第7講平面向量的線性運算r向量的相關概念實數的運算以及運算定律實放與向量相乘，平面向量定理平面向量的合成與分解一平面向量作圖題：向量和差、分解r平面向量的概念r向量的運算-利用向量證明平行或線段相等I求向量的線性組合與分解知識一、實數與向量相乘.平面向量的相關概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度(或向量的模)；(3)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6；(4)相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量;(5)互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量..平面向量的加減法則(1)幾個向量相加的多邊形法則；(2)向量減法的三角形法則；(3)向量加法的平行四邊形法則..實數與向量相乘的運算設上是一個實數，￡是向量，那么左與￡相乘所得的積是一個向量，記作上上(1)如果1工0,且〃 那么版的長度卜4卜卜胴；的方向：當2>0時44與a同方向；當時版與。反方向.(2)如果％=0或a=6,那么2〃=。..實數與向量相乘的運算律設〃7、〃為實數，則(2)(m+；m\a+b\=ma+nib.(3)I).平行向量定理如果向量6與非零向量￡平行，那么存在唯一的實數〃?，使5=〃皿..單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.設1為單位向量，則H=1.

單位向量有無數個：不同的單位向量，是指它們的方向不同.對于任意非零向量。，與它同方向的單位向量記作由實數與向量的乘積可知：a=la|a＜）,題型探究塞題型一、向量的相關概念與平面向量定理■【例1】（1）（2020年上海中考課時練習）已知非零向量入b，",下列條件中，不能判定￡〃石的是（ ）A.A.|坪；a//cfbHaB?a=-b;ii_ _a=2c，a=4c-（2021?上海九年級一模）已知向量。與非零向量?方向相同，且其模為同的2倍：向量5與。方向相TOC\o"1-5"\h\z反，且其模為同的3倍.則下列等式中成立的是（ ）尸 2r 3r 3rA.d=—b B.a=—b C.G=—B D.a=——h3 2 2（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）對于非零向量日與5,下列命題是假命題的是（ ）A.若1=5,則同=忖 b.若同=忖，則C.若d=-B,則同45| D.若同=W，則同=卜,（2019?上海）下列說法中，正確的是（ ）A.如果％=0,￡是非零向量，那么%￡=0B.如果工是單位向量，那么2=1C.如果歷|=|￡|,那么B=￡C.如果歷|=|￡|,那么B=￡或B=-渠%型二作圖題UL【例2】已知非零向量￡,求作-3a.更口題型三、向量的表示與相等向量Ub【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，EG與相交于點0.設通=2,AD=b,試用向量￡或6表示向量。￡、OF,并寫出圖中與Od相等的向量?題型四、向量的運算U［例4］填空：AB+BC=; AB+BC+CA=:AB-^BC+BA=;AE+FC+EF=AB-AC^rBC=； OA+BC-OC=【例5】計算:3(2a+5t)-2(3a-fe);^[2a+b-3c)-3^b-cL【例6】設a、B是已知向量，解關于向量］的方程22+3￡-35=6.7?1^【例7】用單位向量e表示下列向量：(1)￡與工方向相同，且長度為9；(2)區與e方向相反，且長度為5；(3)3與e方向相反，且長度為3.5震"題型五、向量的證明1L【例8】已知向量￡、6滿足史史-巴至=』(3￡+%),求證：向量￡和5平行.【例9】已知如+涕=&,2a-b=5c,其中2x6,那么向量￡與5是否平行？￡b舉一反三.下列說法中，正確的是（）A.一個向量與零相乘，乘積為零B.向量不能與無理數相乘C.非零向量乘以一個負數所得向量比原向量短D.非零向量乘以一個負數所得向量與原向量方向相反TOC\o"1-5"\h\z（2021?上海九年級專題練習）已知；工和［都是非零向量，在下列選項中，不能判定力/「的是（ ）A.a//c,b//cB-|a|=|I c-a=-3b D-a=-c,b=2c（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知1+5=41,那么了的值為（ ）A. B.2a C.3a D.4a（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）3d與2J+G的長度與方向的關系是（ ）A.長度相等，方向相同 B.長度相等，方向相反C.長度不等，方向相同 D.長度不等，方向相反（2020?上海九年級專題練習）如果向量々與單位向量。的方向相反，且長度為3,那么用向量。表示向量￡為（ ）

