第7章三角函數(shù)第04講三角函數(shù)應(yīng)用0目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn).理解并掌握函數(shù)y=Asin(ox+g)(A>0,tw>0)中A。,。的物理意義；.掌握解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟；.理解三角函數(shù)圖象類問(wèn)題；.理解并掌握三角函數(shù)模型的應(yīng)用..通過(guò)具體實(shí)例，掌握三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行模型的構(gòu)建求解蟹知識(shí)精講一、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟三角函數(shù)模型應(yīng)用即,根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)而使實(shí)際問(wèn)題得到解決.步驟可記為：審讀題意TT根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值^解決實(shí)際問(wèn)題.這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般,再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)解析式..三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟三角函數(shù)模型應(yīng)用即建模問(wèn)題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應(yīng)的三角函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)而使實(shí)際問(wèn)題得到解決.步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式f根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值一解決實(shí)際問(wèn)題.這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)解析式..三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.二、三角函數(shù)模型的擬合應(yīng)用我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”,通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.運(yùn)?，堵.％運(yùn)。.?域。??運(yùn)?，霜3：簿「魂運(yùn)??=塌.1運(yùn)。.?域。.?運(yùn)J。堵.：：慧?，*參考答案一、建模問(wèn)題 建立三角函數(shù)式先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)二、散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)擬合考法01三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用估計(jì)某一天的白晝時(shí)間的小時(shí)數(shù)。⑺的表達(dá)式是。")=Asin生《-79)+12,其中eZ)表示某天的序號(hào)，，=0表示1月1日，依此類推，常數(shù)k與某地所處的緯度有關(guān).(1)在波士頓，k=6,試畫(huà)出當(dāng)0副T365時(shí)函數(shù)的圖象；(2)在波士頓哪一天白晝時(shí)間最長(zhǎng)？哪一天最短？(3)估計(jì)在波士頓一年中有多少天的白晝超過(guò)10.5小時(shí).【思路分析】首先利用五點(diǎn)法作出圖象，然后結(jié)合圖象分析問(wèn)題.【解析】(1)先用五點(diǎn)法作出了⑺=3sin京。-79)的簡(jiǎn)圖，27r 27r由——(-79)=0及——。-79)=2兀，365 365得f=79及r=444.2兀若f=0,/(0)=3sin—(-79)?3sin(-1.36)=-2.9.365的周期為365,:./(365)?-2.9.將/⑺在［0,365］上的圖象向上平移12個(gè)單位，就得OQ)的圖象(如圖所示).(2)白晝時(shí)間最長(zhǎng)的一天，即OQ)取最大值的一天,此時(shí)C170,對(duì)應(yīng)的是6月20日(閏年除外)，類似地，ra353時(shí)。⑺取最小值，即12月20日(閏年除外)白晝最短.3)ZX0>10.5,即3sin—(-79)+12>10.5,365sin—(r-79)>--,re[0,365].365 2二292"..49,292-49=243.故約有243天的白晝時(shí)間超過(guò)10.5小時(shí).【解題策略】該題已經(jīng)知道了函數(shù)模型即函數(shù)的解析式，只需利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)對(duì)問(wèn)題予以解答，再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的答案.【跟蹤訓(xùn)練】據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈〃x)=Asin(3x+g)+6(A>0,a)>0,\(p\<^的模型波動(dòng)(x為月份)，已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件可確定/*)的解析式為()JI7T/(x)=2sin(-x——)+7(1效k12,xeN)4 4jr冗/(x)=9sin(—x--)(1^Jx12,xgN+)f(x)=2\[2sin—x4-7(1 12,xeN.)4jrjr/(x)=2sin(—x+—)+7(1麴k12,xeN+)4 4【答案】A【解析】令x=3可排除D,令x=7可排除B,9-5由4 =2可木F除C;2或由題意，可得A=W^=2,b=1,周期T=空=2x(7-3)=8,2 69.