第106頁第三章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[小題體驗(yàn)]1．假設(shè)sinα＜0且tanα＞0，那么α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：C2．(教材習(xí)題改編)3900°是第________象限角，－1000°是第________象限角．答案：四一3．(教材習(xí)題改編)半徑為120mm的圓上，有一條弧的長是144mm，那么該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為________．答案：1.21．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．4．三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但假設(shè)不是單位圓時，如圓的半徑為r，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).[小題糾偏]1．以下說法正確的選項(xiàng)是()A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．第一象限角必是銳角C．不相等的角終邊一定不相同D．假設(shè)β＝α＋k·360°(k∈Z)，那么α和β終邊相同答案：D2．假設(shè)角α終邊上有一點(diǎn)P(x,5)，且cosα＝eq\f(x,13)(x≠0)，那么sinα＝________.答案：eq\f(5,13)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．給出以下四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選C－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯誤；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，故②正確；－400°＝－360°－40°，從而③正確；－315°＝－360°＋45°，從而④正確．2．(易錯題)假設(shè)角α是第二象限角，那么eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：選C∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．3．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?解析：選B法一：由于M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N.法二：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.4．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，那么令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°[謹(jǐn)記通法]1．終邊在某直線上角的求法4步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線；(2)按逆時針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角；(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合；(4)求并集化簡集合．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；(2)再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；(3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置，如“題組練透〞第2題易錯．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二扇形的弧長及面積公式)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．扇形的周長是6，面積是2，那么扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：選C設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.2．(易錯題)假設(shè)扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，那么弧長l＝________cm.解析：設(shè)扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)πcm.答案：eq\f(8\r(3),3)π3．扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？解：設(shè)圓心角是θ，半徑是r，那么2r＋rθ＝40.又S＝eq\f(1,2)θr2＝eq\f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以當(dāng)r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大．[謹(jǐn)記通法]弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長公式l＝αr，扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量，如“題組練透〞第2題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義)eq\a\vs4\al(常考常新型考點(diǎn)——多角探明)[命題分析]任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義屬于理解內(nèi)容．在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．常見的命題角度有：(1)三角函數(shù)值的符號判定；(2)由角的終邊上一點(diǎn)的P的坐標(biāo)求三角函數(shù)值；(3)由角的終邊所在的直線方程求三角函數(shù)值．[題點(diǎn)全練]角度一：三角函數(shù)值的符號判定1．假設(shè)sinαtanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，那么角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選C由sinαtanα＜0可知sinα，tanα異號，那么α為第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)＜0可知cosα，tanα異號，那么α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．角度二：由角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)求三角函數(shù)值2．如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，那么cosα＝________.解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝eq\f(4,5)，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)3．角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，那么m＝________.解析：由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點(diǎn))，r＝eq\r(3＋m2).∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).答案：±eq\r(5)角度三：由角的終邊所在的直線方程求三角函數(shù)值4．角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(－4a,3當(dāng)a＞0時，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；當(dāng)a＜0時，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).[方法歸納]應(yīng)用三角函數(shù)定義的3種求法(1)角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值．(3)角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．一抓根底，多練小題做到眼疾手快1．假設(shè)一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，那么扇形的面積為()A．40πcm2 B．80πcm2C．40cm2 D．80cm2解析：選B∵72°＝eq\f(2π,5)，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,5)×202＝80π(cm2)．2．點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，那么角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))所以角α的終邊在第二象限．3．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓O于點(diǎn)P，假設(shè)∠AOP＝θ，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)解析：選A由三角函數(shù)定義知，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝cosθ，縱坐標(biāo)y＝sinθ.4．(2023·江西六校聯(lián)考)點(diǎn)A(sin2015°，cos2015°)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C因?yàn)閟in2015°＝sin(11×180°＋35°)＝－sin35°＜0，cos2015°＝cos(11×180°＋35°)＝－cos35°＜0，所以點(diǎn)A(sin2015°，cos2015°)位于第三象限．5．(2023·福州一模)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，那么tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詂osα＝eq\f(1,5)x＜0，即x＜0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16)).解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．將表的分針撥快10分鐘，那么分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)解析：選C將表的分針撥快應(yīng)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角．故A，B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的eq\f(1,6).即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).2．(2023·南昌二中模擬)角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2sin2，－2cos2)，那么sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2解析：選D因?yàn)閞＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函數(shù)的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.3．假設(shè)一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，那么其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D．2解析：選C設(shè)圓半徑為r，那么其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，∴α＝eq\r(3).4．(2023·濰坊二模)集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影局部)是()解析：選C當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣．5．角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，那么cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選B取終邊上一點(diǎn)(a,2a)(a≠0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cosθ＝±eq\f(\r(5),5)，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(3,5).6．α是第二象限的角，那么180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，那么180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(eq\r(3)，1)，將點(diǎn)A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，那么B點(diǎn)坐標(biāo)為__________．解析：依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))8．角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，假設(shè)P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，那么y＝________.