平面向量學(xué)習(xí)方法：①理論意義、實(shí)際意義；基本概念，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，思想方法，基本技巧;五步學(xué)習(xí)法：講清內(nèi)容，整理內(nèi)容，課后練習(xí)，講解練習(xí)，總結(jié)練習(xí);TOC\o"1-5"\h\z基本考點(diǎn)：a、向量的運(yùn)算及其幾何意義；b、向量的線性運(yùn)算；c、共線問題；e、基本定理應(yīng)用及其向量分解；d、坐標(biāo)表示及其運(yùn)算；f、平行問題的坐標(biāo)表示；g、數(shù)量積的運(yùn)算；h、夾角問題；i、模長(zhǎng)及垂直條件；j、在平面幾何中應(yīng)用；k、在解析幾何中的應(yīng)用；1、在解三角形中的應(yīng)用；m、在物理中的應(yīng)用；一、向量有關(guān)概念：向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，向量可以平移；零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；作用：1、解決矛盾；2、零向量和任何非零向量平行；3、一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量；單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是+竺）單位化一IABI一④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；大小和方向有關(guān)，與位置無關(guān)；相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a；平行向量（共線向量）：1、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；2、記作：a〃b零向量和任何非零向量平行；3、兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合;4、平行向量無傳遞性！（因?yàn)橛?）;5、三點(diǎn)A、B、C共線oAB、AC共線；―?相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；a、向量的運(yùn)算及其幾何意義：例1、下列命題：若|a卜|b|，則a二b;②兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；—>―>—>―>③若AB二DC，則ABCD是平行四邊形；④若ABCD是平行四邊形，則AB二DC;⑤若a=b,b=c,則a二c;⑥若a//b,b//c,則a//c;其中正確的是例2、下列命題正確是:若a=0，貝U—a=0;若非零向量a與b方向相同或相反，則a+b與a,b之一的方向相同；―?―?―?若”卜0，則a=0；—?―?―?―?若a|=b，貝I」a=b或a=-b；若ab，則a=b；_?—A—?-->―?—?II若abc，則ac；—?—?IIIIIIa+b=a+b與乞與b方向相同；向量b與向量a共線的充要條件是有且僅有只有一個(gè)實(shí)數(shù)九，使得fff—?—?—?b=九a；―?—?AB+BA=0;⑥若九a=九b，貝Va=b;―?―?b、向量的線性運(yùn)算:匸三角形法則”和“平行四邊形法則”例3、已知AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且=2D?,CZ?=rA/+s昴，則r+s的值是例4、已知AD,BE分別是AABC的邊BC,AC上的中線，且AD=a,BE=b，則BC可用向量a,b表示為例5、邊長(zhǎng)為1的正三角形abc中，設(shè)BC=2BD,CA=3CE，則AD?BE=c、共線問題：例6、已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)tgR,女口果3a=c,2b—d,e=t+b丿,那么t為何值時(shí)，?f?f?f?—??f———_?———C、D、E三點(diǎn)在一條直線上例7、如圖1,已知點(diǎn)G是AABC的重心，過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且AM=xAB，例2、①例3、解:用零向量解決矛盾例4、11124AD—a,BE—b.:.BC—BE+EC—b+AC—b+—(AD+DC)—b+—(a+—BC)/.BC=—a+—b22233例5、解：設(shè)CA—a,CB—b,貝Ua—b—1,(a,b)—60,由題意，得oAD—AC+CD——a+—b,BE—BC+CE——a—b,—-3一例6、懈：毛D—d—c=2b—3atcEv-c=(t—3)a+tb,C、D、E三點(diǎn)在一條直線上的充

