蘿卜探長數學世界的天才們的那些事

——趣味數學史話數學概論十個領域百門學科千余分支萬種問題十個領域經典數學數論幾何代數分析計算數學現代數學元數學結構數學離散數學隨機數學統計數學總論多復變量與解析空間大范圍分析，流形上的分析歷史與傳記特殊函數概率論與隨機過程數理邏輯與基礎常微分方程統計學組合論偏微分方程數值分析統計力學,物質結構動力系統和遍歷理論計算機科學一般代數系統差分方程與泛函方程質點和系統力學數論序列級數可求和性變形固體力學域論和多項式逼近與展開流體力學交換環和交換代數付立葉分析光學，電磁理論代數幾何抽象調和分析經典熱力學，熱傳導量子理論積分變換,算子演算線性代數和多重線性代數矩陣論結合環與結合代數積分方程序，格，有序的代數結構相對論和引力理論泛函分析非結合環與非結合代數范疇論，同調代數算子理論天文學和天體物理學K-理論地球物理學變分法與最優控制最優化群論及推廣幾何運籌學，數學規劃拓撲群，Lie群凸幾何與離散幾何對策論經濟社會學和行為科學實函數微分幾何生物學和其它自然科學測度與積分一般拓撲學系統論控制單復變函數代數拓撲學信息和通訊,電路位勢論流形和胞腔復形數學教育數學學科的特性確定性——不能有對錯兩可的存在；嚴密性——符合邏輯而且準確；積累性——數學必須從300年前的知識學起！數學的學習具有積累性畢達哥拉斯——數論、幾何歐幾里得——幾何原本阿基米德——微積分先驅丟番圖——代數方程花拉子米——代數學，阿拉伯數費馬——數論帕斯卡——概率論韋達——代數學笛卡兒——解析幾何牛頓——微積分、力學、光學萊布尼茨——微積分、數理邏輯、二進制伯努利家族——三角學、數論歐拉——拓撲學、數論高斯——數論、微積分、分析數學、天文學黎曼——非歐幾何、復變函數希爾伯特——不變量理論、公理化幾何、希爾伯特空間康托爾——集合論羅素——邏輯學龐加萊——在數學所有分支領域都造詣深厚的數學家布爾巴基——在集合論的基礎上用公理方法重新構造整個現代數學拉斐爾的雅典學院畢達哥拉斯

公元前572年～公元前500年古希臘數學家、哲學家。畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島（今希臘東部小島）的貴族家庭，自幼聰明好學，曾在名師泰勒斯門下學習幾何學、自然科學和哲學。后來因為向往東方的智慧，經過萬水千山，游歷了當時世界上兩個文化水準極高的文明古國——巴比倫和印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。后來他就到意大利的南部傳授數學及宣傳他的哲學思想，后來和他的信徒們組成了一個所謂“畢達哥拉斯學派”的政治和宗教團體。數論、幾何、畢達哥拉斯定律。提出“萬物皆數”的思想。把數學神秘化。歐幾里得

公元前325年—公元前265年古希臘數學家。被稱為“幾何之父”，最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的范例。擁有一個比自己本人還要著名的學生——阿基米德。阿基米德

公元前287年—公元前212年偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，并且享有“力學之父”的美稱，阿基米德和高斯、牛頓并列為世界頂級三大數學家。阿基米德曾說過：“給我一個支點，我就能撬起整個地球?！卑⒒椎率粴q時，阿基米德被父親送到埃及的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生埃拉托塞和卡農學習。公元前212年，古羅馬軍隊入侵敘拉古，阿基米德被羅馬士兵殺死，終年七十五歲。阿基米德的遺體葬在西西里島，墓碑上刻著一個圓柱內切球的圖形，以紀念他在幾何學上的卓越貢獻。——他的死同樣也很著名！丟番圖

約公元246年~330年是古希臘亞歷山大學后期的重要學者和數學家，是代數學的鼻祖，對算術理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式，被稱為第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。在希臘數學中獨樹一幟。在丟番圖時代的古希臘，學者們的興趣中心在幾何，他們認為只有經過推理論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴密性，一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數解放出來。但是它遠遠超出了同時代人，而不為同時代人所接受，很快就被湮沒，沒有對當時數學的發展產生太大的影響。直到15世紀，丟番圖的《算術》被重新發掘，把代數學大大向前推進了。其中最著名的當屬費馬手持一本《算術》，并在其空白處寫寫劃劃，寫下了費馬大定理（直到20世紀九十年代才被證明），把數論引上了近代的軌道。丟番圖墓碑花剌子模

約780年～約850年花剌子模引進了印度數字，發展算術，后經斐波那契引介到歐洲，逐漸代替了歐洲原有的算板計算及羅馬的記數系統。花剌子模展示了數字的加、減、乘、除的基本方法，甚至展示了如何求平方根和π。這些方法精準、明確、有法可尋、具有效率、正確而且簡單，它們叫“運算法則”，在很多世紀之后，十進制系統最終被歐州采用，而這個新名詞也是用于紀念這位哲人的。公元830年，花剌子模寫了一本有關代數的書《代數學》，代數學(Algebra)一詞即由此書而來。書中闡述了解一次和二次方程的基本方法及二次方根的計算公式，明確提出了代數、已知數、未知數、根、移項、集項、無理數等一系列概念，并載有例題800多道，提供了代數計算方法，把代數學發展成為一門與幾何學相提并論的獨立學科。此外，印度數碼(1~9、0)也藉他著作傳入西方，歐洲人稱為阿拉伯數字。韋達