解析：因?yàn)閟inθ＝eq\f(y,\r(42＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案：－89．在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為____________________．解析：如下圖，找出在(0,2π)內(nèi)，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))10．扇形AOB的周長為8.(1)假設(shè)這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．假設(shè)α是第三象限角，那么以下各式中不成立的是()A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析：選B∵α是第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，那么可排除A，C，D.2．角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，假設(shè)角θ與角α的終邊相同，那么y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求eq\f(α,2)終邊所在的象限；(3)試判斷taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)的符號．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，故eq\f(α,2)終邊在第二、四象限．(3)當(dāng)eq\f(α,2)在第二象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＞0,coseq\f(α,2)＜0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號；當(dāng)eq\f(α,2)在第四象限時，taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)＜0,coseq\f(α,2)＞0，所以taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)也取正號．因此，taneq\f(α,2)sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)取正號．第二節(jié)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系與誘導(dǎo)公式_1．同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．誘導(dǎo)公式組序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限[小題體驗(yàn)]1．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)解析：選C∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，∴cosα＝eq\f(1,5).2．假設(shè)sinθcosθ＝eq\f(1,2)，那么tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－2 B．2C．±2 D.eq\f(1,2)解析：選Btanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.3．(教材習(xí)題改編)(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝________，(2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(26π,3)))＝________.答案：(1)eq\f(\r(2),2)(2)eq\r(3)1．利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號確實(shí)定．2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，假設(shè)開方，要特別注意判斷符號．3．注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．[小題糾偏]1．(2023·福建高考)假設(shè)sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，那么tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)解析：選D因?yàn)棣翞榈谒南笙薜慕牵蔯osα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).2．假設(shè)sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，那么sinθ＝________.答案：－eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．sin210°cos120°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：選Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，那么A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：選C當(dāng)k為偶數(shù)時，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；k為奇數(shù)時，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.3．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)4．(易錯題)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.解析：∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)[謹(jǐn)記通法]1．利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．〞2．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值，如“題組練透〞第4題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二同角三角函數(shù)的根本關(guān)系)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——縱引橫聯(lián))[典型母題]α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).求tanα的值．[解]法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1，))eq\o(\s\up7(①),\s\do5(\a\vs4\al()②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形的內(nèi)角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).法二：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0.∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).[類題通法]同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達(dá)式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ表達(dá)式中需要利用“1〞轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ[越變越明][變式一]保持母題條件不變，求：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值．解：由母題可知：tanα＝－eq\f(4,3).(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝eq\f(－\f(4,3)－4,5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋2)＝eq\f(8,7).(2)sin2α＋2sinαcosα＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(\f(16,9)－\f(8,3),1＋\f(16,9))＝－eq\f(8,25).[變式二]假設(shè)母題條件變?yōu)椤癳q\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5”，求tanα的值．解：法一：由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5,得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，即tanα＝2.法二：由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得sinα＋3cosα＝15cosα－5sinα，∴6sinα＝12cosα，即tanα＝2.[變式三]假設(shè)母題中的條件和結(jié)論互換：α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，求sinα＋cosα的值．解：由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα＜0，∴cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).[破譯玄機(jī)][破譯玄機(jī)]1．三角形中求值問題，首先明確角的范圍，才能求出角的值或三角函數(shù)值．2．三角形中常用的角的變形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2)等．一抓根底，多練小題做到眼疾手快1．假設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，那么cos(－α)＝()A．－eq\f(4,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，即cos(－α)＝eq\f(4,5).2．sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，那么θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：選D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).3．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝()A.eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：選D∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).4．α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(4,5)，那么tanα＝________.解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)5．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．解析：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，那么以下不等關(guān)系中必定成立的是()A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0解析：選B∵sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0，cosθ<0.2．假設(shè)sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，那么sinα·cosα的值等于()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D.eq\f(2,5)解析：選A由sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，可得sinα＝－2cosα，那么tanα＝－2，sinα·cosα＝eq\f(tanα,1＋tan2α)＝－eq\f(2,5).3．(2023·江西五校聯(lián)考)eq\f(cos350°－2sin160°,sin－190°)＝()A．－eq\r(3) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：選D原式＝eq\f(cos360°－10°－2sin180°－20°,－sin180°＋10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,－－sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°)＝eq\r(3).4．f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,cos－π－αtanα)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選C∵f(α)＝eq\f(sinα·cosα,－cosαtanα)＝－cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).5．sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，那么cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)解析：選B∵eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).6．化簡：eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq\f(sinπ－α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.