兀??ty=—.4冗于是f(x)=2sin(—x+(p)+l,4再代入點(diǎn)(3,9)結(jié)合0的范圍得尹的值.2.如圖所示，游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心。距離地面40.5米，半徑為40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求出你與地面的距離y(米)與時(shí)間r(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)你第4次距離地面60.5米時(shí)，用了多長(zhǎng)時(shí)間？【思路分析】

確定模型類別 ?求函數(shù)解析式 ?利用模型解決實(shí)際問(wèn)題【解析】(1)由已知可設(shè)y=40.5-40cosftXJ…0,由周期為12分鐘可知，當(dāng)/=6時(shí)，摩天輪第1次到達(dá)最高點(diǎn)，即此函數(shù)第1次取得最大值，所以6<y=7t,即oJ.6所以y=40.5-40cos《fJ…0.(2)設(shè)轉(zhuǎn)第1圈時(shí)，第2分鐘時(shí)距地面60.5米，由60.5=40.5-40cos-L.6得cos/。=一；,r-r-??I7C 27c—27C47r所以一f=一或一％=一6 3 6 3解得=4或，0=8.所以，=8(分鐘)時(shí)，第2次距地面60.5米，故第4次距離地面60.5米時(shí)，用了12+8=20(分鐘).【技巧點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)己知條件確定函數(shù)解析式中的各個(gè)參數(shù)，最后利用模型解決實(shí)際問(wèn)題.考法02三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用1.彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在時(shí)間f(s)內(nèi)離開(kāi)平衡位置(靜止時(shí)的位置)的距離人(cm)由下面的函數(shù)關(guān)系式表示：/?=3sin(2r+-).4(1)求小球開(kāi)始振動(dòng)的位置：(2)求小球第一次上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位置;(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往返振動(dòng)一次？(4)每秒內(nèi)小球能往返振動(dòng)多少次？【思路分析】【解析】(1)【解析】(1)令r=0,得人=3sin￥=^^,4 2所以開(kāi)始振動(dòng)的位置為(o,述)2(2)由題意知，當(dāng)〃=3時(shí)，t=—,8即最高點(diǎn)為3);當(dāng)a=-3時(shí)，t=—,8即最低點(diǎn)為(亞,-3).8T=—=7t?3.14,即每經(jīng)過(guò)約3.14s小球往返振動(dòng)一次.2/=1?0.318,即每秒內(nèi)小球往返振動(dòng)約0.318次.T［易錯(cuò)警示］解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確各個(gè)參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問(wèn)題是混淆彼此之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)解.【規(guī)律總結(jié)】1.已知實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問(wèn)題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計(jì)算即可.【跟蹤訓(xùn)練】.已知彈簧上掛著小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間，(s)的變化規(guī)律為s=4sin(2r+g),rw［0,y).用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并回答下列問(wèn)題.(1)小球在開(kāi)始振動(dòng)(r=0)時(shí)的位移是多少？(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？【思路分析】在物理學(xué)中，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)可用正弦型函數(shù)y=Asin(a，x+9)表示物體振動(dòng)的位移y隨時(shí)27r間X的變化規(guī)律，A為振幅，表示物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，T=巧為周期，表示物體往復(fù)振動(dòng)一次co所需的時(shí)間，/=,為頻率，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù).【解析】列表如下:tn6nnn37n~V2571T2r+-30712n3兀~22兀sin(2/+―)010-10s040-40描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示:j/cm

