數學悖論與三次數學危機數學悖論與三次數學危機什么是悖論？籠統地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴格性被公認為是數學的一個主要特點，因此如果數學中出現悖論會造成對數學可靠性的懷疑。如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會更為強烈，由此導致的懷疑還會引發人們認識上的普遍危機感。在這種情況下，悖論往往會直接導致“數學危機”的產生。按照習慣的說法，在數學發展史上迄今為止出現了三次這樣的數學危機。什么是悖論？籠統地說，是指這樣的推理過程：它看上去是

數學發展從來不是完全直線式的，而是常常出現悖論。歷史上一連串的數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信仰，數學史上曾經發生了三次數學危機。數學悖論的產生和危機的出現，不單給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望，促進了數學的繁榮。危機產生、解決、又產生的無窮反復過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。數學發展從來不是完全直線式的，而是常常出現悖論。歷

數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠和諧的，而常常出現悖論。悖論是指在某一一定的理論體系的基礎上，根據合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的命題，或者是證明了這樣一個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對于相應理論的懷疑，而如果一個悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個學科的基礎時，這種懷疑情緒又可能發展成為普遍的危機感，特別是一些重要悖論的產生自然引起人們對數學基礎的懷疑以及對數學可靠性信仰的動搖。數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。本講回顧了歷史上發生的三次數學危機，重點介紹了三次數學危機對數學發展的重要作用。數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，畢達哥拉斯畢達哥拉斯

公元前六世紀，在古希臘學術界占統治地位的畢達哥拉斯學派，其思想在當時被認為是絕對權威的真理，畢達哥拉斯學派倡導的是一種稱為“唯數論”的哲學觀點，他們認為宇宙的本質就是數的和諧。他們認為萬物皆數，而數只有兩種，就是正整數和可通約的數（即分數，兩個整數的比），除此之外不再有別的數，即是說世界上只有整數或分數。畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關系，即a2+b2=c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機公元前六世紀，在古希臘學術界占統治地位的畢達哥拉斯學派，

然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現邊長相等的正方形其對角線長并不能用整數或整數之比來表示。假設正方形邊長為1，并設其對角線長為d，依勾股定理應有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？顯然d不是整數，那它必是兩整數之比。希伯斯花了很多時間來尋找這兩個整數之比，結果沒找著，反而找到了兩數不可通約性的證明，用反證法證明如下：設Rt△ABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設已將a和c中的公約數約去，即a、c已經互素，于是c為偶數，a為奇數，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a為偶數，這與前面已證a為奇數矛盾。這一發現歷史上稱為畢達哥拉斯悖論。1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這

畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，“數即萬物”的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數學危機。

第一次數學危機的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發展。第一次數學危機的影響畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打

首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之后，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類——實數，并建立了完整的實數理論，為數學分析的發展奠定了基礎。再者，第一次數學危機表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們為了消除矛盾，解除危機，在這時候應運而生的。第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展,使幾何學在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。第一次數學危機的影響首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，牛頓萊布尼茲牛頓萊布尼茲貝克萊貝克萊2貝克萊悖論與第二次數學危機

第二次數學危機導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。2貝克萊悖論與第二次數學危機第二次數學危

1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說x2的導數，先將x取一個不為0的增量Δx

，由(x+Δx)2-x2

，得到2xΔx+(Δx)2

，后再被Δx

除，得到2x+Δx

，最后突然令Δx=0，求得導數為2x

。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。2貝克萊悖論與第二次數學危機1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題

數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。2貝克萊悖論與第二次數學危機數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠

針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？

2貝克萊悖論與第二次數學危機針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴于直觀去開創新的數學領地。于是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。2貝克萊悖論與第二次數學危機“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為“分析的世紀”。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。2貝克萊悖論與第二次數學危機經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達柯西柯西

到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。2貝克萊悖論與第二次數學危機到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降

這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由于實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。2貝克萊悖論與第二次數學危機這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數學

柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數。1892年，另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。2貝克萊悖論與第二次數學危機柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自

數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。2貝克萊悖論與第二次數學危機數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，

但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅素悖論，使數學基礎產生了裂紋，因而震動了整個數學界，這就是所說的第三次數學危機。羅素RussellBertrandArthurWillian3羅素悖論與第三次數學危機

但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅羅素悖論的比喻

一天，薩維爾村理發師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發的男人都由我給他們理發，我也只給這些人理發。”于是有人問他：“您的頭發由誰理呢?”理發師頓時啞口無言。

羅素悖論的比喻

一天，薩維爾村理發師掛出一塊招牌：“村康托爾康托爾

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。3羅素悖論與第三次數學危機

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。3羅素悖論與第三次數學危機

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。3羅素悖論與第三次數學危機

其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如18如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地。”戴德金也因此推遲了他的《什么是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。3羅素悖論與第三次數學危機

如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說

危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。3羅素悖論與第三次數學危機

危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。3羅素悖論與第三次數學危機

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等

以上簡單介紹了數學史上由于數學悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到數學悖論在推動數學發展中的巨大作用。有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而數學悖論提出的正是讓數學家無法回避的問題。它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。以上簡單介紹了數學史上由于數學悖論而導致的三次數