1540年~1603年法國數學家。年輕時當過律師，后來致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。他討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系。所以人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”，在歐洲被尊稱為“代數學之父”。韋達1591年出版的《分析引論》可謂代數學發展的又一個里程碑。該書第一次系統使用了代數字母與數學符號，以輔音字母B,C,D表示已知量，以元音字母A(后用N)表示未知量。韋達認為，代數是施行于“事物類”或形式的運算方法，算術只是同“數字”打交道，僅僅施行于具體數。故而他把符號代數稱之“類的算術”，同時規定了算術與代數的分界。雖然韋達選用的數學符號尚不夠優良，且沒有相等、相乘等符號，但其開創之功難以估量(現在用a,b,c表示已知量，x,y,z表示未知量由笛卡兒提出)。當代數學發展成為“關于字母計算、公式變換及解代數方程的科學”時，則已成為研究“一般類型形式和方程”的學問，因其抽象概括而變得應用廣泛。這就標志著古典代數學的確立與完善，為代數學的發展開辟了道路。韋達笛卡爾

1596年~1650年笛卡爾是法國著名的哲學家、物理學家、數學家、神學家，他對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。笛卡爾是二元論的代表，留下名言“我思故我在”，提出了“普遍懷疑”的主張，是歐洲近代哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為“現代哲學之父”。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學。笛卡兒自成體系，融唯物主義與唯心主義于一體，在哲學史上產生了深遠的影響，同時，他又是一位勇于探索的科學家，他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡爾堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學的始祖”。據說有一天，笛卡爾生病臥床，病情很重，盡管如此他還反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，通過什么樣的方法，才能把“點”和“數”聯系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子里可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置就可以在這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找到一點P與之對應，同樣道理，用一組數（X，Y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組兩個有順序的數來表示，這就是坐標系的雛形。笛卡爾平面直角坐標系費馬

1601年~1665年費馬是一個17世紀的法國律師，也是一位業余數學家。費馬最后定理習慣稱為費馬大定理。著名的數學史學家貝爾在2所撰寫的著作中，費馬為“業余數學家之王”。貝爾深信，費馬比同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是杰出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。費馬對解析幾何、數論、微積分、概率論、光學均有不朽的貢獻。費馬的手稿帕斯卡

1623年~1662年法國數學家、物理學家、哲學家、散文家。帕斯卡的數學造詣很深。除對概率論等方面有卓越貢獻外，最突出的是著名的帕斯卡定理。帕斯卡定理是射影幾何的一個重要定理：“圓錐曲線內接六邊形其三對邊的交點共線”。在代數研究中，他發現了二項式展開式的系數規律，即著名的“帕斯卡三角形”。（在我國稱“楊輝三角形”），他與費馬共同建立了概率論和組合論的基礎，并得出了關于概率論問題的一系列解法。他研究了擺線問題，得出了不同曲線面積和重心的一般求法。他計算了三角函數和正切的積分，最早引入了橢圓積分。艾薩克·牛頓

1643年~1727年英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學的數學原理》、《光學》。他在1687年發表的論文《自然定律》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此后三個世紀里物理世界的科學觀點，并成為了現代工程學的基礎。他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，并推動了科學革命。在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恒的原理，提出牛頓運動定律。在光學上，他發明了反射望遠鏡，并基于對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察，發展出了顏色理論。他還系統地表述了冷卻定律，并研究了音速。在數學上，牛頓與萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。微積分的創立微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。萊布尼茨

1646年~1716年德意志哲學家、數學家，歷史上少見的通才，被譽為17世紀的亞里士多德?，F今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨于1684年論文定義了微分概念，采用了微分符號dx，dy。1686年他又發表論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開創現代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學家。萊布尼茨闡明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質。萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人之一，曾經從傳教士那里接觸到中國文化。法國漢學大師若阿基姆·布韋向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是二進制的中國版。他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。今天在德國圖林根，著名的郭塔王宮圖書館內仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源?！比R布尼茨的算數機萊昂納爾·歐拉

1707年～1783年歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但在數學上作出偉大貢獻，而且把數學用到了幾乎整個物理領域。他又是一個多產作者。他寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》都成為數學中的經典著作。幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、復變函數的歐拉公式歐拉還是數學史上最多產的數學家，他一生寫下886種書籍論文，平均每年寫出800多頁，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作《無窮小分析引論》、《微分學》、《積分學》是18世紀歐洲標準的微積分教科書。歐拉還創造了一批數學符號，如f(x)、Σ、i、e等等，使得數學更容易表述、推廣。并且，歐拉把數學應用到數學以外的很多領域。彈道學空氣動力學雅各布·伯努利1654~1705約翰·伯努利1667~1748