(1)將，=0代入s=4sin(2/+g),得s=4sin工=26,3所以小球開(kāi)始振動(dòng)時(shí)的位移是2Gcm.(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和一4cm,(3)因?yàn)檎駝?dòng)的周期是兀，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是兀s..如圖，某大風(fēng)車(chē)的半徑為2m,每12s旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面0.5m.風(fēng)車(chē)圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)f(s)后與地面的距離為〃(m).(1)求函數(shù)人=/(。的關(guān)系式；(2)畫(huà)出函數(shù)力=_/■”)的圖象.【思路分析】本題主要考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，由題意可知南速度。=0=二，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)126系，寫(xiě)出力=/“)的表達(dá)式.【解析】(1)如圖①，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的圓的切線為X軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為",)，),設(shè)NOO1A設(shè)NOO1A=e,則cos6=^~.y=-2cosJ+2.7t Tt??y=-2cos-Z+2,h=/(r)=-2cos—r+2.5.(2)函數(shù)〃=-2cos￥/+2.5的圖象如圖②所示.6【點(diǎn)評(píng)】此題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，綜合圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)寫(xiě)出函數(shù)解析式.考法03函數(shù)解析式與圖象對(duì)應(yīng)問(wèn)題如圖，單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間f(s)的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin(2m+二)，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為(A.2A.27ts【答案】D【解析】本題已給出了單擺離開(kāi)平衡位置O的距離s(cm)和時(shí)間f(s)的函數(shù)關(guān)系式，單擺來(lái)回?cái)[一次所需的時(shí)間即為此函數(shù)的一個(gè)周期.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查周期的物理意義，單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間即為周期，而丫=/^出(5+夕)的周期為7=4,由此即可求得單擺的周期.【跟蹤訓(xùn)練】某動(dòng)物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦曲線變化.求出種群數(shù)量作為時(shí)間/的函數(shù)表達(dá)式.(其中，以年初以來(lái)的月為計(jì)量單位)01234567一月T份【思路分析】本題主要考查正弦曲線圖象及解析式的求法，由于其符合正弦曲線，則可畫(huà)出正弦曲線的示意圖，由圖象結(jié)合實(shí)際意義可求解析式.【解析】設(shè)表示該曲線的三角函數(shù)為y=Asin(〃)x+a)+h.由已知平均數(shù)量為800,最高數(shù)量與最低數(shù)量差為200,數(shù)量變化周期為12個(gè)月，振幅A=——=100?co=——=—th=800.2 126又???7月1日種群數(shù)量達(dá)最高，則種群數(shù)量關(guān)于時(shí)間，的函數(shù)表達(dá)式為：兀y=800+100sin-(r-3).【點(diǎn)評(píng)】客觀世界中許多觀察的數(shù)量之間存在著三角函數(shù)關(guān)系，要注意數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際應(yīng)用題，并熟練地掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論，有助于解決此類問(wèn)題.fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練."牽星術(shù)”是古代的航海發(fā)明之一，在《鄭和航海圖》中都有記載.如圖所示，"牽星術(shù)”儀器主要是由牽星板（正方形木板），輔以一條細(xì)繩貫穿在木板的中心牽引組成.要確定航船在海上的位置，觀察員一手持一塊豎直的牽星板，手臂向前伸直，另一手持著線端置于眼前，眼睛瞄準(zhǔn)牽星板上下邊緣，將下邊緣與水平線取平，上邊緣與北極星眼線重合，通過(guò)測(cè)出北極星眼線與水平線的夾角來(lái)確定航船在海上的位置（緯度）.某航海觀察員手持邊長(zhǎng)為20cm的牽星板，繩長(zhǎng)70cm,觀察北極星，眼線恰好通過(guò)牽星板上邊緣，則航船所處的緯度位于區(qū)間（參考數(shù)據(jù)：tan10°a0.1763,tan15°?0.2679,tan20°?0.3640,記北極星眼線與水平線的夾角為6記北極星眼線與水平線的夾角為6.TOC\o"1-5"\h\z口20 20 6?0.2887,則tan0——= ?0.2887,d 40V3 6又0.2679<0.2887<0.364（），tan15°?0.2679,tan20°a0.3640,所以15°<6<20°,故選：C..筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示,圓。的半徑為4米，盛水筒M從點(diǎn)外處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，。界與水平面的所成角為30。，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒M距離水面的高度，（單位：米）與時(shí)間，（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）