a=-a=-3ee=3ae=—3cl（2021?上海九年級一模）己知］、】是兩個單位向量，向量￡=3不，分=-3a，那么下列結論正確的是（A.4=￡ B.'a=-h C.H=W D.同=-忖.如圖，已知￡,求作（提示：利用三角形的重心）.3.如圖，己知點。、￡分別在AABC的邊力8、ZC上，DE//BC,AD=4,BD=7,試用向量8。表示向量..計算：(-3)x5〃= ；7(a+5)-4(a-+3a=；.在四邊形ZBC￡>中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求證：四邊形48co為梯形.知識二、向量的線性運算.向量的線性運算如果￡、行是兩個不平行的向量，x、y是實數，那么x“+該叫做公、行的線性組合.向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.如2￡+5辦、a-3b,2,+3可、-|￡+0-|0等，都是向量的線性運算..向量的合成與分解如果〃、行是兩個不平行的向量，c-ma^-nh（m、〃是實數），那么向量c就是向量相。與心的合成；也可以說向量c分解為ma、〃區兩個向量，這時，向量w與八是向量c分別在。、b方向上的分向量，ma+nb是向量［關于￡、〃的分解式.平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解.題型探究有題型-、作圖題4b【例10】已知兩個不平行的向量￡、丸求作：3a+2b,a-2b.^a-2b\.LL【例ii】已知兩個不平行的向量2、尻求作：R+B）^a-2b\.y題型二、向量的線性組合網【例12】（1）（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，O為匚ABC內一點，點D、E分別ah1Ap1在AB、AC上，且==彳；若OB=G,OC=b?求：用向量d,B表不防，AB4EC3 -（2）（2020?上海九年級一模）如圖，在梯形A3CO中，AD//BC, ,對角線AC、8。相交于點0,設而=￡,而=小試用￡、B的式子表示向量血.君1題型三、向量的分解”*【例13］如圖，已知向量。4、。月和萬、q,求作:（1）向量P分別在04、方向上的分向量;（2）向量G分別在雙、麗方向上的分向量.（2020上海九年級課時練習）如圖，在平行四邊形Z8CZ）中，E是邊ZO上一點，CE與8。相交于點O,CE與BA的延長線相交于點G,已知DE=2AE,CE=8.（1）求GE的長；（2）若=AD=S＞用￡、坂表示而；（3）在圖中畫出;3+尻（不需要寫畫法，但需要結論）Ga/-\￡ 2口O,（2021?上海九年級一模）如圖，四邊形/8CO是平行四邊形，點E是邊的中點ZC、8E相交于點O.設BA=a>CB—b■（1）試用"、B表示的；（2）在圖中作出的在誣、前上的分向量，并直接用￡、坂表示函.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論）課后作業（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列各式與3a是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2d C.2b+b D.-（5a+a）（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列說法錯誤的是（

A.如果雨A.如果雨=而，那么A與B重合B.若麗=2而，則B是OA的中點C.若。4=208,則若⑸=2麗 D.B是0A的中點則OA=2OB3.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如果點C是線段AB的中點，那么下列結論正確的是（UUUUUU ULMUUUUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0TOC\o"1-5"\h\z（2021?上海九年級專題練習）已知非零向量￡、b，且有6=_海，下列說法中，不正確的是（ ）A.|a|=2|*|；B.ab■, C.-與各方向相反；D.a+2b=0（2020?上海九年級一模）已知￡,分和2都是非零向量，下列結論中不能判定￡匚出的是（）A.a"c，bHcB.a=-c,b-2cC.a=2b D.p|=|^|（2020?上海九年級專題練習）若。=22,向量6和向量乙方向相反，且|5|=2|0,則下列結論中不正確的是（ ）1_A.\a\=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a———h（2021?上海中考真題）如圖，已知平行四邊形48C。中，而=之而=5,E為AB中點，求京+5=（ ）A.EC B.CE C.ED D.DE（2021?上海九年級二模）如圖，在匕18c中，點。、￡分別是邊8C、AC的中點，ZO和8E交于點G,設布=&，AE=b，那么向量而用向量1、5表示為（ ）ATOC\o"1-5"\h\z2-2- 22- 11- 11-A.—a+—bB.-a+—b C.—a+—b D.—a+—b3 3 3 3 2 2 2 2（2021?上海九年級一模）已知點M是線段AB的中點，那么下列結論中，正確的是（ ）.A.AM=BM B.AM=-ABC.BM D.AM+BM=O（2021?上海）以下說法錯誤的是（ ）A.如果々a=0，那么q=0；B.如果a=-2S，那么|,|=23|；-2-C.如果（5為非零向量），那么￡〃5：TOC\o"1-5"\h\z111 _?D.如果％不是與非零向量￡同方向的單位向量，那么G=|G|4.（2021?