中78馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的夾角，稱為馬赫角，用表示。由圖7-2(d)可以容易地看出，馬赫角與馬赫數之間的關系為

（7-6）馬赫角從90°[這時相當于擾動源以聲速V=c流動的情況，如圖7-2(c)所示]開始，隨著馬赫數的增大而逐漸減小。由于圓錐頂就是擾動源，所以當物體以超聲速運動時，它所引起的擾動不能傳到物體的前面。馬赫錐外面的氣體不受擾動的影響，微弱擾動波的影響僅在馬赫錐內部，即微弱擾動波不能向馬赫錐外傳播。這就說明了，為什么以超聲速飛行的彈丸在附著于它頭部的波未到達觀察者的耳朵以前聽不到聲音的原故。12/21/2022工程流體力學馬赫錐的半頂角，即圓錐的母線與氣流速度方向之間的79上述關系也適用于氣流流過一靜止微小障礙物時的情況。假如氣體以與上述擾動源的運動速度數值相等而方向相反的速度作等速直線運動，則擾動源就成為靜止微小障礙物，即圖7-2中的3點就是靜止擾動源，而擾動源所發出的擾動波（圖中的各圓）不斷地被氣流以速度-V帶走。很明顯，在（即）的亞聲速流動時，帶走的各擾動波在一定時間后可達到空間中的任何一點。也就是說，擾動波不僅能順流傳播，而且也能逆流傳播。但在（即）的超聲速流動時，帶走的各擾動波只能在馬赫錐內順流傳播，不能逆流傳播，也就是說在超聲速流動中的微弱擾動不能傳播到整個空間。這就是超聲速流動和亞聲速流動的一個重要差別，從而使這兩種流動的