A.rrA.rra.(兀乃)CH=4sin—t——+21606T, ..{7T/T| .B.H=4sin—t——+2130 6TOC\o"1-5"\h\z,1A.(兀 )11A,\ 乃C.H=4sin—t +2 d.H=4sin—t +2(60 3) 1.30 3)【答案】A【解析】設(shè)距離水面的高度H與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為〃=Asin(d+e)+8,-3,、， 27r 2%*周期為120s,co=—= =—,T12060兀最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4+4sin—=6,6IT最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4+4sinJ=-2,所以A+8=6,—A+8=—2 A=4,5=2,TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)t=0時(shí),H=0,4sin^9+2=0,/.sin(p=—(p= ,2 6所以"=4sin(二r—丁］+2.故選：A.\6() 63.健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120?140mmHg和60?90mmHg.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.高三同學(xué)在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對(duì)于高考報(bào)考有一些影響.某同學(xué)測(cè)得的血壓滿足函數(shù)式P(/)=a+bsinw(o>0),其中為血壓(mmHg),，為時(shí)間(min),其函數(shù)圖像如上圖所示，則下列說(shuō)法里堤的是( )A.收縮壓為120mmHgB.3=804C.舒張壓為70mmHgD.A.收縮壓為120mmHg【答案】B【解析】由圖象可知，函數(shù)的最大值為120,最小值為70,所以收縮壓為120mmHg,舒張壓為70mmHg,所以選項(xiàng)AC正確；周期7=-!-,由生=[,知0=1604，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；80co80a+b=120由題得《， ，所以。=95,6=25.所以選項(xiàng)D正確.故選：B。-6=704.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫(huà)中女子神秘的微笑，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角AC處作圓弧的切線，兩條切線交于8點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm（其中左。0.866）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等2TOC\o"1-5"\h\z于（ ）【答案】C【解析】依題意AB=BC=6,設(shè)NABC=26?.5196 J3則sin8=±^=0.866aH6 2：.0=-,20=—.3 3設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為a.7T貝|」。+26=萬(wàn)，a=—.故選：C35.比薩斜塔是意大利的著名景點(diǎn)，因斜而不倒的奇特景象而世界聞名.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，OA的方向即為A點(diǎn)處的豎直方向.已知比薩斜塔處于北緯44。，經(jīng)過(guò)測(cè)量，比薩斜塔朝正南方向傾斜，且其中軸線與豎直方向的夾角為4。，則中軸線與赤道所在平面所成的角為（）

40°【答案】A42°48°40°【答案】A42°48°D.50°【解析】解析如圖所示，AP為比薩斜塔的中軸線，ZAOD=44°,ZaAP=4°.則ZR4c=40。，中軸線與赤道所在平面所成的角為40°.故選:A.6.三國(guó)時(shí)期，吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”).如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角a為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方形面積邑之比為1：25,則cos|a+?)=( )C7a10A." B..也 C7a1010 10 10【答案】D【解析】由題意得。C=5切，因?yàn)镃E=DCsina,DE=DCcosa=EC-EHDCsma--DC,

25所以sina-cosa,則1-2sinacosa='25TOC\o"1-5"\h\z“ 24所以2sinacosa=一,252 . 49所以(sina+cosa)-=1+2sinacosa=—n . 7因?yàn)閍￡(0,?),所以sinc+cosa=g,所以cosa所以cosa+今=cosacos sinasin——等sin…sa)x/27 7>/2 X-= 10故選：D7.心臟每跳動(dòng)一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)〃?）=110+25411（15（）由），其中p⑺為血壓（單位:mmHg）,t為時(shí)間（單位：min），則相鄰的收縮壓和舒張壓的時(shí)間間隔是（ ）壓（單位:1A. 1501A. 150IB. 1101c.—70D.±75【答案】【解析】由題知,血壓的最大值與最小值分別為收縮壓和舒張壓【解析】由題知,血壓的最大值與最小值分別為收縮壓和舒張壓,又血壓函數(shù)為正弦三角函數(shù)，則相鄰的收縮壓和舒張壓即血壓函數(shù)的半個(gè)周期,則丁=21150萬(wàn)時(shí)間間隔為，則丁=21150萬(wàn)時(shí)間間隔為，T=-L.故選：A.

