第六章

IIR濾波器的設(shè)計第六章

IIR濾波器的設(shè)計1主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程了解利用頻帶變換法設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的方法主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：6.1引言數(shù)字濾波器： 是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能a）時域說明（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HP2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BRFLP實現(xiàn)的BRF3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計三個步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；(3)用有限精度的運算實現(xiàn)；實現(xiàn)可以采用通用計算機，也可以采用DSP。4、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計三個步驟:5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應：為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應： ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近 ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應相位響應相位響應：相位響應相位響應：群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計算機輔助設(shè)計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應：6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI模：相角：模：相角：當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po則：令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)n<0時，h(n)=0相位延時系統(tǒng)全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

全部極點在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時，h(n)=0逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)： 2）全部零點在最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點：一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：的根N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：全通系統(tǒng)的應用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為單位圓外的一對共軛零點全通系統(tǒng)的應用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點。而幅度響應不變：P231圖6－6把H(z)單位圓外的零點：而幅度響應不變：2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點：2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù)3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度6.4用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0 映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<16.4用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s設(shè)計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法設(shè)計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換6.5沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)T—抽樣周期)()(nTxnxa=)()(nTynya=)()(nThnha=)(txa)(tya)(tha6.5沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h設(shè)則：設(shè)則：從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為2p/T只有當模擬濾波器的頻率響應是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在|W|>Ws/2處衰減越快，失真越小當濾波器的設(shè)計指標以數(shù)字域頻率wc給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在當濾波器的二、模擬濾波器的數(shù)字化二、模擬濾波器的數(shù)字化系數(shù)相同：極點：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面 z平面系數(shù)相同：極點：s平面當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則試用沖激響應不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系：w=WT 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t)時域逼近良好沖激響應不變法的優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系：w=WT頻率響應混迭h(n)完全模6.6階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)

模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t)

T—抽樣周期6.6階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設(shè)計對應3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應不變法來設(shè)計。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得6.7雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似6.7雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿一、變換原理及特點脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響應交疊。改進思路：先將s域平面壓縮到一個中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。一、變換原理及特點脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關(guān)系，引入系數(shù)c為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關(guān)系，引入2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關(guān)系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置二、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關(guān)系：特三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi) s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面缺點：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變?nèi)秉c：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波預畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器預畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計模擬濾波五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標，設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成模擬1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸Ha(s)將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點分布1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設(shè)增益常數(shù)為K0例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設(shè)增1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設(shè)計幅度平方函數(shù)：當稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬1）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當W＝Wst（阻帶截止頻率）時，衰減的d1為阻帶最小衰減1）幅度函數(shù)特點：Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點極點間的角度間隔為極點不落在虛軸上N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點Ha(s)Ha(-s)的零極點分布(a)N=4(三階）(b)N=4（四階）極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計步驟：根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標：由得：同理：令則：4）濾波器的設(shè)計步驟：根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標Wc給出或由下式求出： 其中極點：去歸一化阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標Wc給例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標：選T=1s例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于a）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器a）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterwort用沖激響應不變法設(shè)計出的Butterworth濾波器用沖激響應不變法設(shè)計出的Butterworth濾波器2、用雙線性變換法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標：2、用雙線性變換法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）考慮預a）確定參數(shù) 用阻帶技術(shù)指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器a）確定參數(shù) 用阻帶技術(shù)指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2）切貝雪夫濾波器（Chebyshev）N：濾波器的階數(shù)Wc：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項式TypeIChebyshev2）切貝雪夫濾波器（Chebyshev）N：濾波器的階N為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內(nèi)：在1和間等波紋起伏通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內(nèi)：在Chebyshev濾波器的三個參量：Wc：通帶截止頻率，給定