要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=3ka+2kb,整理得(t—3+3k)a—(2k—t)b；TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)a,b共線，則阿為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)a,b不共線，則有V—3*3k—0nt-6；綜上，t任t—2k—05意，共線，t—6，不。…例7、點(diǎn)G是AABC的重心，知GA+GB+GC—0,得—AG+(AB—AG)+(AC—AG)—O,有AG—1(AB+AC)。又M^,_G三點(diǎn)共線(A不在直線MN上)于是存在^,,^3使得AG—九使得AG—九AM+卩AN(且九+卩一1),有AG-九xAB+卩yAC二1(AB+AC),于是得丄+丄-3。xy二、向量的表示方法：幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；—匸?符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a-xi+yj-(x,y),稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，a=(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量

的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。d、坐標(biāo)表示及其運(yùn)算；例1、若a=(l,l)b=(1,-1),c=(-1,2)，貝Uc=例2、如平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,l),B(-l,3)，若點(diǎn)C滿足OC=九OX+XOB,12其中X,XeR且X+X=1，則點(diǎn)C的軌跡是1212e、基本定理應(yīng)用及其向量分解：例3、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120.如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC二xOA+yOB，其中x,yeR，則x+y的最大值是例4、已知O是AABC的外心，AB=2,AC=1,ZABC=120?若AO二XAB+XAC，則"??12X+X=12X--例1、解：c=Xa+|ixb,a—例1、解：c=Xa+|ixb,a—(1,1),b—(1,-1),c22P—-2例2、向量pa.PB、PC中三終點(diǎn)A、B、C共線o存在實(shí)數(shù)％P使得PA—aPB+卩PC且a+B—1?直線ab例3、++60)++60)11解：方法一、設(shè)ZAOC=a,則｛0C-0A=xOA-0A解：方法一、設(shè)ZAOC=a,則｛0C-OB=xOA-0B+yOB-0Bcosa=x一y2cos(120—a)=——x+y方法二將向量式0C=xOA+yOB兩邊cosa=x一y2cos(120—a)=——x+y方法二將向量式0C=xOA+yOB兩邊平方)2=(x+y)2—3xy,因?yàn)椤獂y>——(x+y)2，故1>一(x+y匕，.?.一2<x+y<2.44方法三、以直線0A為x軸，過0垂直于0A的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0),B——，￡]C(人卩)代入0C=xOA+yOB可得代入0C=xOA+yOB可得(1也x—一y,——22九2+卩2=1,Xe,?e[0,1]，所以由柯西不等式，得x+y=X+⑶<\1+(：3)就2+?2=2.方法四、設(shè)ZAOC=a，作平行四邊形OECD，則OC=OE+OD?設(shè)OE二x,OD二y,在AOCE中使用正弦定理得

-f-Xsinx+60)=sin-f-Xsinx+60)=sinxsin60sin60sinCx+60)+sinx]=2sin設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為M方法五、OA-OB=|OA|-設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為MOM=（1-九）OA+九OB，貝I」由OC=tOM=t（1-九）?OA+XOB］（t>0）,得x+y=t，且兩邊取模并平方整理得故t=t(九)=t(九)=2.maxmax/「2/「2方法六、設(shè)C(cos0,sin0)0g0,—兀=cos0+73sin0=2sin0+一<2,6丿例4、已知O是AABC的外心,例4、已知O是AABC的外心,AB=2,AC=1,AABC=120?若AO=XAB+九AC，則12九+九12解：方法一、點(diǎn)乘法：AO=XAB+九AC兩邊同時(shí)乘以AB,AC得12AO?AB=XAB2+九AC?AB12AO?AC=XAB?AC+九AC212口口2RcosZOAB=4九一九即212—、RcosZOAC=—九+九12所以例例3、若D為AABC的邊BC的中點(diǎn)，AABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足PA+BP+CP=0,2R?丄=2R?丄=4九—九R12R?=一九+九2Ri216n九+九1213~6方法二、坐標(biāo)法：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以CA及其垂直平分線所在的直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系?由余弦定理得BC冷，再由正弦定理得■K=2RnsinAAO=R=AD卜2,所以O(shè)D_■K=2RnsinAAO=R=AD卜2,所以O(shè)D_5/3-~6nAO_6BC1&3),AC_(1,0),AB_Cl八3),X—X_—2i2V3X_—忑I16三、平面向量的基本定理：共線和不共線定理廠5一6，所以X+X412X_—313"6①共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X，使得b_Xa。