2 150A.10分鐘 B.12分鐘 C.14分鐘8,京西某游樂(lè)園的摩天輪采用了國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結(jié)構(gòu)，風(fēng)格更加簡(jiǎn)約，摩天輪直徑88米，最高點(diǎn)A距離地面100米，勻速運(yùn)行一圈的時(shí)間是18分鐘.由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過(guò)34米時(shí),可視為最佳觀賞位置，在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為（）D.16分鐘【答案】B【解析】由題意，可得如下圖：由圖可知NA5O=30°，所以NAO5=120",所以在運(yùn)行的一圈里最佳觀賞時(shí)長(zhǎng)為360—KO*]8=12.故選:B360題組B能力提升練1.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒車(chē)的軸心。距離水面的高度為2米.設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間r（單位：s）之間的關(guān)系為d=Asin（&+e）+K（A>0,a）>0,一三則71A.K=2 B.0）- 20TOC\o"1-5"\h\zTT 40c.0=- D.盛水筒出水后到達(dá)最高點(diǎn)的最小時(shí)間為6 3【答案】ABD【解析】?..筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)L5圈，.?.7=約=40,1.52/ 7T則co————，故B?E確；40204+2+2—4振幅A為筒車(chē)的半徑，即A=4,k= =2,故A正確；2TOC\o"1-5"\h\z由題意，t=0時(shí)，d=0,：.Q=4sin<p+2,即s山°= ,'：-—<（p<—,（p=~—,故C錯(cuò)誤;2 2 6,”? （乃，萬(wàn)、Cd二4sin—t |+2,（20 6）由d=6,得6=4sin—t——+2,/.sin—t——=1,(20 6)U06)7T TT7T 40/.—t =——b2左乃，々￡2,得￡= P40億keZ.20 62 34()當(dāng)k=0時(shí)，t取最小值為三(s),故D正確.故選:ABD.2.摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光"摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)r分鐘，當(dāng)r=15時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說(shuō)法中，正確的為A.摩天輪離地面最近的距離為4米B.若旋轉(zhuǎn)/分鐘后，游客距離地面的高度為“米，則力=-60cosC.若在*J時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則乙+〃的最小值為30D.小I，z2g[0,20],使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米【答案】BC【解析】由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128—120=8米，故A不正確；TT TT JT，分鐘后，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為一t,則〃=60-60cos—r+8=-60cos—，+68,B正確；15 15 15兀 生=30〃=—60cos—，+68周期為￡ ,由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，若取最小值，15 15則％由6[0,30],又高度相等，則關(guān)于/=15對(duì)稱，則、6=15,則4+?2=30：TT TT令04—，《萬(wàn)，解得0W，K15,令乃《丁，（2萬(wàn)，解得15W『W30,則人在fe[0,15]上單調(diào)遞增，在，叩5,20]上單調(diào)遞減，當(dāng)f=15時(shí)，Amax=128,當(dāng)r=20時(shí)，h=-60cos^1x20+68=98>90,所以/i=90在，e[0,20]只有一個(gè)解；故選:BC..海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.