e：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高Ws為阻帶截止頻率Chebyshev濾波器的三個參量：Wc：通帶截止頻率，給TypeIIChebyshevfilter通帶內(nèi)：單調(diào)特性阻帶內(nèi)：等波紋起伏TypeIIChebyshevfilter通帶內(nèi)：單調(diào)例：用雙線性變換法設(shè)計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標：例：用雙線性變換法設(shè)計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求a）確定參數(shù)3）設(shè)計Chebyshev模擬低通濾波器a）確定參數(shù)3）設(shè)計Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點b)求左半平面極點c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：c’)去歸一化b’)由N=4，直接4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：設(shè)計的四階Chebyshev濾波器4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器橢圓濾波器(Ellipticfilter)帶內(nèi)均勻波動最快的滾降橢圓濾波器(Ellipticfilter)帶內(nèi)均勻波動貝塞爾濾波器（Bessel）*最大相位平坦特性貝塞爾濾波器（Bessel）*最大相位平坦特性小結(jié)：利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：沖激響應不變法雙線性變換法小結(jié)：利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟將數(shù)字濾波器的按模擬濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器沖激響應不變法雙線性變換法按模擬濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器Butterwort6.9設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻帶變換雙線性變換歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字域頻帶變換或雙線性變換沖激響應不變法6.9設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法歸一化模擬低通、數(shù)字低通數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1第六章

IIR濾波器的設(shè)計第六章

IIR濾波器的設(shè)計105主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念了解最小相位延時系統(tǒng)理解全通系統(tǒng)的特點及應用掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程了解利用頻帶變換法設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的方法主要內(nèi)容理解數(shù)字濾波器的基本概念6.1引言數(shù)字濾波器：

是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點：6.1引言數(shù)字濾波器： 是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明1、濾波器的基本概念（1）濾波器的功能a）時域說明（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：（2）四種基本的濾波器四種基本濾波器為（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通高通帶通帶阻（3）四種基本濾波器的數(shù)字表示低通2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HP2、LP到其他濾波器的變換由LP實現(xiàn)的HPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BPLP實現(xiàn)的BRFLP實現(xiàn)的BRF3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱為濾波器的帶寬（3dB帶寬）3、濾波器的性能指標帶寬：當幅度降低到0.707時的寬度稱通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過的頻帶為阻帶，通帶與阻帶之間為過渡帶。通帶、阻帶與過渡帶：信號允許通過的頻帶為通帶，完全不允許通過滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。滾降與滾降率：濾波器幅頻特性在過渡帶的衰減和衰減速度稱為滾降阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量阻帶衰減：輸入信號在阻帶的衰減量帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度帶內(nèi)平坦度：通帶和阻帶內(nèi)的平坦程度4、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計三個步驟:(1)

按要求確定濾波器的性能參數(shù)；(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近去逼近這一性能要求；(3)用有限精度的運算實現(xiàn)；實現(xiàn)可以采用通用計算機，也可以采用DSP。4、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器的設(shè)計三個步驟:5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應：為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況5、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求選頻濾波器的頻率響應： ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶：過渡帶：通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近 ：通帶截止頻率 ：阻帶截止頻率 ：通帶容限 ：阻帶容限阻帶通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內(nèi)的極點6、表征濾波器頻率響應的特征參量幅度平方響應相位響應相位響應：相位響應相位響應：群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)=常數(shù)， 則為線性相位濾波器群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內(nèi)7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)計算機輔助設(shè)計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器7、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：頻率響應：6.2最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小與最大相位超前系統(tǒng)LSI模：相角：模：相角：當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極矢量角度變化為0當位于單位圓內(nèi)的零/極矢量角度變化為2p位于單位圓外的零/極令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點數(shù)為pi單位圓外的極點數(shù)為po則：令：單位圓內(nèi)零點數(shù)為mi單位圓外的零點數(shù)為mo單位圓內(nèi)的極點全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

為最小相位延時系統(tǒng)為最大相位延時系統(tǒng)n<0時，h(n)=0相位延時系統(tǒng)全部極點在單位圓內(nèi)：po=0，pi=N因果穩(wěn)定系統(tǒng)1逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)：