i、提供證明共線或平行的方法。ii、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，重心公式。f、平行問題的坐標(biāo)表示；例1、已知AABC和點(diǎn)滿足MA+MB+MC_0,若存在實(shí)數(shù)m使得AB+AC_mAM成立，則m_3???—????例2、已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP_AB+XAC(XgR),則當(dāng)X=時(shí)，點(diǎn)P在第、三象限的角平分線上。|AP|設(shè)竺—，則九IPDI例1解：由MA+MB+MC=0知，點(diǎn)M為AABC的重心，設(shè)D為邊BC的中點(diǎn)，則向量加法可矢知AB+AC=2AD。2由重心的>質(zhì)可知：m卜-IAD'而且AM與AD同向’故AM=IAD=1（AB+AC）（AB+AC）=^M例毘、答：1;一——一———>2例3、（答：2）；②共線定理應(yīng)用：1、定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線p,p上異于p,p的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)九,1212使PP=九PP,則九叫做點(diǎn)P分有向線段PP所成的比，P點(diǎn)叫做1212有向線段PP的以定比為九的定比分點(diǎn)；122、九的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系:當(dāng)P點(diǎn)在線段PP上時(shí)o九〉0；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)o1212九<—1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)o-l<X<0；21當(dāng)P分有向線段PP所成的比為九,則點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為1221

3、線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)P(x,y)、P(x,y),P(x,y)分有向線段PP所成的比為九,11122212x+九xT21+九

y+九y

^i+Vx+xx——122當(dāng)九當(dāng)九=1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式12。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y)，(x,y)、(x,y)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)1122的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比九。ii、若P分有向線段PP所成的比為九，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則MP—MP+九mp2,121+九特別地P為PP的中點(diǎn)oMP—MP1+MP2；一—12>2——例1、若M(-3,-2),N(6,-1)，且MP—1MN，利點(diǎn)P的坐標(biāo)為3例2、己知例2、己知A(a,0),B(3,2+a)，直線y—ax2與線段交于M，且AM—2MB，則a等于NAM與NAM與BN相交于點(diǎn)P，求AP:PM的值例3、如圖，在AABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN—2NC,例1、解:法一：設(shè)P(x,y),M(-3,-2),N(6,-1)/.MP—(x+3,y+2),MN—(9,1)解法解法7解法解法7-3--x6

-3--x6

x=4--61--4-2--x(-2)4

口4x-例2、A(a,0),B(3,2+a),M(x,y),AM-2MB.?.<y-a+2x3a+61+23_0+2x(2+a)

1^???MP二一1MN???MP二一1MN???P(x,y),M(-3,-2),N(6,-1)/.<34例3、設(shè)BM-e,CN-e，貝UAM-AC+CM--3e-e,BN-2e+e,122112A,P,M和B,P,N分另I」共線，?存在九、R，使AP-九AM--九e—3九e12BP-pBN-2pe+pe,故BA-BP—AP-(九+2p)e+(3九+p)e1212BA—BC+CA—2e+3e,12即AP:即AP:PM—4:15、平行四邊形法則:分析：例1、已知a,b是兩個(gè)非零向量，且a—b|—|a-，則a與a+b的夾角例2、已知回亍2,b—5,a-b—-3，貝Va+b等于—?—?—?—?