人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里數學悖論與三次數學危機數學悖論與三次數學危機什么是悖論？籠統地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴格性被公認為是數學的一個主要特點，因此如果數學中出現悖論會造成對數學可靠性的懷疑。如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會更為強烈，由此導致的懷疑還會引發人們認識上的普遍危機感。在這種情況下，悖論往往會直接導致“數學危機”的產生。按照習慣的說法，在數學發展史上迄今為止出現了三次這樣的數學危機。什么是悖論？籠統地說，是指這樣的推理過程：它看上去是

數學發展從來不是完全直線式的，而是常常出現悖論。歷史上一連串的數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信仰，數學史上曾經發生了三次數學危機。數學悖論的產生和危機的出現，不單給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望，促進了數學的繁榮。危機產生、解決、又產生的無窮反復過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。數學發展從來不是完全直線式的，而是常常出現悖論。歷

數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠和諧的，而常常出現悖論。悖論是指在某一一定的理論體系的基礎上，根據合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的命題，或者是證明了這樣一個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對于相應理論的懷疑，而如果一個悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個學科的基礎時，這種懷疑情緒又可能發展成為普遍的危機感，特別是一些重要悖論的產生自然引起人們對數學基礎的懷疑以及對數學可靠性信仰的動搖。數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。本講回顧了歷史上發生的三次數學危機，重點介紹了三次數學危機對數學發展的重要作用。數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，畢達哥拉斯畢達哥拉斯

公元前六世紀，在古希臘學術界占統治地位的畢達哥拉斯學派，其思想在當時被認為是絕對權威的真理，畢達哥拉斯學派倡導的是一種稱為“唯數論”的哲學觀點，他們認為宇宙的本質就是數的和諧。他們認為萬物皆數，而數只有兩種，就是正整數和可通約的數（即分數，兩個整數的比），除此之外不再有別的數，即是說世界上只有整數或分數。畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關系，即a2+b2=c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機公元前六世紀，在古希臘學術界占統治地位的畢達哥拉斯學派，

然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現邊長相等的正方形其對角線長并不能用整數或整數之比來表示。假設正方形邊長為1，并設其對角線長為d，依勾股定理應有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？顯然d不是整數，那它必是兩整數之比。希伯斯花了很多時間來尋找這兩個整數之比，結果沒找著，反而找到了兩數不可通約性的證明，用反證法證明如下：設Rt△ABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設已將a和c中的公約數約去，即a、c已經互素，于是c為偶數，a為奇數，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a為偶數，這與前面已證a為奇數矛盾。這一發現歷史上稱為畢達哥拉斯悖論。1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這

畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，“數即萬物”的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數學危機。

第一次數學危機的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發展。第一次數學危機的影響畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打

首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之后，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類——實數，并建立了完整的實數理論，為數學分析的發展奠定了基礎。再者，第一次數學危機表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們為了消除矛盾，解除危機，在這時候應運而生的。第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展,使幾何學在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。第一次數學危機的影響首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，牛頓萊布尼茲牛頓萊布尼茲貝克萊貝克萊2貝克萊悖論與第二次數學危機

第二次數學危機導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。2貝克萊悖論與第二次數學危機第二次數學危

1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說x2的導數，先將x取一個不為0的增量Δx

，由(x+Δx)2-x2

，得到2xΔx+(Δx)2

，后再被Δx

除，得到2x+Δx

，最后突然令Δx=0，求得導數為2x

。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。2貝克萊悖論與第二次數學危機1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題

數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。2貝克萊悖論與第二次數學危機數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠

針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數學家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？

2貝克萊悖論與第二次數學危機針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格，論證的不嚴密，而是更多依賴于直觀去開創新的數學領地。于是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛涌現出來。2貝克萊悖論與第二次數學危機“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為“分析的世紀”。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。2貝克萊悖論與第二次數學危機經過一個多世紀的漫漫征程，幾代數學家，包括達柯西柯西

到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。2貝克萊悖論與第二次數學危機到十九世紀，批判、系統化和嚴密論證的必要時期降

這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由于實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。2貝克萊悖論與第二次數學危機這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數學

柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數。1892年，另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。2貝克萊悖論與第二次數學危機柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自

數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。2貝克萊悖論與第二次數學危機數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，

但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅素悖論，使數學基礎產生了裂紋，因而震動了整個數學界，這就是所說的第三次數學危機。羅素RussellBertrandArthurWillian3羅素悖論與第三次數學危機

但羅素在1903年出版了《數學的原理》，書中提到著名的羅羅素悖論的比喻

一天，薩維爾村理發師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發的男人都由我給他們理發，我也只給這些人理發。”于是有人問他：“您的頭發由誰理呢?”理發師頓時啞口無言。

羅素悖論的比喻

一天，薩維爾村理發師掛出一塊招牌：“村康托爾康托爾

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。3羅素悖論與第三次數學危機

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。3羅素悖論與第三次數學危機

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