數學教學改革三十年：現實與實現上海市教育科學研究院——來自“青浦實驗的新世紀行動”一、現實：學與教的水平演變1．教師觀課視角走向能力為本（調查、心理測量、聚類分析）2．學生能力目標測試喜中有憂（大樣本測量、主成分分析）二、實踐：兩種教學方式的較量1．兩種方式的比較（源頭和流變）2．簡單情境中的認知——數學化（案例：有余數除法）3．復雜情境中的認知——問題解決的策略（案例：設計圓形劇場）三、實現：教師學習事關重大1．把握最有學習價值的知識（案例：勾股定理能夠被學生發現嗎）2．了解學生容易理解或誤解之處（案例：正方形的性質）3．縱橫連貫才能納入“堅固的思想體系”（案例：拆添項分解因式）4．兩種教學方式的內容呈現策略（案例：等腰三角形的判定）內容目錄謝謝！歡迎批評指正：楊玉東

(200032)上海市茶陵北路21號上海市教科院案例：設計一個圓形劇場中學生解決實際問題能力表現的比較研究問題①：在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝68°，∠C＝32°，問此三角形中哪條邊最長？哪條邊最短？問題②：建筑中的屋頂人字架之間的角等于80°，人字架與房屋側面上層的水平圓木之間的每個角均為50°，現有長度不等的木板，問哪兒需要用較長的木板？是與人字架平行的屋頂蓋板呢，還是與房屋水平圓木平行的側面壁板呢？（一）背景：為何關注學生的能力表現“背景干擾現象”（前蘇聯B.∏.茲科娃）教師的應用題教學策略——采用逐步“隔離”背景的演變方法學生自己能否掌握這種“隔離”方法？他們自己是否具備這種“隔離”實際問題為一個數學問題的能力？學生解決標準題目和解決實際問題之間的能力的差距存在嗎？

從“人字形屋”頂逐步隔離成“三角形”

我們的困惑：（二）方法與過程：

如何研究學生的能力表現1.研究問題和對象選擇具體研究問題：（1）具備基礎知識和基本技能的學生是否在解決實際問題中有良好的數學能力表現？（2）具備相近基礎知識和基本技能的學生中，解決過實際問題的學生是否比沒有解決過實際問題的學生有更好的數學能力表現？3.評價數學能力表現的工具針對具體設計問題制訂了學生的能力表現評價標準。兩次數學活動采用的設計問題在類型和結構上相似，一個重要的原因就是可以采用相同的能力標準作為比較研究的工具。

設計一個圓形劇場：多因素制約關系干擾——背景不可剝離

如何滿足諸多技術限制條件的同時，盡可能增大放置座位的面積？學生始終要面對的是對各種制約關系的處理。座位要盡可能多，就要盡量增大安排座位的面積區域；但對于舞臺直徑、輻射通道、圓形通道、座位本身均有技術要求輻射通道要盡可能少，座位才會盡可能多；但每排座位數又不能多于30個比起可剝離背景的應用題，如何克服這種不可剝離背景的制約關系的干擾、作出推理和決策更富挑戰性。座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域舞臺座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域舞臺座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域座位區域舞臺1.“艱難的20分鐘”——理解題意

一位教師感嘆：“……竟然‘冷場’這么多時間”兩位老師詢問：“快20分鐘了，究竟要不要給學生一些提示？”數學問題解決能力的缺失工程專用語干擾——可剝離的背景

“中心旋轉舞臺”、“輻射通道”、“圓形通道”、“座位縱深”背景條件相互牽制——不可剝離的背景－難以辨別出“外圈座位”是解決制約關系的突破口2.簡單化為“面積計算”——處理制約關系運用面積方法投入計算：（總面積－圓形通道和輻射通道占用面積－舞臺面積）÷每個座位面積把設計任務等同于常規的應用題通道數的難以確定、無法顧及每排座位數不超過30個這一制約條件3.不會使用字母表達——歸納計算公式此設計任務中，學生需要根據半徑變化反復計算對應的一圈圈的圓弧長度、再除以座位寬度0.6米來計算座位數。六個小組只有兩個小組運用公式表達：總體看來，A、B、C三類學生歸納計算公式的能力與其成績正相關，但同時發現，中等學生（B類）的表現并不比A類學生差。例如，B1組學生總結出的公式比起A2組更加完整和一般化：B1組：A1組：4.“埋頭就算”、討論拘泥于計算——合作與交流成績優的學生尤其缺乏合作意識