———例3、若向量a與向量b的夾角為60,一b=4,(a+2b)?C-3b)--72，則向量模a—例4、若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB=a,BC=b,AC=c，則Ia+b+c丨=例5、已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么Ia+3bI=__O例6、若O是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|OB-OC彳OB+OC-2OA|，則AABC的形狀例1、30；例2、*23；例3、6；例4、242；例5、帀；例6、直角三角形；③如果e和e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有12一對(duì)實(shí)數(shù)九,九,12―?使a二九e+九e。1122應(yīng)用：1、解釋平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)的來由。—>>>2、共＋平=不共分析：例1、下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()13131313A、e=(0,0),e=(1,-2)B、e=(—1,2),e=(5,7)1212C、e=(3,5),?=(6,10)D、e=(2,—3)q=)121224例2、平面上三個(gè)不同點(diǎn)O,A,B不共線，問：是否存在實(shí)數(shù)k,k滿足k2+k2>0，且1212kOA+kOB=0。12飛怵|b「+(a-b)2例3、平面上O,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)OA=飛怵|b「+(a-b)2(A){a2b2—(a-b)2(B)(C)1』a冃b|2-(a?b)2(D)*』a|羋|2=“b)2例1、解：不共線，非零向量。用共線定理否定的方法（答：B）;例2、反證法：假設(shè)存在k,kgR,k2+k2>0表示k,k不全為零，可設(shè)k豐0,由kOA+kOB=0,121212212kOB=-礦-OA,〈豐0，若不然，勺二0時(shí)，OB二0,O,B重合，與已知“三點(diǎn)”2矛盾，可見k主0,A1?豐0,這表明存在九k豐0,這表明存在九二-才豐0，使OB=九OA。可知O,A,B共線，這與“O,A,B2不共線“矛盾”，表明不存在滿足全部條件的實(shí)數(shù)k,k。注：a—Xe+Xe，當(dāng)a=0時(shí)，共線121122定理。例3、解析：選C.當(dāng)當(dāng)0為銳角時(shí)，a?b>0，且a,b不同向，a?b>0是0為銳角的必要非充分實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)九與向量a的積是一個(gè)向量，記作九a,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)卜=|九閘，(2)當(dāng)九＞0時(shí)，九a的方向與a的方向相同，當(dāng)九〈0時(shí)，九a的方向與a的方向相反，當(dāng)九=0時(shí)，九a=0，注：九a#0o分析：―?―?平面向量的數(shù)量積：(1)兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,ZAOB=0(0＜0＜兀)稱TOC\o"1-5"\h\zi—￥—h,”f兀為向量a,b的夾角，當(dāng)0=0時(shí)，a,b同向，當(dāng)0=兀時(shí)，a,b反向，當(dāng)0=—2時(shí)，a,b垂直。.,..,4i—ir(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為0,我們把數(shù)量IaIIbIcos0—F—B-i,叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積))記作：a-b,即a-b=abcos0。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。ffcFb在a上的投影為IbIcos0,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0oa-b的幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的模IaI與b在a上的投影的積。向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a,b，其夾角為0,則:—?—?―?―?i、a丄boa-b=0；ii、當(dāng)aii、當(dāng)a,b同向時(shí),特別地a2當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=-ab；條件；條件；當(dāng)0為鈍角時(shí)，a?b<0且a、b不反向，a當(dāng)0為鈍角時(shí)，a?b<0條件；cos0a?b—<rcos0a?biii、非零向量a,b夾角0的計(jì)算公式:iv、|a?bIValibI；IIaI—IbIIVa土bIVaI+1bI；當(dāng)a、同向或有0OI_a+bJ=IaI+IbI>IIaI—IbII=Ia—bI；當(dāng)a、b反向或有0OIa—bI=IaI+IbI>IIaI—IbII=Ia+bI；TOC\o"1-5"\h\z—?—?—?~~~~—?—>—?—?當(dāng)a、b不共線OIIaI—IbIIvIa土bI<IaI+IbI；—?—?——?ffff—?—?—?—?g、數(shù)量積的運(yùn)算I例1、已知IaI=3,I韋I=5，且方?