上海九年級一模）已知G是非零向量，b=-2a＞下列說法中錯誤的是（ ）A.5與G平行 B.5與日互為相反向量- f 1尸C.\b\=2\a\ D.萬=一//?（2020?上海交大附中九年級期中）下列關于向量的說法中，不正確的個數是（ ）口3g-5）-（3值-36）=0；［若同=3W,則4=—3萬;口若加、”是實數，貝匚如果非零向量5與非零向量n平行，那么存在唯一的實數，，?，使得5=楨；口如果非零向量&=法，則］與5所在的直線平行；口如果.；與「分別是1與5的單位向量,則［//%：A.2 B.3 C.4 D.5(2021?上海九年級一模)計算：42-3(￡-2今=.(2020?上海市位育初級中學九年級期中)化簡：3(a+^h)-2(a-b)=.(2021?上海九年級專題練習)已知向量々與"方向相反，長度為6,則a=g(2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習)化簡：AB+BC+CD=.AB-AD-DC=.(AB-CD)-(AC-BD)=.(2021?上海九年級專題練習)已知向量￡石，滿足關系式￡+4(B-I)=6,那么可用向量詞表示向量；(2021?上海松江區?九年級二模)如圖，已知LX8CZ),E是邊C。的中點，聯結XE并延長，與8c的延長線交于點F.設血=。,亞=B,用2,5表示AF為.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，已知DEUAC,DFCAB,BD：DC=2：5,設AB=d,BD=b.。，坂表示：CD,DF,AC,DE.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知￡、坂都是已知向量，I、區都是未知向量，且I+2a—0，4x—y+。+2b—0,無、y.（2021?上海九年級一模）如圖，在口488中，AE平分4紐），AE與5。交于點尸，AB=1.2,BC=1.8.（1）求防:。尸的值；（2）設而=￡,BC=b,求向量而（用向量入坂表示）.（2021?上海九年級一模）如圖，一個3x3的網格.其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網格點.（1）在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構成的三角形與aABC相似？請說明理由:（2）設通=a,BC=b,寫出向量而關于的分解式.（2021?上海九年級一模）如圖，已知aABC中，DE//BC,且OE經過△加C的重心點G,麗=萬，BC=b.（1）試用向量a、）表示向量屜;（2）求作向量g（3@-b）（不要求寫作法，但要指出圖中表示結論的向量）.（2021?上海）如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、BD相交于點O.E為OC的中點，連接BE并延長，交邊CD于點F,設雨=萬，BC^b.（1）填空：向量荏=;（2）填空：向量濟=,并在圖中畫出向量阱在向量放和此方向上的分向量.（注：本題結果用含向量￡、坂的式子表示，畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）（2020?上海交大附中九年級期中）如圖，點￡）、E分別在△加?C1的邊BA、C4的延長線上，且DE//BC,AE=^AC,尸為AC的中點.（1）設=>AC=b<試用士+yX的形式表示還，訪；（尤、丁為實數）（2）作出於在原、庭上的分向量.（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）

第7講平面向量的線性運算向量的相關概念實數的運算以及運算定律知識梳理—實放與向量相乘-平面向量定理平面向量的合成與分解平面向量作圖題：向量和差、分解平面向量的概念題型探究課后作業向量的運算利用向量證明平行或線段相等J求向量的線性組合與分解@知識一、實數與向量相乘.平面向量的相關概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度(或向量的模)；(3)零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作6；(4)相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；(5)互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量..平面向量的加減法則(1)幾個向量相加的多邊形法則；(2)向量減法的三角形法則；(3)向量加法的平行四邊形法則..實數與向量相乘的運算設％是一個實數，￡是向量，那么無與￡相乘所得的積是一個向量，記作&￡.⑴如果且ax。，那么ka的長度上《=陶《|小ka的方向：當人>0時Aa與a同方向；當％<0時ka與“反方向.(2)如果*=0或￡=6,那么.實數與向量相乘的運算律設機、〃為實數，則(2)(/?+n)a=ma+na；m\a-\-b\=ina+fnb.(3) 1 ).平行向量定理如果向量另與非零向量。平行，那么存在唯一的實數m,使B=/九。..單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.設工為單位向量，則R=i.單位向量有無數個；不同的單位向量，是指它們的方向不同.

對于任意非零向量與它同方向的單位向量記作由實數與向量的乘積可知：￡=|￡|￡o,a0=^a.(S題型探究題型一、向量的相關概念與平面向量定理不熊判定的人【例1】（1）（2020年上海中考課時練習）已知非零向量￡,b.c，不熊判定的B?a=-b;D?a=2c，a=4c.【答案】A【解析】A.|a|=|i|,不能判斷￡〃囚，故本選項，符合題意B.：=」＞, a//b＜故本選項，不符合題意；alH，blU，a//b，故本選項，不符合題意：a=2c?a=4c，aHb故本選項,不符合題意；故選：A.（2021?上海九年級一模）已知向量M與非零向量0方向相同，且其模為同的2倍:TOC\o"1-5"\h\z反，且其模為同的3倍.則下列等式中成立的是（ ）2r 2- 3- 3-A.a=—b B.a=—b C.a=—b D.a=b3 3 2 2【答案】B【解析】解：由題意可知：a=2e,b=-iere=b3ra=2e=h故選：B.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）對于非零向量々與5,下列命題是假命題的是（ ）A.若&=B，則同=|同 B.若同=忖，則］=弓c.若一=￡則同+同 D.若同=W，則同=圍【答案】B【解析】解：根據向量的概念，知：A、C、D正確；B、兩個向量的長度相等，但兩個向量不一定方向相等，故錯誤.故選：B.（2019?上海）下列說法中，正確的是（ ）A.如果k=0,￡是非零向量，那么左￡=0B.如果工是單位向量，那么"=1C.如果=那么另=°或3=-°D.已知非零向量如果向量-5a，那么ab【答案】D【解析】解：4、如果k=0,a是非零向量，那么4a=0,錯誤，應該是Ra=0.B、如果e是單位向量，那么e=l,錯誤.應該是H=LC、如果=那么^=“或坂=-〃，錯誤.模相等的向量，不一定平行.D、已知非零向量￡,如果向量B=-5￡,那么￡b.正確.故選：D.y題型二、作圖題H【例2】已知非零向量￡,求作工￡,-3a.5【答案】圖見解析.__ 7 -.7一【解析】在平面內任取一點4做AB=a，在射線力b上,取A。=—ABijji]AC--a.在射線AB的反向延長線上，取%>=3AB，則BD=-3a..^^題型三、向量的表示與相等向量Mb【例3】如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F、G、H分別為各邊的中點，EG與/相交于點O.設A月=￡,AD^b,試用向量￡或坂表示向量礪、OF,并寫出圖中與礪相等的向量.【答案】應=」￡；而=-U,Mod相等的向量有的;而：麗；麗;而.2 2

【解析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，E、F,G、H分別是各邊中點，所以利用平行四邊形的判定定理可知圖中的四個小四邊形都是平行四邊形，所以礪=」衣=」日而=」而=-射，與。G相等的2 2 2 2向量有的；作；F月；DH；Hd五個.更與題型四、向量的運算U1【例4】填空：AB+BC=； AB+BC+CA=；AB+BC+BA=； AE+FC+EF=;AB-AC+BC=； OA+BC-OC=.【答案】AC；0；BC:A.C；6；BA.【解析】此題主要考查向量的加減法則，另外，力0減法則之間可以轉換，比如4月-4。=圍是利用減法法則，箭頭指向被減數，同時荏-衣=福+9=國+麗=。,這樣運算復雜了，但也是一種思路.匕［例5］計算：(1)仿一羽一九；I2)2(2)3(2a+5&)-2(3a-&)；(3)妒+石一34f一1-3- - -f3r【答案】(I)--a--b；(2)17b；(3)a-b+-c.2 2 2【解析】⑴(”|小|~-|方一1 【解析】⑴(”|小|~-|方a=--a--b；3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+15b-6a+2b=nb^—(2a+Z>-3c)-3|—b-c\=a+—b-—c-—h^3c=a-b+—c?TOC\o"1-5"\h\z2V71.2J2 2 2 24>【例6】設￡、A是已知向量，解關于向量3的方程2"+3￡-3B=6.7【答案】c=-b--a.7 2【解析】解：2c+3a--fe=0,2c=-b-3a,c=-b--a.7 7 7 2網【例7】用單位向量)表示下列向量：(1)。與e方向相同，且長度為9；(2)6與e方向相反，且長度為5；(3)"與"方向相反，且長度為5【答案】a=9e；b=-5e；c=——e.5［解析］此題上要寫杳用中.位向量)來表示一知向量,￡=9］④=-5"；2=-.無"題型五、向量的證明【例8】已知向量入B滿足土詈-呼=g(3l+涕)，求證：向量￡和五平行.【答案】證明見解析【解析】--4=幻￡+4)去分母：2(￡+3&-5(￡-6=2(3￡+潺)去括號：2a+6h-5a+5h=6a+4h移項合并得：lb=9a系數化1：b-—a7所以，向量￡和囚平行.L【例9】已知3￡+25=4i,2a-b=5c,其中"x。