教師X：“他們一拿到問題埋頭就算……提醒他們和其他組員討論……”

交流內容拘泥于“計算問題”－討論聚焦在計算數據－非常關注計算結果的準確性、而非從思路和方法的源頭上質疑C1組C2組B1組B2組A1組A2組計算方法等分等分整體整體整體等分報告結果1617個1716個(出錯)1649個1650個1649個1614個5.計算結果的實際意義未考慮——學生完成的報告分析六個小組中在完成報告中采用兩種不同方法計算6通道方案的座位總數，這兩種不同方法對實際問題的應用會產生不同的效果：符合劇場美觀的實際需求：等分法（通道通道筆直）不符合劇場美觀的實際需求：整體法（輻射通道鋸齒狀）只有A2組考慮到了劇場設計的美觀效果，解釋了不用整體法（座位會多出一些）、采用等分法的理由。泊車位區域體操館泊車位區域泊車位區域泊車位區域不可剝離背景的“多因素制約關系干擾”較復雜

要泊車位盡可能多，就要盡量增大設計泊車位的面積區域；但對于輻射通道、半圓形通道、進出通道、泊車位大小均有技術要求輻射通道要盡可能少，泊車位才可能多；但每排泊車位又不能多于20個泊車位排列方式也制約了車位的數量，增加了“干擾程度”2.為圓形體操館設計一個停車場：學生問題解決能力對比研究“可剝離背景干擾”更多除了輻射通道、半圓形通道還有泊車位間的“進出通道”、“垂直式停車”、“進出口”等①理解題意時間的比較以學生能夠畫出正確的草圖、以開始投入最外排泊車位計算或泊車位排數計算為“理解題意”的標志，那么兩類學生小組花費的時間如下所示：

A類學生B類學生C類學生開設有數學活動課的小組5分11分10分未開設數學活動課的小組36分22分29分③歸納公式表達函數關系水平的比較學生用公式表達函數關系的水平表現水平學生類型Ⅰ.解題有困難，無法找到計算方法Ⅱ.用列表方式或計算器編程反復計算Ⅲ.能夠寫出一般公式進行計算開設有活動課的學生087未開設活動課的學生3102

學生在計算每排的泊車位時，需要反復運用圓的周長公式計算弧長、然后用弧長除以泊車位寬度計算車位數。學生能否在此過程中能否發現這個函數關系？

從兩類學生在使用公式表達函數關系三個水平上的百分比堆積圖來看，開設過數學活動課的學生在較高水平III上具有明顯優勢。④交流與反思內容的比較

一群學生圍在一起、相互說話只是外在形式，關鍵是學生在合作與交流的過程中能否通過傾聽與回應來表達和反思自己的觀點、能否通過批判與建構來汲取不同觀點的有用成分。開設有活動課的學生未開設活動課的學生共同點兩類學生詢問最多的是有關數據計算方面的問題不同點發現優點如：“他們的車子采用尾對尾的排列方式，節省了一條通道，這個想法很好”（無）提出建議如：“你們的方案是平均分的，其實也可以嘗試不平均分”（無）反思不足如：“我們以后得多觀察生活中的一些東西，就像停車位的擺放情況”（無）

