三十六數列求和"基礎落實練- 3()分鐘60分一、單選題(每小題5分，共20分).己知a=(-1)〃，數列｛4｝的前〃項和為S，則$與$。的值分別是()A.1,1 B.-1,—1C.1,0 D.-1,0【解析】選口.$=—1+1—1+1—1+1—1+1—1=一1,S10=5)+a10=-1+1=0.2.數列｛(一1)"(2〃-1)｝的前2020項和S儂等于()A.-2018 B.2018C.-2020 D.2020【解析】選D.￡。20=-1+3—5+7 (2X2019—1)+(2X2020-1)=2X1010=2020.3.已知數列｛a.｝,句=2,a〃+i—2a〃=0,bn=\og2an,則數列｛6〃｝的前10項和等于( )A.130 B.120C.55 D.50【解析】選C.在數列｛a〃｝中,a、=2,a〃+i—2a?—0>即‘二=2,所以數列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數列.4所以&=2X2"|=2".所以bn=log2^n=n.教師專用則數列伉｝的前10項和為1+2+…+10教師專用【加練備選】（2021?濟南模擬）已知數列｛4｝的前〃項和為S,a=l,Sn=2a?+i,則S=()3A.(- B.2廠1乙2 1「1C.(-尸 D.- (-)i-i*j j乙【解析】選A.由S=2a〃+i可得S=2(S,+i—S)>可得3s=2S+”即興=|TOC\o"1-5"\h\z3 3所以數列｛$｝是以S=d=1為首項，-為公比的等比數列，即S=(7；)i.已知數列｛a.｝滿足國=1,且對任意的〃GN*都有為+|=團+4+〃，則??,的前100項和為()100 99 101 200a—r— 「—n—101 100 100 101【解析】選D.因為a〃+i=ai+a0+〃，國=1,所以1—1+〃.所以3n—4一］=〃(，22).所以an=(4—di)+(&_】—a?-2)H F(a2-5i)+aI=n+(〃—1)+…+2+1=^~~.所以5'"11)=2七一巖)?所以今的前100項和為2(1-尹5-1+…+而一面)=2。—而)=而.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分).(2022?中山模擬)已知等差數列｛a｝的前〃項和為S,若a=31,5,0=210,則下列結論正確的是()A.若兒=(一??a“,則數列0｝的前2020項和為4040B.數列｛2%｝是公比為8的等比數列C.$9=19^9D.若A=-L,則數列｛4｝的前2020項和為9例24249【解析】選AD.等差數列｛4｝的前〃項和為S,若a=31,5,0=210,設｛a』的公差為d,則有］in一一…，［So=10a+45d=210解得a1=3,d=4,故4=4〃-1,若bn=(-l)n?a?=(―l)n?(4/7—1),則｛4｝的前2020項和石。2。=-3+7—11+15 1-8079=4X1010=4040,故A正確；由a=4〃一19得2&〃=2"I

令4=2""',C|=2',則當“22時，=98<?-d-1=2',Cn-\z則數列｛2aJ是首項為2,，公比為2H的等比數列，故B錯誤;由等差數列的性質可知(句+加)(句+加)X19519= Q(句o+40)X19= 2=19囪o，故C錯誤;右bn右bn-]

(4/7—1)(4/7+3)（kI—訪運），則㈤的前2020項和1 、1 、 2020 .十.8083=24249'故D正確.D.Sn=73〃+72"^020=4X(3~7+7-TT+…+.6.（2022?濟南模擬）已知數列｛4｝滿足2國+23+…+2%,=包#,數列｛4｝的前〃項和為S,則下列結論正確的是（）6.A.團的值為2B.數列｛4｝的通項公式為4=（3〃+1）X2〃C.數列｛4｝為遞減數列【解析】選ACD.當〃=1時，2al=4,所以且=2,所以A正確;當時,2a+22a當時,2a+22a2+…+2"1aLi=3(a—1)'+5(〃-1)2所以2"a〃所以2"a〃=34+5〃2一3(77-1)2+5(77-1) =3/?+1,因為上式對n因為上式對n=1也成立，所以a?――7；-（nGN*）,所以B錯誤;3〃+4 3/7+1 3n+4-677-2 —3〃+21i1//a+1 3,n 2"+| 2〃 2"+' 2什I *^0,所以數列｛4｝為遞減數列，所以c正確；Ld4,7,10, ,3n+l因為Sn=~+^7+—rH 1-2? ,所以3 +學-I 卜，兩式相減得，S—3S=gS?