丹尼爾·伯努利1700~1782尼古拉·伯努利1687

~1759瑞士的伯努利家族，一個家族3代人中產生了8位科學家，后裔有不少于120位被人們系統地追溯過，他們在數學、科學、技術、工程乃至法律、管理、文學、藝術等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫的輝煌家族。雅各布·伯努利曾經是保羅·歐拉的老師；約翰·伯努利是13歲小萊昂納爾·歐拉的老師；同時丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利是萊昂納爾·歐拉的好友。雅各布第二娶了歐拉的一個孫女。雅各布·伯努利懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。死后8年出版了概率論巨著《猜度術》。雅各布·伯努利解決懸鏈線問題（1691年），提出洛必達法則（1694年）、最速降線（1696年）和測地線問題（1697年），給出求積分的變量替換法（1699年），研究弦振動問題（1727年），出版《積分學教程》（1742年）等。丹尼爾·伯努利在一個流體系統，比如氣流、水流中，流速越快，流體產生的壓力就越小，這就是被稱為“流體力學之父”的丹尼爾·伯努利1738年發現的“伯努利定律”。能與丹尼爾媲美的只有大數學家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學術通信，在科學史上留下一段佳話。約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚?/p>

1777年~1855年德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。是近代數學奠基者之一，高斯被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家。一生成就極為豐碩，以他名字“高斯”命名的成果達110個，屬數學家中之最。他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年談到：“任何一個花過一點功夫研習數論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！狈菤W幾何的的開山祖師有三人，高斯、洛巴切夫斯基，波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學的同學，他曾想試著證明平行公理，雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究，小波爾約還是沉溺于平行公理。最后發展出了非歐幾何，并且在1832~1833年發表了研究結果，老波爾約把兒子的成果寄給老同學高斯，想不到高斯卻回信道：我無法夸贊他，因為夸贊他就等于夸獎我自己。正態分布又叫高斯分布高斯和韋伯一起從事磁的研究，他們的合作是很理想的：韋伯作實驗，高斯研究理論，韋伯引起高斯對物理問題的興趣，而高斯用數學工具處理物理問題，影響韋伯的思考工作方法。他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，而且定出了地球磁南極和磁北極的位置。高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學家韋伯發明了有線電報，這使高斯的聲望超出了學術圈而進入公眾社會。希爾伯特希爾伯特1862年生于哥尼斯堡，中學時代他就是一名勤奮好學的學生，對于科學特別是數學表現出濃厚的興趣。1880年，他不顧父親讓他學法律的意愿，進入哥尼斯堡大學攻讀數學，并于1884年獲得博士學位。1893年他被任命為正教授，1895年轉入哥廷根大學任教授，此后一直在數學之鄉哥廷根生活和工作。希爾伯特的數學工作的主要研究內容有：不變量理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。

他于1900年8月8日在巴黎第二屆國際數學家大會上，提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的至高點，對這些問題的研究有力推動了20世紀數學的發展，在世界上產生了深遠的影響。希爾伯特領導的數學學派是19世紀末20世紀初數學界的一面旗幟，使哥廷根大學成為當時世界數學研究的重要中心。希爾伯特被稱為“數學界的無冕之王”，他是天才中的天才。數學學科跨世紀的問題1900年希爾伯特提出23個數學問題。2000年千禧年大獎難題，又稱世界七大數學難題，是七個由美國克雷數學研究所公布的數學猜想。這些難題是呼應1900年德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個數學問題。數學史上的三大危機第一，希帕索斯發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希帕索斯拋入大海；第二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻；第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！康托爾1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個丹麥—猶太血統的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福?？低袪枑酆脧V泛，極有個性，終身信奉宗教。早期在數學方面的興趣是數論，1870年開始研究三角級數并由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數學成就——集合論和超窮數理論的建立。作為集合論的創立者，康托爾是數學史上最富有想象力，也最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的關于連續性和無窮的研究從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統，從而引起了激烈的爭論。然而數學的發展最終證明康托爾是正確的。康托創立的集合論被譽為20世紀最偉大的數學創造，集合概念大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。羅素1872年5月18日，羅素生于貴族世家。其祖父約翰·羅素勛爵在維多利亞時代兩度出任首相，并獲封伯爵爵位。其父安伯力·羅素是一位激進的自由主義者，因為鼓吹節育而失去國會的議席。羅素4歲時失去雙親，由祖母撫養。他的祖母在道德方面要求極為嚴格，精神上無所畏懼，敢于蔑視習俗。英國哲學家、數理邏輯學家、歷史學家，無神論或者不可知論者，也是上世紀西方最著名、影響最大的學者和和平主義社會活動家之一，羅素也被認為是與弗雷格、維特根斯坦和懷特海一同創建了分析哲學。他與懷特海合著的《數學原理》對邏輯學、數學、集合論、語言學和分析哲學有著巨大影響。1950年羅素獲得諾貝爾文學獎，以表彰其“多樣且重要的作品，持續不斷的追求人道主義理想和思想自由”。龐加萊1854年4月29