方=12，則向量a在向量方上的投影為,?li例2、AABC中，IABI二3,IACI二4,IBC1=5，則AB?BC=例3、已知a=（1,丄）,b=（0,-丄）,c=a+kb,d=a—b，c與d的夾角為—，則k等于224例4、已知非零向量a,b滿足a+3b與7a—5b互相垂直，a—4b與7a—2b互相垂直，則a與b的夾角—A―A—?—?—?—?—?—?—??—?—?例5、已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么PA?PB的最小值為例6、a,b為非零向量，“a丄b是“函數(shù)f(x)=Ca+b)?Cb-a)為一次函數(shù)”的條件。—?—?h、夾角問題；例7、已知a=（九2）,方二（3九,2），如果方與b的夾角為銳角，則九的取值范圍例8、已知AOFQ的面積為S，且亦?FQb=1，若2<S〈斗，則01F,FQ夾角0的取值范圍例9、若兩向量e,e12滿足e=2,e12所成的角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍=1,e,e所成的角為60,若向量2te+7e與向量e+te121212例10、已知a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny),a與b之間有關(guān)系式|a-kb=-J3ka+b,其中k>0,①用k表示a-b;~*"~*"—>—?—>—?—>—>②求a-b的最大值，并求此時(shí)a與b的夾角0的大小最小值一一當(dāng)a-b取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)九，使a+九b的值最小，并對(duì)這一結(jié)果做出幾何解釋；例11、已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),①求函數(shù)f（x）的最小正周期;例例10、例例10、coscos0=冗②當(dāng)xe0,—時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值;厶例1、￥例2、AB?BC=|AB|.|Bc|.cos(兀-B)=—卜卜cosB=—9；例3、1；解：\a+3b)解：\a+3b)?(7a—5b)=0(a—4b)?va—2b)=0=b,cos0=2,0=^1滄+16ab-曲=0=b,cos0=2,0=^17a2—30a?b+8b2=0例5、解析1、如圖所示：設(shè)PA=PB—x(x>0).ZAPO=a,則—?—?—?—?―?—?―?—?上APB=2a,PO=\;1+x2,sina=—-1+x2x4—x2x4—x2PA?PB二PA?PB?cos2a=x2(1—2sin2a)二，令PA?PB=y，貝Uy二x2+1x2+1即(1+7)y=0,由x2是實(shí)數(shù)，所以A=[—(1Fy)]2—4x1x(—y)>0,解得y<—3—2邁或y>—3+2邁.故(PA?PB)=—3+2邁，此時(shí)x=二遠(yuǎn)-1.minZAPB=0,0<0v兀PA?PB=|pa|PA?PB=|pa|?|pb|?cos0=(、1tan—\2丿仁.0、"1—sin2—I2[0)1—2sin2_八2丿7_0sin2—2換元：x=sin2-,0<X<1,PA-PB=-航-2X)二2x+--3>2邁-3；xx解析3、建系：圓的方程助F2+y2=1,設(shè)A(x,y),B(x,-y),P(x,0)11110PA-PB=x2-2xx+x2-y211001例6、必要不充分;解：①a丄boa-b=0；②f(x)=C-b^x2+C2-a21-a-b為一次函數(shù)oa-b=0且b2豐a2；③a-b=0且b2豐a2na-b=0；―?-—>―>―>—?―?―?―?—?―?―?―?“積木式問題”的解題策略：—?—?—?―?—?―?i、先分別對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行推理，直至得出認(rèn)為有作用的結(jié)果；再認(rèn)真分析這些結(jié)果,探索它們之間的聯(lián)系；若仍然不能找到解決問題的途徑則可以調(diào)整以上推理結(jié)果；ii、如果某個(gè)“積木”恰好是知識(shí)的盲點(diǎn)，不要放棄，要對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行獨(dú)立推理,可以得到可觀的部分分?jǐn)?shù)；例7、九<—4或例7、九<—4或九>0且九豐-；33例8、嚴(yán)兀）（4?3）；例9、-7<t<-1,t工—衛(wèi)224k例例1、120；例例1、120；12②最小值為--,6=3-a*b———,a*b———,a+九b2_1'2V2丿③23+,4a+九b的值最小，此時(shí)即說明(a+即說明(a+1b［丄b=0--I2丿例11、①f(X)=a?b=cos2x-sin2x+2sinxcosx2分y/2sin2y/2sin2x+—4丿???f(x)的最小正周期T=kTOC\o"1-5"\h\z②0<x<-2當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，f(x)有最大值；10分28當(dāng)2x+=5兀，即x=時(shí)，f(x)有最小值-1；12分442細(xì)節(jié)決定一切”：所得分?jǐn)?shù)與自己估計(jì)的相差很大時(shí)，說明細(xì)節(jié)出了問題。向量的運(yùn)算：、幾何運(yùn)算：1、向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，向量加法還可利用“三角形法則”設(shè)AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a與b的和，即a+b=AB+BC=AC；?—??—?2、向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由—?—????減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。f-一一一ii、坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(x,y),b=(x,y)，貝U：11221、向量的加減法運(yùn)算：a土b=(x土x,y土y)。12122、實(shí)數(shù)與向量的積：九a=X(x,y)=(九x,九y)。iiii—>—>3、若A(x,y),B(x,y)，則AB=(x-x,y-y)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向1122-2121量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。4、平面向量數(shù)量積：a?b=xx+yy。12125、向量的模：Ia1=\；x2+y2,a2=1a|2=x2+y2。—>—>6、兩點(diǎn)間的距離：若A(x,y),B(x,y)，則IABI=(x-x)2+(y-y)2。11222121例1、若點(diǎn)O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0，貝0△ABC的內(nèi)角C為例2、已矢口A(2,3),B(1,4)，且1AB=(sin^込y),x,yg(--,-)，則x+y=222例例3、設(shè)PA亠(k,12),PB=(4,5),PC亍(10,k)，則k=^時(shí)，一A、B、C共線；九C九Ca)=(九p)a,1、交換律：a+b=b+a2、結(jié)合律：3、分配律:a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(a)?b=九(a-b)=a-(X2、結(jié)合律：3、分配律:(九+p)a=Xa+pa,九C+b)=九a+九b,(a+b)?c=a-c+b-c。TOC\o"1-5"\h\z—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?-例1、下列命題中正確的是—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—A—?—?—?①方?(方-C)=~a?方一方?C；②方?(方?C)=(方?方)?C；③(方一方)2=|方|2-21aI?I方I+1方|2；④若a-b=0，則a=0或b=0；⑤若a?b=c?b,則a=c；⑥|a|2=a2；⑦aj^=b；f?⑧飛ab)2=a2?b2；??⑨a2a(a-b)2=a2-2a-b+b2。—>―>―>■―?—>—>例1、(答：①⑥⑨)—>—>—>—>—>—>向量平行(共線)的充要條件：a//bOa=Xbo(a-b)2=(IaIIbl)2oxy-yx=0。1212例1、若向量a=(x,l),b=(4,x)，當(dāng)x=一_時(shí)a與共線且方向相同；例2、已矢口a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，貝Ux=;—?—?

例］、2；例2、4；例3、一2或11；向量垂直的充要條件：a丄boa-b=0ola+b1=1a—bIoxx+yy=0.1212特別地(喘+特別地(喘+竺)丄(告-備)。ac|ab||ac|i、模長(zhǎng)及垂直條性例1、已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若OA丄OB，則m=例2、以原點(diǎn)o和A(42)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，則點(diǎn)B的坐標(biāo)例3、已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，則m的坐標(biāo)是3例】、2；?例2、(1,3)或(3,-1)；一例3、(b,—a)或(—b,a)⑩平移公式：如果點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x；y‘)，則］x'=x+h；yf=y+k曲線f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲線f(x—h,y—k)=0。例1、按向量a把(2,—3)平移到(1,-2)，則按向量a把點(diǎn)(-7,2)平移到點(diǎn)—>例2、已知A(1,2),B(4,2)，則把向量AB按向量a=(1,3)平移后得到的向量是例3、函數(shù)y=sin2x的圖象按向量N平移后，所得函數(shù)的解析式是y=cos2x+1，則方=―>兀例］、(—8,3)；例2、解：A(l,2),B(4,2).?.AB=(3,0)例3、(--,1)四、平面向量的應(yīng)用：向量在幾何中的應(yīng)用：向量的幾何表示是有向線段，其加法和減法的幾何意義、模長(zhǎng)、平行、垂直等內(nèi)容的結(jié)合。j、在幾何中的應(yīng)用“三角形“四心”向量”在AABC中：z....