=2+3仗+彳-1 1-m3〃+12"+1=2+32-2-=2+3仗+彳-1 1-m3〃+12"+1=2+32-2-3〃+1_7 3/7+72n+l=2__2n+,所以S=7-.所以D正確.三、填空題（每小題5分，共10分）7.已知數列｛aj滿足4=1,a.+i?a〃=2"（〃GN*）,則￡020=.【解析】因為數列⑷滿足4=1,a?+i*an=2",①所以當〃=1時，a2=2,當時，an*a?-i=2"'',②由①+②得—=2,

1所以數列｛4｝的奇數項、偶數項分別成等比數列,1-210'0 2(1-2101°)所以S020~~[ 2-I] 2=3X210,0-3答案：3X21010-38.已知數列｛4｝的通項公式為&=（一1尸常設a=a.+a+,則數列｛cj的前200項和為【解析】記數列｛c.｝的前200項和為&北=。+乙2H Fci99+c2oo=a+a?+4+&+…+S199+3200+3200+a20l=21(a[+及)+(as+a)H F(al9g-ba2oo)]-3]+a20i=2[(4-l)+(16-9)4 1-(2002-1992)]+1-2012=2X[3+7+11+…+399]+1-201=2X100X(3=2X100X(3+399)2+1-2012=40200-40401+1=-200.答案：一200【加練備選】｛4｝是公差不為0的等差數列，伍｝是公比為正數的等比數列，a=A=l,

a、=bi，&=b”則數列｛a.4｝的前〃項和等于.【解析】設等差數列的公差為d(。字0),等比數列的公比為q(q>0)l+3d=</1+7l+3d=</1+7d=q'解得d=\q=2d=Qg=l(舍去),所以a?=n,況=2"一',則anb?=n'2"’,設數列｛a.6.｝的前n項和為S,?則S?=1X2°+2X2*4-3X22H FnX2"_1?.所以25'=1X21+2X22+3X2j4 F(/?-1)?2Tl+n*2"②;①一②得：-S=l+2'+2z+…+2“t—a?2",所以一~n?2",1-乙整理得S=(〃-D?2"+l.答案：(n-l)-2Z,+1四、解答題(每小題10分，共20分)(2021?大同模擬)在數列｛4｝中，a=3,a.=2a〃T+〃-2(〃22,且〃GN*).(1)求及和a3的值；(2)證明數列｛a+〃｝是等比數列，并求｛4｝的通項公式；⑶求數列｛4｝的前〃項和S.【解析】⑴因為句=3,所以az=2ai+2—2=6,所以a3=2a?+3—2=13.⑵因為a〃=2a“_i+〃-2,所以4+〃=2(&_1+〃-1),〃22.又科+1=4,324-2=8=2(3)+1),所以｛a“+〃｝是以4為首項，2為公比的等比數列.所以&+a=4X2"T=2"+i,所以a=2e一〃.(3)5；=22-l+23-2H F2n-(/7-1)+2"+,-??=22(2n-l) =2^-n+^+8.(2022?煙臺模擬)已知數列｛a,,｝是遞增的等差數列，a=7,且a,是a與鈾的等比中項.⑴求數列｛4｝的通項公式；(2)①1(2)①1

y[a?+y[a^i②4=a4+2"；@b?=an?2".從上面三個條件中任選一個，求數列｛4｝的前〃項和％.【解析】(D因為｛a｝是遞增的等差數列，所以數列｛4｝的公差力>0,

&+2d=7(Si+3(/)由題意得:2=at&+2d=7(Si+3(/)由題意得:a=3,d—2,所以a〃=3+2(A—1)=2a+1.(2)選①時，a〃+i=2(〃+l)+l=2〃+3.b 1 1 )2〃+372〃+1TOC\o"1-5"\h\zny[an+y[a^+i^2/?+1+^2/?+3 2=—1(=2〃+l_、2〃+3),所以T0=b、+慶+從~\ 1-b?=—1?[(^3—4)+(乖一小)+(巾—^9)H F(k-低而)]=低可f.選②時，4=a〃+2"=(2〃+l)+2",2?(1-2”)1-2=rf+2n+2"+'-2.n(2a+4)所以3=b、+&+/%+…+6〃=(3+5+7+…+2〃+1)+(2'+22+23+2?(1-2”)1-2=rf+2n+2"+'-2.選③時，a=&?2"=(2a+1)?2",7；=A+Z%+M ?214-5?22+7?23H F(2n+1)-2",則22=3?22+5?23+7?2'+-+(2/j+I)-2n+1,兩式作差得：8.(1—2"-')一北=3?2'+2?22+2?23H F2?2”—(2a+1)?2,,+1=6+ ;~7 一(2〃+l)1-z?2n+l=(-2n+l)?2n+,-2.所以Tn=(2/7-1)?2"'+2.素養提升練20分鐘40分.（能力挑戰題）定義 為〃個正數a,m,如”,的“快樂數”.若已知正項數列{4}i=l的前〃項的“快樂數”為，則數列丁?逆4一T7T的前3/7?1 （4十2） （a〃+i十2）019項的和為（）2018 2019 2019 2019A，2019 2020C2018D,1010