與未開設活動課的學生僅僅質疑計算問題相比，開設有活動課的學生在隨后的集體匯報交流中還傾向于發現他人優點、提出建議和反思自身不足。1、教師觀課視角走向能力為本1982年主要視角2007年主要視角目的要求根據教學大綱和教材內容，制定明確具體的教學目的按照班級實際和學生情況，使提出的教學要求恰如其分整節課的每一環節始終圍繞著教學目的和要求展開，不能脫離教學主題關注技能、認知和情感，體現學生發展的目標把握學科本質，明確具體要求教學要求適合學生最近發展區尊重個性差異，面向全體學生內容組織突出重點，主次結合抓住關鍵，突破難點講究教學層次，注重內容布局、連接順序和張弛節奏的設計內容選擇與目的要求相適應重點突出、容量適度且具彈性合理的知識建構方式與難點、關鍵的處理教學訓練的有層次安排概念教學從學生原有知識出發，通過觀察、類比、歸納、推理等方法形成正確概念運用適當的變式訓練，使學生深刻而靈活地掌握和應用概念適當歸納，把新概念納入學生的知識體系之中，并重視復習鞏固突出基本概念，表述清晰，學生理解程度高基本技能定位正確，學生能有效掌握避免不必要的重復講述和大運動量訓練根據學生反應隨時調節教學的節奏與步調（1）教師觀課視角十點變化【資料】能力培養重視數學問題思考過程和方法的教學，讓學生逐步掌握原理，舉一反三教師通過教學指引和示范，積極影響和促進學生在智力、能力和學習品質等某些側面的發展注重學生學習方法和學習習慣的培養利用課堂生成資源，鼓勵學生質疑問難、獨立思考學習情境中讓學生嘗試、探索、創造性解決問題針對學生行為變化靈活應變師生配合注意情感活動和認知活動的結合，創設問題情境，激發學生的認識興趣以全班學生的可接受程度為依據，并注意從教育與發展的角度，讓各類學生都能積極思維教師指導適當，學生熱情配合，課堂氣氛和諧教態親切自然，接納學生的感情學生思維活躍，能充分表達自己的觀點和意見引導以學生為主體的活動，包括學生自我評價和調控師生、生生雙向交流與溝通得當教法特點把教與學，講述和探究合理地結合起來及時了解教學效果，隨時調節教學其它經驗和理論的正確運用注重基礎知識和基本技能的啟發式教學創設學習情境，引導體驗探究倡導小組合作式的學習合適與必須的模型、演示或多媒體的運用教學效果學生在獲得和應用知識方面顯示良好的反應提問與書面檢查正確率高聽課教師對這節課的直覺印象好教學目的及其預定的具體要求達成度高學生在各種教學活動中熱情投入，潛能得到發揮課堂時間充分利用，活動成本相對較低有利于提高后續學習的水準⑥原先主要采用“教師引導”、“學生配合”的師生合作方式，學生仍是配角；如今要求引導以學生為主體的活動，使學生真正成為學習的主人。⑦原先只是由教師及時了解教學效果，隨時反饋調節；如今已進步到可由學生作自我評價和調控。⑧原先尚未提及模型、演示或多媒體的運用；如今隨著現代教育技術的逐步普及，不僅廣泛使用，還提出了“合適”與“必須”的更高要求。⑨原先教學效果評價僅關注當堂反應、檢查和“直覺印象”；如今還關注到學生“潛能發揮”和是否有利于提高“后續學習水準”。⑩另外，如今還注意到改革進程中出現的深層次問題，如如何把握學科本質和最有學習價值的知識；關于技能訓練的定位，以及避免不必要的重復講述和大運動量訓練，減輕學生過重負擔；還有如何充分利用課堂時間，相對降低活動成本等。（2）權重方案側重能力培養目的要求內容組織概念教學能力培養師生配合教法特點教學效果1982年方案0.17050.14320.16700.11740.13940.11270.14982007年方案0.17210.15520.12610.15420.13080.11560.1460權重方案25年前后比較1982年36名教師權重方案的模糊聚類結果2007年47名教師權重方案的模糊聚類結果2、學生能力目標測試喜中有憂1950年代布盧姆主編的《教育目標分類學》奠定了現代教學目標分類的基礎，該書把認知目標分成知識、領會、運用、分析、綜合、評價6種水平。威爾遜(J.W.Wilson)曾把布盧姆的目標分類原則引入數學學科，設計了計算、領會、運用、分析4個層次的認知目標。后來有人明確指出了布盧姆分類理論在連續性與層次性方面存在漏洞。1990年與2007年，“青浦實驗”采用大樣本測試結果，從初中二年級學生在數學學習中大量外顯行為所表征的教學目標中析取其內隱的主要因素，由此確定目標框架的層次并研究分類的連續性。研究運用因素分析的方法。（1）兩度因素分析實驗建立四層次架構測試F1F2F3h210.7880.2040.1540.68620.7920.1660.1780.68730.6710.4530.0480.65840.6410.4740.1040.64750.4720.5330.1610.53360.4870.5580.0650.55370.4280.4100.4000.512表中1、2、3、4、5、6、7依次代表知識、計算、領會、運用、分析、綜合、評價7種分測試。內隱主因素依次為：F1—記憶為主，F2—理解為主，F3—評判為主。這三個因素占總方差的比例分別為56.1％、3.49%和1.42%，三者相加占總方差的61.08%。1990年3000樣本因析結果得到的公共因素負荷矩陣由圖可見：綜合與分析，盡管測試難度差別較大，但還是屬于同一思維水平；同樣，應用與領會看來也可以合并；至于計算與知識，在當時強調記住課本內容前提下，也可合并為同一目標。6種測試變量在兩因素平面上的矢量表示運用領會綜合分析知識計算測試F1F2h210.90990.27530.903720.77950.48260.840530.57380.68090.792940.58000.68660.807850.26610.91730.91232007年4349樣本因析結果得到的公共因素負荷矩陣表中1、2、3、4、5依次代表計算、概念、領會、運用、分析5種分測試。內隱主因素依次為：F1—記憶為主，F2—理解為主。這兩個因素占總方差的比例分別為75.78％和9.37%，兩者相加占總方差的85.14%。較低認知水平較高認知水平①計算——