，那么向量￡與5是否平行？【答案】平行.’——（"__3/7+2力=4-c a-26 ————【解析】聯立方程組：] ,解得：，根據實數與向量相乘的意義，可知a||c*||c,2a-b=5c [b=-c所以，向量:與日平行./舉一反三.下列說法中，正確的是（ ）A.一個向量與零相乘，乘積為零B.向量不能與無理數相乘C.非零向量乘以一個負數所得向量比原向量短D.非零向量乘以一個負數所得向量與原向量方向相反【答案】D【解析】1選項向量與零相乘，結果是零向量；B選項向量可以與任何實數相乘；C選項非零向量乘以一個負數，方向與原向量相反，長度不確定.2.（2021?上海九年級專題練習）已知；工和:都是非零向量，在下列選項中，不能判定力/1的是（ ）->]->―?―>a//c,^//cB.|a|=|ftI c-a=-3b D-a=-c,b=2c【答案】B【解析】解：A、1//> 力八，故本選項不合題意；的模相等，但不一定平行，故本選項符合題意；a=-3b' a//b'故本選項不合題意；TOC\o"1-5"\h\z―?1—?—> —?a=-cyb=2c, 2//b9故本選項不合題意.故選：B.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知萬+5=4萬，那么了的值為（ ）A. B.2a C.3a D.4a【答案】C【解析】解：a+h=4J?fTTTh=4a-a=3a；故選：c.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）31與25+萬的長度與方向的關系是（ ）A.長度相等，方向相同 B.長度相等，方向相反C.長度不等，方向相同 D.長度不等，方向相反【答案】A【解析】-：2d+a=?>a，3G相等向量長度相等，方向相同故選：A（2020?上海九年級專題練習）如果向量公與單位向量；的方向相反，且長度為3,那么用向量）表示向量￡A.a=3e B.a=-3e C.e=3a D.e=-3a【答案】B【解析】解：向量G為單位向量，向量2與向量？方向相反，a=-3e.故選：B..（2021?上海九年級一模）已知錄、晟是兩個單位向量，向量￡=3不，萬=-耳，那么下列結論正確的是（）A.4=鼻 B.a=-b C.卜|=1|D.|a=T耳【答案】C【解析】解：I、晟是兩個單位向量，方向不?定相同，［4與己不?定相等，選項A錯誤；q、S是兩個單位向量，方向不?定相同，￡與-5不一定相等，選項B錯誤；I*U* rit rrp/|=|3e）|=3,|/?|=|-3e2|=3, |a|=|h|,選項C正確，選項D錯誤；故選：C.如圖，已知￡,求作（提示：利用三角形的重心）.3【答案】圖見解析.【解析】作亂=￡,過點。作線段8C,使得。是3C中點，聯結彳5、AC.取/C中點，則40、5E分別是三角形Z6C的中線，根據三角形重心的性質可知：礪=-！￡為所求作向量.3.如圖，已知點。、E分別在A48c的邊/8、ZC上，DE//BC,AD=4,80=7,試用向量方表示向量詼.AAAD_4法一AD_4法一7T'DEAD = BCAB【解析】AD=4,BD=1,又DEIIBC.-.4-.DE=—BC.11TOC\o"1-5"\h\z9.計算：(-3)x5—= ；7(a+b)-4(a-b)+3a=\o"CurrentDocument"g(a+B)-：(“-〃)= ---一1-5一【答案】-15。；6〃+1區；—a+—6 6【解析】(1)(-3)x53=75九7(〃+-4(。-勾+3a=7a+75-4?+4〃+3a=6a+1區;—(a+b\——(a—b\=—a+—b——a+—b=—a+—b.2V'3V72 2 3 3 6 610.在四邊形48C。中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求證：四邊形48co為梯形.【答案】證明過程見解析.【解析】Ab=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b,BC=-4a-b,AD=2(-Aa-b)=2BC,AD//BC.四邊形X8C。是梯形.@知識二、向量的線性運算.向量的線性運算如果。、方是兩個不平行的向量，x、y是實數，那么x0+仍叫做￡、辦的線性組合.向量加法、減法、實數與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.如2￡+5$、a-3b,2,+34、等，都是向量的線性運算..向量的合成與分解如果〃、6是兩個不平行的向量，c=ma+nb(m、n是實數)，那么向量c就是向量加。與〃〃的合成；也可以說向量c分解為〃7a、nb兩個向量，這時，向量ma與〃方是向量c分別在。、b方向上的分向量，ma4-nb是向量"關于￡、B的分解式.平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解.

