（二）一階線性常系數方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實的，并存在非奇異矩陣S使得對稱雙曲型方程組：A對稱嚴格雙曲型方程組：A的特征值是實的并且互不相同是A的特征值1（二）一階線性常系數方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實2討論對象:一階常系數線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取A的兩個線性無關的特征向量作為S的列向量為嚴格雙曲型微分方程組.非耦合系統22討論對象:一階常系數線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取3例如耦合系統非耦合系統即取33例如耦合系統非耦合系統即取3

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4是A的特征值為格式穩定必要條件滿足VonNeumann條件即時5是A的特征值為格式穩定必要條件滿足VonNeumann條件66證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式穩定充分條件P33定理3.5為對角陣為穩定充要條件7證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式8證明：2.Lax-Wendroff格式8證明：2.Lax-Wendroff格式9用中心差商代替偏導數舍去截斷誤差,有LW差分格式.99用中心差商代替偏導數舍去截斷誤差,有LW差分格式.9

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。10

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。103.迎風格式不能直接推廣，需化為特征形式

113.迎風格式不能直接推廣，需化為特征形式

11VonNeumann條件滿足12VonNeumann條件滿足12為對角陣正規陣為對角陣正規陣（三）變系數方程及方程組1.變系數方程凍結系數法：簡單實用非嚴格穩定性討論用能量不等式方法：嚴格有技巧14（三）變系數方程及方程組1.變系數方程凍結系數法：簡單實用非15151616a(x,t)>0見上圖a(x,t)<0見下圖17a(x,t)>0a(x,t)<0171818整理得:穩定性條件為:解凍系數,穩定性條件為:19整理得:穩定性條件為:解凍系數,穩定性條件為:19下面對L-F格式用能量分析法討論穩定性；附加：能量分析法討論穩定性(嚴格)20下面對L-F格式用能量分析法討論穩定性；附加：能量分析法討論212122222323穩定性條件為:24穩定性條件為:24Taylor展開：25Taylor展開：25代入Taylor展開式,于是有26代入Taylor展開式,于是有26得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式27得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式2282.變系數方程組(自學)282.變系數方程組（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問題c為常數D’Alembert公式29（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件30波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件302.波動方程的顯格式

精度不匹配312.波動方程的顯格式

精度不匹配31為匹配精度，采用虛擬節點32為匹配精度，采用虛擬節點32等價的一階方程組穩定性33(推導詳見后頁)等價的一階方程組穩定性33(推導詳見后頁)3434是否為穩定充分條件？為穩定必要條件見P6335是否為穩定充分條件？為穩定必要條件見P633536定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）3737偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)3.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的依賴區域，DE為微分方程解在P點的依賴區域。DA，BE處初值的變化無法影響差分格式的解，因此差分格式的解不會收斂到微分方程的解。403.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的微分方程依賴區域為特征線依賴區間在t=0所截區間41微分方程依賴區域為特征線依賴區間在t=0所截區間41依賴區間按前面兩種邊界離散方式，第n層差分格式的解依賴初始函數f(x),g(x)在點集上的初值依賴區域為過點的兩條直線與x軸相交而得其中差分方程依賴區域:42依賴區間按前面兩種邊界離散方式，上的初值依賴區域為過點的兩條時不穩定(Page63)43時不穩定(Page63)434.波動方程的等價方程組的差分格式一階雙曲型方程的各種格式均可使用，如4.波動方程的等價方程組的差分格式一階雙曲型方程的各種格式均45454646課堂練習P817.試構造求解方程組的迎風格式.(Page71)47課堂練習P8147（二）一階線性常系數方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實的，并存在非奇異矩陣S使得對稱雙曲型方程組：A對稱嚴格雙曲型方程組：A的特征值是實的并且互不相同是A的特征值48（二）一階線性常系數方程組雙曲型方程組：如果A的特征值是實49討論對象:一階常系數線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取A的兩個線性無關的特征向量作為S的列向量為嚴格雙曲型微分方程組.非耦合系統492討論對象:一階常系數線性雙曲型方程組有兩個相異的特征根取50例如耦合系統非耦合系統即取503例如耦合系統非耦合系統即取3

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣51

1.Lax-Friedrichs格式

為P階單位矩陣4是A的特征值為格式穩定必要條件滿足VonNeumann條件即時52是A的特征值為格式穩定必要條件滿足VonNeumann條件536證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式穩定充分條件P33定理3.5為對角陣為穩定充要條件54證明：由于為雙曲型方程組，為Lax-Friedrichs格式55證明：2.Lax-Wendroff格式8證明：2.Lax-Wendroff格式56用中心差商代替偏導數舍去截斷誤差,有LW差分格式.569用中心差商代替偏導數舍去截斷誤差,有LW差分格式.9

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。57

證明：仿Lax-Friedrichs格式的討論。103.迎風格式不能直接推廣，需化為特征形式

583.迎風格式不能直接推廣，需化為特征形式

11VonNeumann條件滿足59VonNeumann條件滿足12為對角陣正規陣為對角陣正規陣（三）變系數方程及方程組1.變系數方程凍結系數法：簡單實用非嚴格穩定性討論用能量不等式方法：嚴格有技巧61（三）變系數方程及方程組1.變系數方程凍結系數法：簡單實用非62156316a(x,t)>0見上圖a(x,t)<0見下圖64a(x,t)>0a(x,t)<0176518整理得:穩定性條件為:解凍系數,穩定性條件為:66整理得:穩定性條件為:解凍系數,穩定性條件為:19下面對L-F格式用能量分析法討論穩定性；附加：能量分析法討論穩定性(嚴格)67下面對L-F格式用能量分析法討論穩定性；附加：能量分析法討論682169227023穩定性條件為:71穩定性條件為:24Taylor展開：72Taylor展開：25代入Taylor展開式,于是有73代入Taylor展開式,于是有26得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式74得到：略去高階項得到差分方程：Lax-Wendroff格式2752.變系數方程組(自學)282.變系數方程組（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問題c為常數D’Alembert公式76（四）二階雙曲型方程（以波動方程為代表）1.波動方程的初值問波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件77波動方程化為一階雙曲型方程組初始條件302.波動方程的顯格式

精度不匹配782.波動方程的顯格式

精度不匹配31為匹配精度，采用虛擬節點79為匹配精度，采用虛擬節點32等價的一階方程組穩定性80(推導詳見后頁)等價的一階方程組穩定性33(推導詳見后頁)8134是否為穩定充分條件？為穩定必要條件見P6382是否為穩定充分條件？為穩定必要條件見P633583定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）8437偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)偏微分課程課件5_雙曲型方程的差分方法(II)3.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的依賴區域，DE為微分方程解在P點的依賴區域。DA，BE處初值的變化無法影響差分格式的解，因此差分格式的解不會收斂到微分方程的解。873.波動方程差分格式的C.F.L條件AB為差分格式解在P點的微分方程依賴區域為特征線依賴區間在t=0所截區間88微分方程依賴區域為特征線依賴區間在t=0所截區間41依賴區間按前面兩種邊界離散方式，第n層差分格式的解依賴初始函數f(x),g(x)在點集上的初值依賴區域為過點