時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m0：005.09：002.518：005.03:007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個(gè)三角函數(shù)/（X）來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）A.f(x)=A.f(x)=2.5cos8.f(x)=2.5sinn-xC.該貨船在2：00至4：00期間可以進(jìn)港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進(jìn)港【答案】BCD【解析】依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為/（x）=Asin3x+心由已知數(shù)據(jù)求得4=2.5k=5,周期由已知數(shù)據(jù)求得4=2.5k=5,周期7=12,所以_7TT=?所以有/(x)=2.5sin選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B正確;由于船進(jìn)港水深至少要6.25,所以2.5sin+526.25,得sinTOC\o"1-5"\h\z/cd/兀 口//- /51..13兀71 \^17T又0<xV24=>0<—x<^7t,則有一<—x<——或 <—x< ,6 66 6 6 6 6從而有或13<xW17,選項(xiàng)C,D都正確.故選：BCD.長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示，江面寬度d=lkm,已知游船在靜水中的航行速度彳的大小同=10km/h,水流的速度名的大小同=4km/h，設(shè)?和1所成角為6（0<，<）），若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭8處，則下列說(shuō)法正確的是（ ）河流兩岸示意7A.當(dāng)。=一7，游船航行到達(dá)北岸的位置在3右側(cè)32B.當(dāng)。=一萬(wàn)，游船航行到達(dá)北岸的位置在3左側(cè)32C.當(dāng)cos8=—g,游船也能夠達(dá)到8處D.游船能到達(dá)8處時(shí)，需要航行時(shí)間為42【答案】BCD【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為方，4和匕的夾角為。，北岸的點(diǎn)8在A的正北方向，游船正好到達(dá)8處，則^_11，TOC\o"1-5"\h\z,有,m由 4 2..cosU=-cos（萬(wàn)一〃）=——= =—|V,| 10 5此時(shí)游船垂直江岸方向的速度v=匕sin。=2后km/h,h向 dV21.時(shí)間，=—=——h,v42所以當(dāng)cos0=-2時(shí)，游船也能夠達(dá)到8處，需要航行f=?互力，故CD正確；5 42當(dāng)。=120?時(shí)，游船水平方向的速度大小為＞3（180。-。）-匕=1m/〃，方向水平向左，故最終到達(dá)北岸時(shí)游船在5點(diǎn)的左側(cè)，故A錯(cuò)誤，B正確.故選：BCD

5.高一某通用技術(shù)學(xué)習(xí)小組計(jì)劃設(shè)計(jì)一個(gè)工藝品，該工藝品的剖面圖如圖所示，其中四邊形48CQ為等腰梯形，且AB//CD,BC=CD,ZABC=60,A8為圓。的弦，在設(shè)計(jì)過(guò)程中，他們發(fā)現(xiàn)，若圓。大小確定，0C最長(zhǎng)的時(shí)候，工藝品比較美觀，則此時(shí)圓。的半徑與8c長(zhǎng)度的比值為.【答案】V2【解析】過(guò)點(diǎn)析作OE±DC1-E，交AB干點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為G,設(shè)= OB=r,所以BF=rcosOF=rsin0,TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)?。=。￡),/48。=60,所以 =2 2所以EF=——BC=—―rcos夕，2 2 r7j^ y所以O(shè)C=Jec2+oe2=_r2cos2。+—rcos(9+rsin(9r12J=Ji+6r2sin6cos8=J，+*sin20>此時(shí)BE=此時(shí)BE=8C=rcos6=V2--r2r二￡所以此時(shí)圓。的半徑與8c長(zhǎng)度的比值為a-故答案為：y/2dec6.海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降溃M(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過(guò)ai技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y(單位：米)隨時(shí)間X(單位：小時(shí))的變化規(guī)律為y=0.8sinmx+2(06R),其中0熟k-；然后，假設(shè)某貨船空載(0時(shí)吃水深度(船底與水面的距離)為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過(guò)程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是.