題型探究【答案】圖像見解析【答案】圖像見解析已知兩個不平行的向量題型探究【答案】圖像見解析【答案】圖像見解析已知兩個不平行的向量4、〃.求作如圖，在平面內取一點。，作QA=—08=3b;再作AB已知兩個不平行的向量￡、人求作：3￡+2員為鄰邊，作平行四邊形OCE。，則。舌=3￡+%題型二、向量的線性組合4【例12】（1）（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，O為二ABC內一點，點D、E分別An1 1在AB、AC上，且=彳；若OB=G,OC=b>求：用向量M，5表示/）%.AB4EC3 —[f]一【答案】DE=4Z，-4°【解析】解：當=；，歙=：AB4EC3ADAE1——=——=—ABAC4□DEBCDEAD1 = =—BCAB4BC^b-a_.1->1-?DE=力一不；4 4（3）（2020?上海九年級一模）如圖，在梯形ABC。中，ADIIBC,8C=2A￡）,對角線AC、8。相交于點O,設而=￡,而=3.試用￡、B的式子表示向量4。.c<

i_2【答案】AO=-b+-a【解析】ADUBC,BC=2ADAO1ort4x-k14c =—即AO=—ACAC3 3?：AD=a，BC與而同向，BC=2a-AC=AB+BC=b+2aW題型三、向量的分解瓦【例13］如圖，已知向量。4、和方、q,求作:（1）向量方分別在麗、而方向上的分向量;（2）向量&分別在。4、O行方向上的分向量.【答案】（1）仇102是向量方分別在麗、麗方向上的分向量.（2）oC、o廠是向量G分別在厲、o月方向上的分向量.【解析】(1)作向量而=萬；再過點P分別作PE//OA,PD//OB,E為直線PE與直線08的交點，。為直線PC與直線0A的交點.作向量而、則。方、說是向量萬分別在麗、麗方向上的分向量.(2)作麗=，;再過點。分別作。以。4,QG//0B,尸為直線Q尸與直線。8的交點，G為直線QG與直線04的交點.作向量尸.則OG.OF是向量q分別在C4、OB方向卜.的分向量.?3舉一反三1.(2020上海九年級課時練習)如圖，在平行四邊形188中，E是邊4。上一點，CE與BD相交于點、O,CE與BA的延長線相交于點G,已知DE=2AE,CE=8.(1)求GE的長；(2)若=AD=fe?用￡、坂表示而；(3)在圖中畫出;。+尻(不需要寫畫法，但需要結論) 3a【答案】⑴GE=4；(2)OB=-a-^-b-(3)而即為所求，作圖見解析【解析】(1)匚四邊形48co是平行四邊形，AD=BC,ADJBCf：,aGAEsaGBC、\JDE=2AE,GEAE1GC-BC-3CE=8,GE1 =-GE+83□GE=4.經檢驗：GE=4符合題意.(2)BD=BA^AD=b-a，DEBC,DE=2AE,：.aDOEsaBOC,DEOD2正一麗—5TOC\o"1-5"\h\zOBOB3 = =—BDOD+OB5OB^--Cb-a\=a-b；5、 15 5(3)如圖，延長。到H,使得￡W=/G,連接47.B C匚力EBC,/.△AG￡°°a^GC,GAAE1 = -—GBBC3GAGA1 — _—ABGB-GA2

DH=AG=-BA=-a2 2—a+b=AD+DH=AH2而即為所求.2.(2021?上海九年級一模)如圖，四邊形/8CO是平行四邊形，點￡是邊4。的中點相交于點O.設BA=a>CB=h-(1)試用工、石表示的；(2)在圖中作出而在無、而上的分向量，并直接用￡、B表示麗.(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結論) 2_]_ 7-2_【答案】(1)BO=-a-—b；(2)見解析，CO=—b+—a【解析】解(1)AD//BCOEAE1Li==—BOBC22BO=—BE3BO=-BE=-(BA+AE)=-(a--b]=-a--b.,3 3 31 2J3 3(2)[AEDBC,AOAE1 - ——?COCB2CO=-CA,3

國=沁洛+孫灑￡）=*+]如圖所示，cdcb.而上的分向量分別為《取和麗.課后作業（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列各式與叼是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2a C.2b+b D.-（5a+a）【答案】D【解析】解：A選項4萬+2萬=6萬，不符合題意；B選項= ,不符合題意；C選項25+5=35;不符合題意；.1 ——1TTD選項5（5。+。）=萬-6a=3。，符合題意.故選：D.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列說法錯誤的是（ ）A.如果西=麗，那么A與B重合B.若麗=2麗，則B是OA的中點C.