\若A（x,y）,B（x,y）,C（x,y），則其重心的坐標(biāo)為G|匯*±4,人十*十乙。112233I33丿PG=3（PA十PB十PC）oG為AABC的重心，特別地PA十PB十PC=0oP為AABC的重心；PA-PB=PB-PC=PC-PAoP為AABC的垂心;向量九（_AB出）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ZBAC的角平分線所在直IABIIACI線）；一一IABIPC十IBCIPA+1CAIPB=0oPAABC的內(nèi)心；1、重心（中線交點(diǎn)）??>??>—A①G是厶ABC的重心oGA十GB十GC=0；證明作圖如右，圖中g(shù)b+GC=GE，-連結(jié)BE和CE,則CE二GB,BE=GCoBGCE22C22C、重心D、AB邊的中點(diǎn)22C22C、重心D、AB邊的中點(diǎn)為平行四邊形nD是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線?將GB+GC=GE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0nGA=-GE=—2GD，故G是△ABC的重心。(反之亦然)②PG^1（PA+PB+PCf^"G為^ABC■的重心（P是平面上的點(diǎn)）.證明G=PB+BG=PC+CGn3PG二(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)^G是AABC的重心??-GA+GB+GC=0nAG+BG+CG=0，即3PG=PA+PB+PC，由此可得PG=1(PA+PB+PC)。例1、向量op、opop滿足op+op+op=0,|op|=]opI=Iop=1,12、3123I11I2丨I3求證APPP是123正三角形。例2、若O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=0，則O是AABC的（）CA、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心例3、A、B、C是平面上不共線三點(diǎn)，O是AABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=3〔2OA+2OB+2OCJ，則點(diǎn)P一定為AABC的（A、AB邊中線的中點(diǎn)B、AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）由由HA?HB=HB?HCoHB?(HC—HA)=0oHB?AC=0oHB丄AC,例1、證明由已知OP+OP=-OP，兩邊平方得OP?OP=-1，同理OP?OP=OP?OP=-112312223312.??lPP1=1PPT=lpP1=￡3'從而APPP寵正三角形。122331123反之廠若點(diǎn)o是正三角形△PPP的中心，貝I」顯然有OP+OP+OP=0且|OP|=|OP|=|12312312OP3|.—即0是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OP+OP+OP=0且|OP|=|OP|=|OP|。點(diǎn)0是正123123△PPP的中心.123例2、解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如圖以O(shè)B、0C為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則OB七OC二OD，由平行四邊形性質(zhì)知OE=-OD,2OA|=2|OE|,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。例3例3、解：B；取AB邊的中點(diǎn)M,則OA+OB—2OM,由0P=—3可得30P—0M+20C,0P—-0M，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B；2、垂心（高線交點(diǎn)）只是厶ABC的垂心°HA-HB—HB-HC—HC-HA同理HC丄AB，—HA丄BC.故廿是△ABC的垂心.一—（反之亦然（證略））—若H是AABC（非直角三角形）的垂心，則S:S:S=tanA:tanB:tanC,ABHCAAHCAAHB故tanA?HA+tanB?HB+tanC?HC=0?例1、P是AABC所在平面上一點(diǎn)，寺PA-PB=PB-PC=PC-PA，貝UP是AABC的（）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心例1、解析：由PA?PB二PB?PC得PA?PB—PB?PC二0?即PB?（PA—PC）=0,即PB?CA=0則PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P為AABC的垂心.故選D.，3、外心（邊垂直平分線交點(diǎn)，外接圓圓心）O是AABC的外心oOA二OB二OC（或OA2二OB2二OC2）（點(diǎn)O到三邊距離相等）o(9A+OB)?AB=(OB+OCiBC^CoA+OC)?PA=葉O為三邊垂直平分線)若一◎一—AABC一価一外卜心,則S:S:S=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=sin2A:sin2B;sin2CABOCAAOCAAOB故sin2A?OA+sin2B?OB+sin2C?OC=0.

