1質點質點系動量定理：動量的改變外力（外力系主矢）若當質心C為固定軸上一點時，vC=0，則其動量恒等于零，質心無運動，可是質點系確受外力的作用。動量矩定理建立了質點和質點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關系。質心運動定理：質心的運動外力（外力系主矢）2§11–1動量矩

§11–2動量矩定理

§11–3剛體定軸轉動微分方程

§11–4質點系相對于質心的動量矩定理·

剛體平面運動微分方程

第十一章動量矩定理3動力學§11-1動量矩一、質點的動量矩(momentofmomentum)

質點對點O的動量矩：

質點對定點O的動量矩為矢量。動量矩：度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉動的強弱。xyzOABprLO4動力學正負號規定與力對軸矩的規定相同，對著軸看：順時針為負，逆時針為正。單位：kg·ｍ2/s。質點對定軸z的動量矩為代數量。質點對軸z的動量矩：xyzOABprLOmvxyA'B'ggLz質點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關系5質系對軸z動量矩：動力學二、質點系的動量矩質系對點O動量矩：剛體動量矩計算：1．平動剛體

平動剛體對固定點（軸）的動量矩等于作用在剛體質心的動量對該點（軸）的矩。OxyzMirimivim1v1m2v2rCC6

平面運動剛體對固定軸的動量矩，等于剛體隨同質心平動的動量對該軸的動量矩與繞質心轉動的動量矩之和。動力學

定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于剛體對該軸轉動慣量與角速度的乘積。2．定軸轉動剛體剛體對z

軸的轉動慣量3．平面運動剛體wzMirimivi(momentofinertia)

7動力學解：[例1]

滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1

滑輪B：m2，R2，J2

；物體C：m3,v3

求系統對O軸的動量矩。C8§11-2動量矩定理一．質點的動量矩定理兩邊叉乘矢徑,有：左邊可寫成質點對任一固定點的動量矩對時間的導數，等于作用在質點上的力對同一點之矩。質點對固定點的動量矩定理。

動力學故：(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttoagivenpoint)

9將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得:質點對固定軸的動量矩定理（質點動量矩定理的投影形式）。即質點對任一固定軸的動量矩對時間的導數，等于作用在質點上的力對同一軸之矩。動力學質點的動量矩守恒10運動分析：動力學動量矩定理:解：將小球視為質點。受力分析:(受力圖如圖示)[例2]

單擺已知m，l，t=0時=0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規律。FT11注：計算動量矩與力矩時，符號規定應一致（一般規定逆時針轉向為正）質點動量矩定理的應用：

在質點受有心力的作用時。質點繞某點（軸）轉動的問題。動力學微幅擺動時，并令，則解微分方程,并代入初始條件則運動方程12

質點系對任一固定點的動量矩對時間的導數，等于作用在質點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．質點系的動量矩定理左邊交換求和與導數運算的順序，而──質點系對固定點的動量矩定理動力學對質點系，有對質點Mi：13質點系對固定軸的動量矩定理:質點系對任一固定軸的動量矩對時間的導數，等于作用在質點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數和（外力系對同一軸的主矩）。質點系的動量矩守恒

當時，常矢量。當時，常量。動力學將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得14解:取整個系統為研究對象，受力分析如圖示。動力學由動量矩定理：[例3]

已知:aaFOxFOy運動分析：

v=r15猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為。動力學[例4]

已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）解：mAgmBgvB系統對O軸的動量矩守恒16

§11-3

剛體定軸轉動微分方程代入質點系動量矩定理，有──剛體定軸轉動微分方程解決兩類問題：已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉動規律。已知剛體的轉動規律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質心運動定理求解。動力學定軸轉動剛體:17

特殊情況：動力學剛體作勻速轉動或保持靜止。a=const剛體作勻變速轉動。:剛體的轉動慣量,是剛體轉動慣性的度量。18[例5]

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。動力學取輪A為研究對象：解:FTa119ω2a2F'Tv[例5]

提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對象：動力學解:FTa120補充運動學條件：化簡(1)

得：化簡(2)

得：動力學ω2a2F'TvFTω1a121Oxyzx'y'z'ri'vir一、質點系相對質心的動量矩Cmi§11-4質點系相對于質心的動量矩定理剛體平面運動微分方程動力學22Oxyzx'y'z'ri'rirCvir質點系相對定點O的動量矩與相對質心C的動量矩的關系：Cmi動力學23Oxyzx'y'z'ri'rirCvir二、質點系相對質心的動量矩定理Cmi動力學24動力學二、質點系相對質心的動量矩定理

質點系相對于質心的動量矩對時間的導數等于質點系的外力對質心的主矩。(theoremofthemomentofmomentumwithrespecttothecenterofmass)