①若貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；6②若0=！,貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；6③若。=1,貨船于x=l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則x時(shí)，船底離海底的距離最大；27r④若0=1,貨船于x=l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則x=3-時(shí)，船底離海底的距離最大.【答案】①④【解析】①不卸貨，則吃水恒為2米，船離海底為y-2=y=0.8sin<wx=￡(x),當(dāng)/(x)20.4時(shí)，sin—x>—,則工4工6 2 66 6解得KW5,所以最多停留時(shí)間為5-1=4小時(shí)，故①正確；②立即卸貨，吃水深度4=2—0.4x,且2-0.4x20.5，

解得OMxW身，4此時(shí)船離海底力(x)=y-飽=0.8sinx+0.4x,所以力(x)在(x)=所以力(x)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=l時(shí)，力(1)=0.8>0.4,由”<xW6,y=0.8sin—x+2—0.5=0.8sin—x+1.5>1.5-0.8=0.7>0.4,4 - 6 6此段時(shí)間都可以停靠,又力(1)=。8>0.4,.?.6—1=5>4,故②錯(cuò)誤;③與④，y=O.8sin0x+2(O￡/?),%=2-0.4(x-l),(l<x<>t),2元二八(x)=0.8sinx+0.4(x-【)，力'(》)=0.885兀+0.4=0，解得*=彳，當(dāng)xw1，T時(shí)，力'(x)>0；當(dāng)X7，萬(wàn)時(shí)，力'(尤)<0，27r所以當(dāng)X=一時(shí)，船底離海底的距離最大.3故答案為：①④7.如圖某地夏天從8~14時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(gx+w)+b.(1)這一天的最大用電量為萬(wàn)度，最小用電量為一萬(wàn)度;(2)這段曲線的函數(shù)解析式為.【解析】(1)這一天的最大用電量為萬(wàn)度，最小用電量為一萬(wàn)度;(2)這段曲線的函數(shù)解析式為.【解析】由圖知，最大用電量為50,最小用電量為30,A+b=iO，所以—A+人=40A=40b=10又由圖象可得半周期為6,2zr71又x=8時(shí)，y=3。,又由圖象可得半周期為6,2zr71又x=8時(shí)，y=3。,故y=10sin71 71—X+一

6 6故答案：50,30,69= 2x671 （,1八?萬(wàn) c—,故y=10sin—X+。+4。，6 ' 16 ）TT夕=—+2k兀、keZ.64-40,xg[8,14]y=10sin+40,xg[8,14]8.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5（1）已知該港口的水深與時(shí)刻間的變化滿足函數(shù)y=Acos（5+9）+人，（人＞0,。＞0力＞0,一不＜0＜乃），畫(huà)出函數(shù)圖象，并求出函數(shù)解析式.（2）現(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.2米的間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？參考數(shù)據(jù)：6x1.7【解析】⑴【解析】⑴,一4-.6.5+2.5.__,_27r 7t由圖象可知A=2,〃= =4.5,T=12=—,69=—,2 co 6則有y=2cos（Xx+°J+4.5

71TOC\o"1-5"\h\z又因?yàn)閄=3時(shí)取最大值6.5,可得°= ,所以y=2cos^x-y^+4.5（2）貨船需要的安全水深為4+22=6.2米，所以當(dāng)》之6.2時(shí)就可以進(jìn)港.（71 71\ ,令23§17入-5卜4.5之6.2,得。/金-乙卜乜。近（62J2 2…冗_(dá)n71 71人,, “得 F2攵4K—xK—F2kjv、keZ、6 6 26即2+1224xK4+12h當(dāng)A=0時(shí)，xe[2,4]；當(dāng)左=1時(shí)，xe[14,16],所以，該船在2：00或14：00點(diǎn)可以進(jìn)入港口，在港口可以停留2個(gè)小時(shí).題組C培優(yōu)拔尖練1.如圖，正方形A5CO的長(zhǎng)為2,。為邊AO中點(diǎn)，射線OP繞點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较驈纳渚€OA旋轉(zhuǎn)至射線。。，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，記NAOP為x,射線OP掃過(guò)的正方形ABC。