15/152022-2023學年高一上數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數y＝sin（2x）的單調增區間是（）A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）2．若關于的不等式在恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知，，函數的零點為c，則（）A.c＜a＜b B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c4．已知，則三者的大小關系是A. B.C. D.5．已知集合，則（）A.0或1 B.C. D.或6．已知集合，，，則（）A.{6，8} B.{2，3，6，8}C.{2} D.{2，6，8}7．已知函數，且函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.8．若向量，，滿足，則A.1 B.2C.3 D.49．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A. B.-C.2 D.10．已知，，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知長方體的8個頂點都在球的球面上，若，，，則球的表面積為___________.12．已知定義在上的函數滿足，且當時，.若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是______13．若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于1，則半徑R的取值范圍是_____14．棱長為2個單位長度的正方體中，以為坐標原點，以，，分別為，，軸，則與的交點的坐標為__________15．一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.16．某學校在校學生有2000人，為了增強學生的體質，學校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為a，b，c，且，全校參加登山的人數占總人數的.為了了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一個容量為200的樣本進行調查，則應從高三年級參加跑步的學生中抽取人數為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，且.（1）求函數的定義域，并判斷函數的奇偶性.（2）求滿足的實數x的取值范圍.18．如圖，某市準備在道路的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數，時的圖象，且圖象的最高點為，賽道的中部分為長千米的直線跑道，且，賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧（1）求的值和的大小；（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路上，一個頂點在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求當“矩形草坪”的面積取最大值時的值19．已知定義在R上的函數滿足：①對任意實數x，y，都有；②對任意（1）求；（2）判斷并證明函數的奇偶性；（3）若，直接寫出的所有零點（不需要證明）20．已知全集，集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實數的取值范圍.21．如圖，是正方形，直線底面，，是的中點.（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】先將自變量的系數變為正數，再由三角函數的單調性得出自變量所滿足的不等式，求解即可得出所要的單調遞增區間【詳解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）令，k∈Z解得，k∈Z函數的遞增區間是，]（k∈Z）故選D【點睛】本題考查正弦函數的單調性，求解本題的關鍵有二，一是將自變量的系數為為正，二是根據正弦函數的單調性得出相位滿足的取值范圍，解題時不要忘記引入的參數的取值范圍即k∈Z2、A【解析】轉化為當時，函數的圖象不在的圖象的上方，根據圖象列式可解得結果.【詳解】由題意知關于的不等式在恒成立，所以當時，函數的圖象不在的圖象的上方，由圖可知，解得.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用函數的圖象與函數的圖象求解是解題關鍵.3、B【解析】由函數零點存在定理可得，又，，從而即可得答案.【詳解】解：因為在上單調遞減，且，，所以的零點所在區間為，即．又因為，，所以a＜c＜b故選：B.4、A【解析】因為<，所以,選A.5、D【解析】由集合的概念可知方程只有一個解，且解為，分為二次項系數為0和不為0兩種情形，即可得結果.【詳解】因為為單元素集，所以方程只有一個解，且解為，當時，，此時；當時，，即，此時，故選：D.6、A【解析】由已知，先有集合和集合求解出，再根據集合求解出即可.【詳解】因為，，所以，又因為，所以.故選：A.7、A【解析】函數恰有三個不同的零點等價于與有三個交點，再分別畫出和的圖像，通過觀察圖像得出a的范圍.【詳解】解：方程所以函數恰有三個不同的零點等價于與有三個交點記，畫出函數簡圖如下畫出函數如圖中過原點虛線l，平移l要保證圖像有三個交點，向上最多平移到l’位置，向下平移一直會有三個交點，所以，即故選A.【點睛】本題考查了函數的零點問題，解決函數零點問題常轉化為兩函數交點問題8、A【解析】根據向量的坐標運算，求得，再根據向量的數量積的坐標運算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，則向量，所以，解得，故選A.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算，及向量的數量積的坐標運算的應用，其中解答中熟記向量的數量積的坐標運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9、A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角【詳解】解：如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角設，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角10、C【解析】由已知可得，故選C考點：集合的基本運算二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求得長方體外接球的半徑，從而求得球的表面積.【詳解】由題知，球O的半徑為，則球O的表面積為故答案為：12、【解析】根據題意求出函數和圖像，畫出圖像根據圖像解題即可.【詳解】因為滿足，即；又由，可得，因為當時，所以當時，，所以，即；所以當時，，所以，即；根據解析式畫出函數部分圖像如下所示；因為對任意，恒成立，根據圖像當時，函數與圖像交于點，即的橫坐標即為的最大值才能符合題意，所以，解得，所以實數的取值范圍是：.故答案為：.13、【解析】根據題意分析出直線與圓的位置關系,再求半徑的范圍.【詳解】圓心到直線的距離為2，又圓（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且僅有兩個點到直線4x+3y＝11的距離等于1，滿足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3故半徑R的取值范圍是1＜R＜3（畫圖）故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,考查數形結合的思想,屬于中檔題.14、【解析】設即的坐標為15、【解析】根據反射光線的性質，確定反射光線上的兩個點的坐標，最后確定直線的一般式方程.【詳解】因為一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，所以點A關于直線對稱點為，根據對稱性可知，反射光線所在直線過點，又因為反射光線所在直線又過點，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.16、【解析】由題意求得樣本中抽取的高三的人數為人進而求得樣本中高三年級參加登山的人，即可求解.【詳解】由題意，高一、高二、高三年級參加跑步的人數分別為a，b，c，且，所以樣本中抽取的高三的人數為人，又因為全校參加登山的人數占總人數的，所以樣本中高三年級參加登山的人數為，所以樣本中高三年級參加跑步的人數為人.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）定義域為，奇函數；（2）當時的取值范圍是；當時的取值范圍是【解析】（1）根據題意，先求出函數的定義域，進而結合函數的解析式可得，即可得結論；（2）根據題意，即，分與兩種情況討論可得的取值范圍，綜合即可得答案詳解】解：（1）根據題意，，則有，解可得，則函數的定義域為，又由，則是奇函數；（2）由得①當時，，解得；②當時，，解得；當時的取值范圍是；當時的取值范圍是【點睛】本題考查函數的單調性與奇偶性的應用，注意判斷奇偶性要先求出函數的定義域，屬于中檔題18、（1），；（2）.【解析】（1）由題意可得，故，從而可得曲線段的解析式為，令x=0可得，根據，得,因此（2）結合題意可得當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，由條件可得“矩形草坪”的面積為，然后根據的范圍可得當時，取得最大值試題解析：(1)由條件得.∴.∴曲線段的解析式為.當時，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知當“矩形草坪”的面積最大時，點在弧上，故.設,,“矩形草坪”的面積為.∵，∴,故當，即時，取得最大值19、（1）（2）為偶函數，證明見解析（3）【解析】（1）令，化簡可求出，（2）令，則，化簡后結合函數奇偶性的定義判斷即可，（3）利用賦值求解即可【小問1詳解】令，則，，得或，因對任意，所以【小問2詳解】為偶函數證明：令，則，得，所以為偶函數【小問3詳解】令，則，因為，所以，當時，，當時，，當時，，當時，，……，所以即當時，，所以函數的零點為20、（1）（2）【解析】（1）求出集合，利用補集和交集的定義可求得；（2）分析可知且，可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【小問1詳解】解：當時，，則或，，因此，.【小問2詳解】解：因為“”是“”必要不充分條件，于是得且，所以，，解得.所以實數的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）；【解析】