操作性記憶水平③領會——說明性理解水平②概念——概念性記憶水平④分析——探究性理解水平領會與運用，雖然表征的方式不同，但還是屬于同一思維層次，的確可合并。在目標分類公共因素簡約為記憶——理解的兩維平面上，教學目標可區分為大致等距的四層次架構，如表所示。5種測試變量在兩因素平面上的矢量表示1990年與2007年，前后相隔17年，取得了具有時代價值的大量數據資料，它是一段歷史的見證。前期7種認知水平，后期歸并為5種水平，測試題中約有1/3保持原貌，另有2/3提高了難度。被測學生計算知識/概念領會運用分析綜合評價總得分率(%)1990300067.1963.9647.1141.3323.8444.2829.1745.27%2007434984.0775.2854.8251.0028.9658.83%●盡管總體難度有很大提高，但多數分測試成績與總分都有較大幅度的提高，總平均得分率從45.27%提升到58.83%，課堂教學的實效有了顯著提高，十余年來的進步有目共睹。（2）學生認知水平顯著提高（3）點面、城鄉差距明顯縮小●早年青浦地區少量先進典型與巨大落后面并存的局面已經改變，從學生認知水平看過去所謂的點與面、城與鄉的差

距明顯縮小。●計算與概念層面的水平大幅度提高；領會水平的目標已經基本達成；但分析水平，即分析問題和解決問題的能力，尚無明顯提高，應成為今后數學課堂和教學改革要著力突破的重點內容。（4）問題解決能力風景依舊數學教學目標水平測試17年前后比較【資料】學生性別差異的比較●從能傾類型分析，1990年男生的探究能力、理解能力總體優于女生，女生則在記憶能力上占有優勢。2007年出現明顯的反過來的走勢。這些突出變化，值得進一步研究。 已有知識新的知識建立聯系 合理實質

奧蘇貝爾：知識固著點的性質換一個形式檢驗我國教師：合適的“潛在距離”正確的“變式演練”

作“鋪墊”是成功的奧秘是有效手段接受式學習（書中學，明言知識為主）1、兩種方式的比較

已有“工具”新的“任務”自行整合

參與度完成度活動式學習（做中學，默會知識為主）皮亞杰：活動內化理論教師：探究學習、問題解決學習、項目學習等（過程檔案分析）（“作品”分析）……（1）注重技巧的原行為①商、余數的“名數”易錯易混，因此先要區分包含除與等分除

17(人)÷8(人)=2(桌)……1(人)17(人)÷2(桌)=8(人)……1(人)●糾纏于枝節，未突出“有余數”這個要點②“試商”是關鍵性技巧，因此先要訓練括號里最大能填幾

6×()＜4113×()＜41●技巧性鋪墊，未關注試商的實際意義③最后要學生尋找規律，學生都說“不知道”●忘記了對小學生來說“數學就是生活”16÷5=3……117÷5=3……218÷5=3……319÷5=3……4余數(1、2、3、4)與除數(5)比較大小，得出余數小于除數2、簡單情境中的認知——數學化課例：除法就是分豆子……代數項圖Ⅰ圖Ⅱ圖Ⅲ圖Ⅳ…a214916b249