內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積【答案】AC為/（x）,則下列說(shuō)法正確的是（【答案】ACB./（X）在[|＞兀]上為減函數(shù)D./（X）圖象的對(duì)稱軸是X=T【解析】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)0<tanxW2時(shí)，設(shè)0尸交48于點(diǎn)E，tanx=tanZAOE-LJ-=|AE|,所以，/(x)= =tanx,0<tan?W2,二/(a)=]tana=5，A選項(xiàng)正確:對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)xe157）時(shí)，射線。尸掃過(guò)的正方形ABC。內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積顯然逐漸增加，即函數(shù)“X）在宗乃上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)說(shuō):對(duì)于C選項(xiàng)，取8c的中點(diǎn)G,連接。G,設(shè)射線0P與正方形的邊的交點(diǎn)為E.作點(diǎn)E關(guān)于直線0G的對(duì)稱點(diǎn)F，則NbO￡)=尤，所以，ZAOF=7t-x,/(x)+//(x)+/(乃-x)=4,則/4,將射線OF繞0點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)掃過(guò)正方形ABC。的面積為S，山對(duì)稱性可知S=/（%）.因?yàn)镾+/(;r-x)=4,即/(x)+/(萬(wàn)一x)=4,c選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知,所以，函數(shù)/（X）的圖象不關(guān)「『［線x='對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.2.某學(xué)校在一塊圓心角為半徑等于2km的扇形空曠地域（如圖）組織學(xué)生進(jìn)行野外生存訓(xùn)練，已知在。，A,B處分別有50名，150名，100名學(xué)生，現(xiàn)要在道路。8（包括O,8兩點(diǎn)）上設(shè)置集合地點(diǎn)P,要求所有學(xué)生沿最短路徑到p點(diǎn)集合，則所有學(xué)生行進(jìn)的最短總路程為km.【答案】150+100新【解析】連接AP，當(dāng)集合地點(diǎn)P在。處時(shí)，AP=OA，所有學(xué)生行進(jìn)的總路程為50x0+150x2+100x2=500（加）.TOC\o"1-5"\h\zJi 27r | |當(dāng)集合地點(diǎn)戶不在0處時(shí)，設(shè)NOL4=e，則一—,一一<cos6><-.3 3 2 2AP OP 2在aOBA中，由正弦定理可得［3一 .〃）一嬴萬(wàn),sin-sin U3I3 ）設(shè)所有學(xué)生行進(jìn)的總路程為y.設(shè)所有學(xué)生行進(jìn)的總路程為y.則y=500P+150"+1009lOOsin1505/32clOOsin1505/32c+———+200-sin。200sin“cK “cK 100sin3+200.sin。.小3—cos0ri。八、1—3cos0人，/八、八zrl八1

令/（。）=—； ,則“8）=—— ,令r（。）=0,得cos6=一,sin。 sin"0 3<cos^<—,<cos^<—,cos。在2 27T2%TH上單調(diào)遞減,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)一!<cosO<L時(shí)，r(8)單調(diào)遞減；2 3當(dāng)!<cos6?wL時(shí)，《6)單調(diào)遞增.3 2所以當(dāng)cos6=；時(shí)，f(6)取得最小值2夜，此時(shí)％n=150+506x2夜=(150+100?)h”.故答案為：150+100街.3.已知南北回歸線的緯度為23。26',設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為。，6為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度，。為該地的緯度值，那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是9=90°-M-a.當(dāng)?shù)叵陌肽闟取正值，冬半年b取負(fù)值，如果在北半球某地(緯度為外)的一幢高為人的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)不小于(結(jié)果用含有力和外的式子表示).【答案】％tan?+23°26)【解析】如圖：-23。-23。26'0023°26'M中。4BC設(shè)點(diǎn)A,8,C分別為太陽(yáng)直射北回歸線，赤道，南回歸線時(shí)樓頂在地面上得投射點(diǎn)，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽(yáng)直射南回歸線時(shí)的情況考慮，此時(shí)的太陽(yáng)直射緯度為-23°26',依題意兩樓的間距不小于M