若04=208,則若麗=2麗 D.B是OA的中點則OA=2OB【答案】C【解析】因為麗=而且方向相同，所以A與B重合，此選項正確;B、因為西=2而且方向相同，所以B是OA的中點，此選項正確，C、因為04=208,但方向不明確，所以礪=2而或礪=-2而，此選項錯誤；D、因為B是OA的中點,所以OA=2OB，此選項止確，符合題意的選項是C,故選：C.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如果點C是線段AB的中點，那么下列結論正確的是（ ）IUUUUU HimLMJUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0【答案】C【解析】解：由題意，□點C是線段AB的中點，國=|網就與南為相反向量，ac+bc=6；故選：C.（2021?上海九年級專題練習）已知非零向量￡、b，且有￡=-25,下列說法中，不正確的是（ ）|￡|=2歷］；B.?□*； C.￡與各方向相反；D.a+2b=0-【答案】D【解析】5=-2b,表明向量?與-2l是同一方向上相同的向量，自然模也相等、|￡|=2仍|,該選項不符合題意錯誤：￡=-涕，表明向量―與-2分是同一方向上相同的向量，那么它們是相互平行的，雖然-25與占方向相反,但還是相互平行，aB，該選項不符合題意錯誤；a=-2b,而-2B與5方向相反，￡與B的方向相反，該選項不符合題意錯誤；0只表示數量，不表示方向，而￡+*是兩個矢量相加是帶方向的，應該是該選項符合題>X.1/—V意正確；故選：D（2020?上海九年級一模）已知心B和2都是非零向量，下列結論中不能判定￡□另的是（）alleybileB.a=^c,b-2cC.a=2b D.卜卜卜|【答案】D【解析】解：A.a〃c，A〃c，ab?故本選項錯誤；a=^c,b=2cab?故本選項錯誤.￡=%,a 故本選項錯誤；|a|=|J|,￡與加的模相等，但不一定平行，故本選項正確；故選：D.（2020?上海九年級專題練習）若。=2?,向量5和向量4方向相反，且|5|=2|團，則下列結論中不正確的是（ ）A.|a|=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a=【答案】C【解析】/、由a=2e推知冏=2,故本選項不符合題意.從由萬=4?推知|5|=4,故本選項不符合題意.C、依題意得：b=-4e,故本選項符合題意.。、依題意得：a=-^b,故本選項不符合題意.故選C.CA=BD.???平行四邊形A8CO是矩形.故選：A.（2021?上海中考真題）如圖，已知平行四邊形ZBCZ）中，AB=a,AD=b,￡為43中點，求3萬+5=（A.EC B.CE C.ED D.DE【答案】A【解析】四邊形/8C3是平行四邊形，￡為A8中點，-a+b=-AB+BC=EB+BC=EC2 2故選A.（2021?上海九年級二模）如圖，在/8C中，點。、E分別是邊8。、NC的中點，4）和8E交于點G,設A/i=6,AE=b,那么向量而用向量1、5表示為（ ）33 3 3 2 2 2 2【答案】A【解析】解：AB^a,AE=h,BE=BA+AE=-a+b,AD,8E是力8c的中線,匚G是〃BC的重心，BG=-BE,3― 2-2-而:一鏟+/故選才.（2021,上海九年級一模）已知點M是線段A8的中點，那么下列結論中，正確的是（A.AM=BM B.=c.bm=\ab d.am+bm=o2【答案】B【解析】解：A、AM=MB，故本選項錯誤;—.1—tB、AM=-AB,故本選項正確；C、BM=^BA,故本選項錯誤；D、AM+BM=O,,故本選項錯誤. ——'B10.（2021?上海）以下說法錯誤的是（ ）A.如果ka=C，那么a=0；B.如果&=-正，那么|叫=2歷|；-2-C.如果a= （5為非零向量），那么a〃5;in __D.如果他不是與非零向量a同方向的單位向量，那么G=|西/.【答案】A【解析】A、如果&￡=。，那么2x0,故該項錯誤，B、如果a=-必，那么|闔=2出|,故該項正確;-2-C、如果a= （5為非零向量），那么故該項正確；UU _,D,如果％不是與非零向量3同方向的單位向量，那么萬故該項正確；故選；A.（2021?上海九年級一模）已知不是非零向量，h=-2a＞下列說法中錯誤的是（A.8與1A.8與1平行_]-\b\=2\a\ D.a=--b【答案】B【解析】解：A.因為力=-2』（a#0）,則8與G平行，故此結論正確；B.若兩個向量方向相反，大小相等，則為相反向量，故此結論錯誤；C.因為。=-2「，則1=21切結論正確；5=—兩邊同除以2，則萬=-56,故此結論止確.故答案為：B.（2020?上海交大附中九年級期中）下列關于向量的說法中，不正確的個數是（ ）口3（1-5）-（36-38）=0；「若同=3同，則@=-36；口若加、”是實數，則m（位）=（mn）萬；「如果非零向量5與非零向量不平行，那么存在唯一的實數”?