向過質心的平動軸投影：

質點系相對于過質心的平動軸的動量矩定理：質點系對過質心的平動軸的動量矩對時間的導數等于質點系的外力對該軸的主矩。25動力學質點系相對于質心的動量矩的改變，只與作用在質點系上的外力有關，而與內力無關。質點系對質心動量矩也有守恒問題：若外力對質心的主矩為零，則對質心的動量矩守恒。質點系相對于質心動量矩定理和對固定點的動量矩定理，具有完全相同的數學形式，而對于質心以外的其它動點（A），一般并不存在這種簡單的關系。質點系對動點的動量矩定理26三、剛體平面運動微分方程剛體的平面運動可簡化為平面圖形S在自身平面內的運動。平面圖形S受力系作用，質心為C內。動力學取質心C為動系原點，則此平面運動可分解為:

隨質心C的平動（xC

,yC

→vC

→aC

）

繞質心C的轉動（→→）質心運動定理：相對質心的動量矩定理：x'y'27投影形式:平面運動微分方程動力學jFNFfaCj28[例1]

質量為m半徑為R的均質圓輪置放于傾角為的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數為f、f′，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。動力學解：取輪為研究對象。a運動分析：一般情況下輪作平面運動,根據平面運動微分方程：FNFfaCaj291．設接觸面絕對光滑。動力學因為輪由靜止開始運動，故＝0，輪沿斜面平動下滑。只滑不滾302．設接觸面足夠粗糙（輪作純滾動）。動力學FNFfaCaj輪作純滾動的條件：只滾不滑31動力學Ff

=

f′FN表明：當時，解答3適用；當時，解答2適用；當f=0

時,解答1適用。FNFfaCaj3．設輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。32[例2]均質圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數均為f

'，滾阻不計，求使圓柱停止轉動所需要的時間。解：選取圓柱為研究對象。動力學根據剛體平面運動微分方程補充方程：FfAFfBFNBFNA受力分析:運動分析：質心C不動，剛體繞質心轉動。33將（4）式代入（1）、（2）兩式，有將上述結果代入（3）式，有解得：動力學（1）（2）（3）（4）34動力學例3：一質量為m、長度為l的均質桿AC、其C端與質量為M、半徑為r的均質圓盤B的質心用光滑鉸鏈連接，在鉛垂平面內繞A轉動。初始時=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運動到鉛垂位置時圓盤和桿的角速度。ACB0Mgmg解：以C為研究對象。CBCMgFCxFCy圓盤相對質心的動量矩守恒。FAxFAy35動力學例3：初始時=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運動到鉛垂位置時圓盤和桿的角速度。ACBCMgmg以系統為研究對象。AvC36動力學例3：初始時=0，桿的角速度為零，圓盤的角速度為0

。求桿運動到鉛垂位置時圓盤和桿的角速度。ACBCMgmgFAxFAyAvC37一．基本概念1．動量矩：物體某瞬時機械運動強弱的一種度量。2．質點的動量矩：3．質點系的動量矩：4．轉動慣量：物體轉動時慣性的度量。對于均勻直桿，細圓環，薄圓盤（圓柱）對過質心垂直于質量對稱平面的轉軸的轉動慣量要熟記。

平行移軸定理。動力學動量矩定理小結385．剛體動量矩計算平動：定軸轉動：平面運動：二．質點的動量矩定理及守恒

1．質點的動量矩定理2．質點的動量矩守恒若，則常矢量。若，則常量。動力學39三．質點系的動量矩定理及守恒

1．質點系的動量矩定理動力學2．質點系的動量矩守恒若，則常矢量若，則常量四．質點系相對質心的動量矩定理40五．剛體定軸轉動微分方程和剛體平面運動微分方程

1．剛體定軸轉動微分方程2．剛體平面運動微分方程或動力學41六.動量矩定理的應用

動力學已知運動，求外力或外力矩。已知外力矩是常力矩或時間的函數，求角速度或加角速度。已知對某軸外力矩等于零，應用動量矩守恒定理求角速度。注意事項：應用動量矩定理列方程時,要注意正負號規定的一致性。研究剛體平面運動的動力學問題，一定要建立運動學補充方程，找出質心速度與剛體轉動角速度之間的關系。42[例4]

兩根質量各為8kg的均質細桿固連成T字型，可繞通過O點的水平軸轉動，當OA處于水平位置時,T形桿具有角速度=4rad/s。求該瞬時軸承O的反力。解：選T字型桿為研究對象。受力分析如圖示。動力學由定軸轉動微分方程FOyFOx43根據質心運動微分方程，得動力學FOyFOx44[例5]

均質圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求：