解析：原式＝eq\f(cosα·sinα,－cosα)＋eq\f(sinα－sinα,－sinα)＝－sinα＋sinα＝0.答案：07．sineq\f(4π,3)·coseq\f(5π,6)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π－\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)8．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．解析：由題意知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：09．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.10．sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求以下各式的值：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.解：由得sinα＝2cosα.(1)原式＝eq\f(2cosα－4cosα,5×2cosα＋2cosα)＝－eq\f(1,6).(2)原式＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq\f(8,5).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(91,2).答案：eq\f(91,2)2．f(x)＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x])(n∈Z)．(1)化簡f(x)的表達(dá)式；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(503π,1007)))的值．解：(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x,cos2[2×2k＋1π－x])＝eq\f(cos2x·sin2－x,cos2π－x)＝eq\f(cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，f(x)＝eq\f(cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x],cos2{[2×2k＋1＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x])＝eq\f(cos2π＋x·sin2π－x,cos2π－x)＝eq\f(－cosx2sin2x,－cosx2)＝sin2x，綜上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(503π,1007)))＝sin2eq\f(π,2014)＋sin2eq\f(1006π,2014)＝sin2eq\f(π,2014)＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2014)))＝sin2eq\f(π,2014)＋cos2eq\f(π,2014)＝1.第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z).函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))為增；eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))為減[2kπ，2kπ＋π]為減；[2kπ－π，2kπ]為增eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(π,2)))為增對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ[小題體驗(yàn)]1．以下函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是()A．y＝cos2x B．y＝sin2xC．y＝tan2x D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))答案：B2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)y＝4sinx，x∈[－π，π]的單調(diào)性是()A．在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上都是減函數(shù)C．在[0，π]上是增函數(shù)，在[－π，0]上是減函數(shù)D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是減函數(shù)答案：B3．(教材習(xí)題改編)函數(shù)y＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋2的定義域?yàn)開_______________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)))，k∈Z))1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域根底上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．2．要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω>0時的情況．3．三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“∪〞聯(lián)結(jié)．[小題糾偏]1．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．0解析：選B由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).2．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)減區(qū)間為____________．解析：由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))得2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z)．所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域與值域)eq\a\vs4\al(根底送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：選A∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).2．(易錯題)函數(shù)y＝eq\f(1,tanx－1)的定義域?yàn)開_________________．解析：要使函數(shù)有意義，必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kx，k∈Z，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))故函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)))＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))3．函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)開_____________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0，,9－x2≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ<x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).∴函數(shù)y＝lg(sin2x)＋eq\r(9－x2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))4．(易錯題)求函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值與最小值．解：令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，ymax＝eq\f(5,4)，當(dāng)t＝－eq\f(\r(2),2)時，ymin＝eq\f(1－\r(2),2).∴函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值為eq\f(5,4)，最小值為eq\f(1－\r(2),2).[謹(jǐn)記通法]1．三角函數(shù)定義域的2種求法(1)應(yīng)用正切函數(shù)y＝tanx的定義域求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域，如“題組練透〞第2題易無視．(2)轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域．2．三角函數(shù)最值或值域的3種求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域．(3)換元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，如“題組練透〞第4題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]寫出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈[0，π]；(2)f(x)＝|tanx|；(3)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).解：(1)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π)).(2)觀察圖象可知，y＝|tanx|的增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.(3)當(dāng)2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，即kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z，函數(shù)f(x)是增函數(shù)．因此函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))，遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(5π,12)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2))).[由題悟法]求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法(1)代換法：就是將比擬復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用根本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解．(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間．[提醒]求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時假設(shè)x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．[即時應(yīng)用]1．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的單調(diào)減區(qū)間為______．解析：由函數(shù)為y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)增區(qū)間即可．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.故所給函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)2．假設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，那么ω＝________.解析：∵f(x)＝sinωx(ω>0)過原點(diǎn)，∴當(dāng)0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)時，y＝sinωx是增函數(shù)；當(dāng)eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)時，y＝sinωx是減函數(shù)．由f(x)＝sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減知，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三三角函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性)eq\a\vs4\al(常考常新型考點(diǎn)——多角探明)[命題分析]正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一．常見的命題角度有：(1)三角函數(shù)的周期；(2)求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心；(3)三角函數(shù)對稱性的應(yīng)用．[題點(diǎn)全練]角度一：三角函數(shù)的周期1．函數(shù)y＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)))是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)解析：選Ay＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)))＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．2．(2023·長沙一模)假設(shè)函數(shù)f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx＋\f(π,3)))的最小正周期T滿足1＜T＜2，那么自然數(shù)k的值為___