，使得5=3;口如果非零向量2=蕨，則G與5所在的直線平行：口如果°：與風分別是儀與區的單位向量,則3〃bHA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】3（6M）-（3"35）=3僅一5）-3（"5）=0,該選項正確；若同=3忖，向量既有大小,也有方向，故不確定，恢選項錯誤:若"?、"是實數,則聞戒)=(m)方,該選項正確:匚如果非零向量5與非零向量1平行，那么存在唯一的實數加，使得萬=楨，該選項正確；如果非零向量d=.，可得了、5方向相同，則1與5所在的直線平行，該選項正確；如果。與5不平行，則［與E也不平行，該選項錯誤.綜上，正確，共4個.故選：C.(2021?上海九年級一模)計算：4a-3(a-2b)=.【答案】a+6b［解析］解：45-3(a-2fe)=4a-3a+6b=a+6B故答案為：。+65.(2020?上海市位育初級中學九年級期中)化簡：3(a+^b)-2(a-b)=.7T【答案】d+3b【解析】解：3(a+-b)-2(a-b)=3a^—h-21+25=(3-2)1+(yH-2)8=1+51故答案是：萬+］5.(2021?上海九年級專題練習)已知向量￡與2方向相反，長度為6,則。=e【答案】-6【解析】向量￡與"方向相反，長度為6,a=—6e，故填：6.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）化簡：（1）AB+BC+CD=?（2）AB-AD-DC^.⑶（AB-CD）-（AC-BD）=.【答案】AD CB6【解析】解：⑴通+1+函=玩+函=而；UL1UL1UU1LlUUlllHUHUUULIAB-AD-DC=DB-DC=CB>（AB-CD）-（AC-BD）=AB+W-CD-AC=AD+DC+CA=6:故答案為：AD;CB;6.（2021?上海九年級專題練習）已知向量￡出，滿足關系式％+4缶-2）=0,那么可用向量3石表示向量；【答案】—+b4【解析】解：3^+4（b-x）=0,3a+45=4*故答案是：京.（2021?上海松江區?九年級二模）如圖，己知口/BCQ,E是邊CQ的中點，聯結力E并延長，與8C的延長線交于點尸.設A3=a,AD=B,用。,5表示而為【答案】a+2b【解析】解：在工8c。中，CDUAC.E是邊C。的中點，CE是48F的中位線，CBC=CF.在四邊形48co中，4D=BC,而=5，則而工2冊=2歷=25.AB=a,AF=AB+BF=a+2b-故答案是：a+2b.（2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，已知DE匚「AC,DF二AB,BD：DC=2：5,設AB=a,BD=b.a,B表示:CD,DF,AC,DE.- 5 . 5 ___7 , ?【答案】CD=~b；DF=-ya；AC=-b-DE=~a-b【解析】DBD：DC=2：5,CD=--BD=--h9BD：BC=2：7,CD：BC=5：7,2 2□DFAB,DFCD5 - ——?ABBC7―- 5—?5-DF=——AB=一一a,7 7□BD：BC=2：7,—?7—BC=-b,2 7AC=AB+BC=a+-ft,2□DE//AC,DEBD2 ==一，ACBC7—? 2—2-7- 2DE=——AC=——(a+-b)=——a-h.7 7 2 7(2020?上海市靜安區實驗中學九年級課時練習)已知￡、B都是已知向量，1、》都是未知向量，且1+2a=6?4X-y+d+26=0,求1、y.【答案】x=-2a;y=-la^2h【解析】解：x+2a=6?x=-2a;

一8萬一y+萬+2》=。，y=-754-2b；(2021?上海九年級一模)如圖，在oA8co中，AE平分NE4D,AE與BD交于點F,AB=1.2,BC=1.8.(1)求班戶的值；(2)iSAB=a?BC~b，求向量。尸(用向量。、坂表不).AT 9【答案】（1）8尸:。尸=2：3,（2）DF=^a-^b.【解析】（I）在oABCD中，口BCAD\J\JBEA^LDAEf又口】BFE=UDFA,口ABFE匚ADE4,BEBF = *ADDF又AE平分NMD,n\-BAE=DAE,AB=BE,BE_AB~AD~~AD

又AB=1.2,AO=BC=1.8.BFAB1.22AD-L8-3BF:DF=2：3UBF:DF=2：3DF=-DB5DF^^DB=-(AB-AD)BCAD,BC=AD,而=￡,BC=b,AD=BC=b—3-_ 3-3-DF=-(a-b)=-a--b.5 5 5(2021?上海九年級一模)如圖，一個3x3的網格.其中點A、B、C、D、M、N、P、Q均為網格點.(1)在點M、N、P、Q中，哪個點和點A、B所構成的三角形與aABC相似？請說明理由;(2)設前=a,BC=b,寫出向量而關于￡石的分解式.【答案】(1)點N和點A、B所構成的三月形與aABC相似，理由見解析；(2)25-3/；【解析】解：(1)點N和點A、B所構成的三角形與aABC相似，理由如下：設網格中小正方形的邊長為則BC=a,AB=7a2+a2=V2a-AC=業+(2a丫=島，其中BC<AB<AC如下圖所示，連