第五節(jié)數(shù)列的綜合應用1.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使最大的三份之和的eq\f(1,7)是較少的兩份之和，那么最小的一份的量為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(10,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(11,6)2.某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個又死去1個，3小時后分裂成10個又死去1個，…，按這種規(guī)律進行下去，6小時后細胞的存活數(shù)為()A.33個B.65個C.66個D.129個3.小正方形按照如圖的規(guī)律排列：每個圖中的小正方形的個數(shù)就構成一個數(shù)列{an}，有以下結論：①a5＝15；②數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列；③數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列；④數(shù)列的遞推公式為：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．A.①②B.①③C.①④D.①an}中，對任意n∈N*，都有eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k為常數(shù))，那么稱{an}為“等差比數(shù)列〞．下面對“等差比數(shù)列〞的判斷：①k不可能為0；②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；④通項公式為an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列．其中正確的判斷為()A.①②B.②③C.③④D.①④5.數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(1,nn＋1)，其前n項和為eq\f(9,10)，那么在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為()A.－10B.－9C.10D.9x＞1，y＞1，且eq\f(1,4)lnx，eq\f(1,4)，lny成等比數(shù)列，那么xy()A.有最大值eB.有最小值eC.有最大值eq\r(e)D.有最小值eq\r(e)7.定義運算符號“∏〞這個符號表示假設干個數(shù)相乘．例如：可將1×2×3×…×n，記作eq\i\pr(i＝1,n,i)(n∈N*)．記作Tn＝eq\i\pr(i＝1,n,a)i，其中ai為數(shù)列{an}(n∈N*)中的第i項．(1)假設an＝2n－1，那么T4＝________；(2)假設Tn＝n2(n∈N*)，那么an＝________.8.(教材改編題)某科研欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次類推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好資金分完，求此科研共拿出________千元資金進行獎勵．9.某人按如下圖的規(guī)那么練習數(shù)數(shù)，記在數(shù)數(shù)過程中對應中指的數(shù)依次排列所構成的數(shù)列為{an}，那么數(shù)到2011時對應的指頭是________，數(shù)列{an}的通項公式an＝________.(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指)10.某企業(yè)投資1000萬元在一個高科技工程，每年可獲利25%.由于企業(yè)間競爭劇烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該工程資金可以到達或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg2≈0.3)答案8.2046解析：設共拿出x千元資金，第1名到第10名所得資金構成數(shù)列{an}，前n項和為Sn，那么a1＝eq\f(x,2)＋1，an＝eq\f(1,2)(x－Sn－1)＋1(n≥2)，∴2an＝x－Sn－1＋2,2an＋1＝x－Sn＋2，兩式相減得2an＋1－2an＝－an，∴2an＋1＝an.∴{an}是首項為eq\f(x,2)＋1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴S10＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝x，解得x＝2046.故共拿出2046千元資金進行獎勵．9.中指4n－1解析：對應中指的數(shù)列：3,7,11,15,19，…，其通項公式an＝4n－1.而2011＝4×503－1，故2011對應中指．10.設該企業(yè)逐年的工程資金數(shù)依次為a1，a2，a3，…，an，那么由an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝eq\f(5,4)an－200，令an＋1－x＝eq\f(5,4)(an－x)，即an＋1＝eq\f(5,4)an－eq\f(1,4)x，由eq\f(x,4)＝200，得x＝800，∴an＋1－800＝eq\f(5,4)(an－800)(n∈N*)，故{an－800}是以a1－800為首項，eq\f(5,4)為公比的等比數(shù)列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，∴a1－800＝250，∴an－800＝250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1，∴an＝800＋250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1(n∈N*)．由題意an≥4000，∴800＋250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1≥4000，即eq\b\lc\(\rc\