例1、若O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，OA二OB二OC，則O是AABC的（）A、內(nèi)心？B、外心C、垂心D、重心例1、解析：由向量模的定義知O到AABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是AABC的外心？,選B。4、內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心）O是AABC的內(nèi)心充要條件是OA?（如—竺）二OB?（型—旦）二OC?（-CA--CB-）=0IABIIACIIBAIIBCIICAIICBID如果記ab，BC，CA的單位向量為e,e,嚴(yán)O是AABC內(nèi)心的充要條件可以寫成123DOA-^（e七）=OB?（e+e）=OC（e■+e）=0131223O是AABC內(nèi)心的充要條件也可以是a^OA^b-OB+c-OC=0.若O是AABC的內(nèi)心，則S:S:S=a:b:c,ABOCAAO^AAOB~??_故a-OA+b-OB+c-OC=0或sinA-OA+sinB-OB+sinC-OC=0,IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oP為AABC的內(nèi)心；???—????—?向量比斗必）狂0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ZBAC的角平分線所在直線）;IABIIACI*設(shè)萬(wàn)是AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，I為AABC內(nèi)心的充要條件是pi=aPA+bPB+cPCa+b+c例1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足:例2、的(例3、OP=OA+嘀嚴(yán)⑺)外心AC),九"0,+8)，則P點(diǎn)軌跡一定經(jīng)過AABC的()(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心已知O是平面上的一定點(diǎn),OP=OB+OC+九2(AB+ABcosB(A)外心(B)內(nèi)心已知非零向量AB與AC滿足例1、①ABACAB'ACB、C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足、ACACcosC丿,九e(0,+8)，則P的軌跡一定通過AABC(C)重心(D)垂心ABAC網(wǎng)+網(wǎng)丿■BC=0，且AB希=2，則aabc為分別表示AB,AC上的單位向量，因此②簡(jiǎn)+表示菱形AB'DC對(duì)角線AD；(設(shè)AB鬧E[AC，角平分線);③HABABAC)(X>0)表示九ADAC即起點(diǎn)A，終點(diǎn)在射線AD上的向量。AB④OP-OA+lABlACAC)表示以O(shè)A,九(AB等)為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上動(dòng)點(diǎn)P為終點(diǎn)OP:因?yàn)镻點(diǎn)總在ZBAC的平分線上,所以P點(diǎn)過AABC的內(nèi)心。例2、因?yàn)锳BABcosBACACcosC都點(diǎn)乘以BC后分母可以約去，且有ABACr0,ABcosBAC|cosC即動(dòng)點(diǎn)即動(dòng)點(diǎn)P滿足OP了BC=OD-BC+九BC+BC),其中D是邊BC的中點(diǎn)，移向并整理，得BC?(OP-OD)=0,BC-DP=0,PD是BC的中垂線，選B；例3、竺匸竺例3、竺匸竺f.BC頃?.角A的平分線垂直于BC;ABACIABAB餡=丄,.?.角A=60；網(wǎng)2。等邊，選D;②向量在解析中的應(yīng)用：條件以向量形式給出；定比分點(diǎn)公式以向量的形式給出；解決垂直問題時(shí)不用考慮斜率；k、在解析中的應(yīng)用例1、O為直角坐標(biāo)系XOY的原點(diǎn)，平面內(nèi)A(3,1),B(-1,3),C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量OC=aOA+卩OB，其中a,卩wR,a+P=1，求C點(diǎn)軌跡方程例2、直線x=2與雙曲線一-y2=1的漸近線交于E,E兩點(diǎn)。記OE=e,OE=e,任取雙4121122曲線上的點(diǎn)p,若滿足OP=ae+1be(a,b若滿足OP=ae+12

在AABC中，已知AB=出I-,cosB二工6,AC邊上的中線BD=人；5，求sinA的值x=x=3d-P

y=d