【解析】選B.設數列｛4｝的前〃項和為S，則根據題意卷，2=3萬+〃，所以a尸5n3〃十1〃=1時也適合，所以&=6〃-2,所以（&+2〃=1時也適合，所以&=6〃-2,所以（&+2）?田十2）11nn+136]6/7(6〃+6)n11nn+1所以'(a“+2)(a.+i+2)|的刖2019項的和為1一萬+2-3 卜201912020=11 2019―2020=2020,22.(多選題)(2022?汕頭模擬)已知正項數列｛4｝的前〃項和為S,且句=1,a=2S+〃"+I+1(〃GN*),設數列」一的前〃項和為北，則北的可能取值44+1,為()1 1 4A.~B.~C.7D.1o Z □2【解析】選BC.因為a=2S+〃+l(〃GN*),n+12TOC\o"1-5"\h\z所以時，a=25^+(〃-l)+l(〃￡N*),n2 2兩式相減，得—a=2$—221+1(〃22),/r+l n2 2即a—a=2a“+l(〃22),/H-l n2 2所以a=a+2a“+1(〃22),"+1 n2即a=(4+1)2(〃22),/rrl因為數列｛4｝為正項數列，所以a〃+i=a〃+l(〃22),即S,74-i—a=1(〃22).2又因為句=1且數列｛4｝為正項數列，a=2S+1+1=4,即&=2,所以&一@=1,所以數列｛4｝是首項為1,公差為1的等差數列,所以a所以a產n,所以￡=n（4i）11n〃+1'+…+€當〃=1當〃=1時，北；當〃=4時,4Tn=S-3.設數列｛4｝的前n項和為Sn,已知ai=l,a?=2,且3.設數列｛4｝的前n項和為Sn,2logz&.，則數列｛（一D"?b｝的前10項和為n【解析】因為句=1,及=2,且a〃+2=2S—S+i+3,所以4=2—3+3=2.因為4+2=2$—S+i+3,所以422時，&+i=2St—S+3,兩式相減可得4+2-4+i=2(S—S—J—(S+i—S)(〃22),即，22時，區+2-4+i=2a〃一品+1,即a+2=24.因為a=24所以數列｛4｝的奇數項和偶數項分別成等比數列，公比均為2,所以&〃=2X2"?=2",421=1X2"|=2"19所以bn=log2a2,,-i+log2^=n—1+n=2n—1,2則(-l)Jb=(一1)(2〃-1)2,口2則數列｛(一1)7｝的前10項和為T?=(32-12)+(72-52)+-??+(192-172)n=2X(4+12+20+28+36)=200.答案：200.已知數列｛a』的前〃項和S=10〃一#,數歹滿足6〃=|a/,設數列｛4｝的前〃項和為Tn,則T\—,4o=.【解析】當〃=1時，團=5=9,當〃22時，a“=S—St=10〃一;/—[10(〃-1)— =—2〃+11,當〃=1時也滿足，所以為=-2〃+11(〃GN*),所以當〃〈5時，a?>0,b?=an,當〃>5時，an<0,b?=—a?,所以3=5=10X4-42=24,九=戈一&一a a3O=25-So=2X(10X5-52)-(10X30-302)=650.答案：24650

.(2022?八省聯考)設等差數列｛4｝的前〃項和為S，已知團=3,S=5苗.(1)求數列｛4｝的通項公式；⑵設A=l+w,數列上｝的前〃項和為&定義［切為不超過X的最大整數，例如［0.3］=0,［1.5］=1.當［；；］+"］+???+［北］=63時,求〃的值.【解析】(1)設等差數列｛4｝的公差為&因為a=3,則S=34+3d=9+3d因為￡=54=15,貝Ij9+3d=15,得d=2.所以數列｛a〃｝的通項公式是a.=3+2(〃-1