2）全部零點在單位圓外：

全部極點在單位圓外：po=N，pi=0為最大相位超前系統(tǒng)為最小相位超前系統(tǒng)相位超前系統(tǒng)n>0時，h(n)=0逆因果穩(wěn)定系統(tǒng)1）全部零點在單位圓內(nèi)： 2）全部零點在最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0附近，而總能量相同5）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，可以將一最小相位系統(tǒng)轉(zhuǎn)變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)4）在相同的系統(tǒng)中，唯一3）最小相位序列的最大：最小相位延時系統(tǒng)的性質(zhì)1）在相同的系統(tǒng)中，6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)6.3全通系統(tǒng)對所有w，滿足：稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點：一階全通系統(tǒng)：極點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱極點：零點實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱實系數(shù)二階全通系統(tǒng)兩個零點（極點）共軛對稱極點：零點：零點與N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：的根N階數(shù)字全通濾波器極點：的根零點：全通系統(tǒng)的應用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)其中：H1(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為單位圓外的一對共軛零點全通系統(tǒng)的應用1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)都可以表示成全通系把H(z)單位圓外的零點： 映射到單位圓內(nèi)的鏡像位置： 構(gòu)成Hmin(z)的零點。而幅度響應不變：P231圖6－6把H(z)單位圓外的零點：而幅度響應不變：2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內(nèi)單位圓外極點：2）級聯(lián)一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成一個穩(wěn)定濾波器把非3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度特性利用均方誤差最小準則求均衡器Hap(z)的有關(guān)參數(shù)3）作為相位均衡器，校正系統(tǒng)的非線性相位，而不改變系統(tǒng)的幅度6.4用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應， 即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0 映射到z平面的單位圓內(nèi)|z|<16.4用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計思想： s設(shè)計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法設(shè)計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換6.5沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)T—抽樣周期)()(nTxnxa=)()(nTynya=)()(nThnha=)(txa)(tya)(tha6.5沖激響應不變法一、變換原理數(shù)字濾波器的單位沖激響應h設(shè)則：設(shè)則：從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為2p/T只有當模擬濾波器的頻率響應是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即才能使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真從頻率響應來看：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在|W|>Ws/2處衰減越快，失真越小當濾波器的設(shè)計指標以數(shù)字域頻率wc給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在當濾波器的二、模擬濾波器的數(shù)字化二、模擬濾波器的數(shù)字化系數(shù)相同：極點：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面 z平面系數(shù)相同：極點：s平面當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：試用沖激響應不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T=1s，則試用沖激響應不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系：w=WT 線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t)時域逼近良好沖激響應不變法的優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：保持線性關(guān)系：w=WT頻率響應混迭h(n)完全模6.6階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)

模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t)

T—抽樣周期6.6階躍響應不變法變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應g(n)數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設(shè)計對應3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設(shè)數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應不變法來設(shè)計。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得6.7雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似6.7雙線性變換法沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿一、變換原理及特點脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響應交疊。改進思路：先將s域平面壓縮到一個中介平面s1，然后再將s1映射到Z平面。一、變換原理及特點脈沖響應不變法的映射是多值映射,導致頻率響數(shù)字信號處理第三版課件第六章IIR濾波器的設(shè)計方法-1為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關(guān)系，引入系數(shù)c為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關(guān)系，引入2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關(guān)系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置二、變換常數(shù)c的選擇2）某一特定頻率嚴格相對應：1）低頻處有較確切的對應關(guān)系：特三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi) s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上三、逼近情況1） s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換四、優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面缺點：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點產(chǎn)生畸變?nèi)秉c：除了零頻率附近，W與w之間嚴重非線性2）要求模擬濾波預畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器預畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設(shè)計模擬濾波五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標，設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)變成模擬1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸Ha(s)將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點分布1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設(shè)增益常數(shù)為K0例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設(shè)增1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設(shè)計幅度平方函數(shù)：當稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率1）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬1）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小當W＝Wst（阻帶截止頻率）時，衰減的d1為阻帶最小衰減1）幅度函數(shù)特點：Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點極點間的角度間隔為極點不落在虛軸上N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點Ha(s)Ha(-s)的零極點分布(a)N=4(三階）(b)N=4（四階）極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設(shè)計步驟：根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)指標：由得：同理：令則：4）濾波器的設(shè)計步驟：根據(jù)技術(shù)指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術(shù)求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標Wc給出或由下式求出： 其中極點：去歸一化阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術(shù)指標Wc給例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設(shè)計1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標：選T=1s例：設(shè)計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于a）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器a）確定參數(shù) 用通帶技術(shù)指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化b)求出極點（左半平面）c)構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterwo