第二課時一元二次不等式及其解法習題課第二課時一元二次不等式及其解法習題課[目標導航]課標要求1.在掌握一元二次不等式解法的基礎上,能夠根據一元二次不等式的解集,確定不等式中參數的值.2.能夠求解與一元二次不等式相關的不等式恒成立問題.3.能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決.素養達成通過對本節習題課的學習,培養學生邏輯推理與數學建模能力.[目標導航]課標要求1.在掌握一元二次不等式解法的基礎上,能題型一三個“二次”關系的應用課堂探究·素養提升題型一三個“二次”關系的應用課堂探究·素養提升方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標.(2)二次函數y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值構成的;圖象在x軸下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值構成的.方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的即時訓練1-1:(1)(2019·泰安高二檢測)已知不等式ax2-5x+b>0的解集為{x|-3<x<2},則不等式bx2-5x+a>0的解集為(

)答案:(1)B即時訓練1-1:(1)(2019·泰安高二檢測)已知不等式a答案:(2)-10答案:(2)-10[備用例1](1)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于(

)[備用例1](1)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集.(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3題型二不等式中的恒成立問題[例2]設函數f(x)=mx2-mx-1.(1)若對于一切實數x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;題型二不等式中的恒成立問題[例2]設函數f(x)=mx2-(2)對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.(2)對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課方法技巧(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數.一般地,知道誰的范圍,誰就是自變量,求誰的范圍,誰就是參數.分離參數法是解決不等式恒成立問題的一種行之有效的方法.a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值);a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值).(2)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定區間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定區間上全部在x軸下方.方法技巧(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數.即時訓練2-1:關于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1對x∈R恒成立,求實數m的取值范圍.即時訓練2-1:關于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2[備用例2](1)(2019·山東師大附中高二月考)已知f(x)=x2-2ax+2,當x∈[-1,+∞)時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.[備用例2](1)(2019·山東師大附中高二月考)已知f(2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.①如果對一切x∈R,f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍;解:(2)①由于對一切x∈R,f(x)>0恒成立,故Δ=4(a-2)2-16<0?0<a<4.(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.解:(2)①由②如果對x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍.②如果對x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求實數a的取值題型三一元二次不等式的實際應用[例3]某摩托車生產企業,上年度生產車的投入成本為1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1000輛,本年度為適應市場需要,計劃提高產品檔次,適度增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應提高的比例為0.75x,同時預計年銷量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x之間的關系式;規范解答:(1)每輛車投入成本增加的比例為x,則每輛車投入成本為1×(1+x)萬元,出廠價為1.2×(1+0.75x)萬元,年銷量為1000×(1+0.6x)輛.……3分所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).…………6分題型三一元二次不等式的實際應用[例3]某摩托車生產企業,上(2)為使本年度的利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應在什么范圍內?(2)為使本年度的利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例方法技巧用一元二次不等式求解實際應用題的一般步驟(1)審題:弄清題意,分析條件和結論,理順數量關系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)還原:把數學結論還原為實際問題.方法技巧用一元二次不等式求解實際應用題的一般步驟(2)建模:即時訓練3-1:某企業上年度的年利潤為200萬元,本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適度增加投入成本,投入成本增加的比例為x(0<x<1).現在有甲、乙兩種方案可供選擇,通過市場調查后預測,若選用甲方案,則年利潤y萬元與投入成本增加的比例x的函數關系式為y=f(x)=-20x2+60x+200(0<x<1);若選用乙方案,則y與x的函數關系式為y=g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).試討論根據投入成本增加的比例x,如何選擇最適合的方案?即時訓練3-1:某企業上年度的年利潤為200萬元,本年度為適2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課[備用例3](1)(2019·溫州高二檢測)國家原計劃以2400元/t的價格收購某種農產品mt.按規定,農民向國家納稅:每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點,即8%).為了減輕農民負擔,制定積極的收購政策,根據市場規律,稅率降低x個百分點,收購量能增加2x個百分點.試確定x的取值范圍,使稅率調低后,國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.[備用例3](1)(2019·溫州高二檢測)國家原計劃以2(2)如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點,求該健身房的最大占地面積.(2)如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課題型四易錯辨析——忽略對二次項系數的討論致誤【例4】

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對x∈R恒成立,求實數a的取值范圍.糾錯:當a-2=0時,原不等式不是一元二次不等式,不能應用根的判別式.題型四易錯辨析——忽略對二次項系數的討論致誤【例4】若不2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課學霸經驗分享區(1)“三個二次”之間的關系不但是解一元二次不等式的理論依據,還可以確定參數的值或范圍.(2)解決不等式恒成立問題實際是等價轉化思想的應用,同時要結合二次函數的圖象求解.(3)解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型,選擇其中起關鍵作用的未知量為x,用x來表示其他未知量,根據題意,列出不等關系再求解,同時還應注意變量的實際意義.學霸經驗分享區(1)“三個二次”之間的關系不但是解一元二次不課堂達標解析:由題意知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向下.故選B.1.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|α<x<β},則(

)(A)a>0 (B)a<0 (C)a≥0 (D)a≤0B課堂達標解析:由題意知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象開2.已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集為{x|-2<x<1},則a,b的值為(

)C2.已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集為{x|-2(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} (C){a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4}解析:法一

用a=0,4驗證均合適,故選D.D(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} 解析:法4.設a為常數,對于任意的x∈R,ax2+ax+1>0恒成立,則a的取值范圍是

.

答案:[0,4)4.設a為常數,對于任意的x∈R,ax2+ax+1>0恒成立5.設產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每臺產品的售價為25萬元,則生產者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產量是

臺.

答案:150解析:設利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000,令f(x)≥0,得x≥150或x≤-200(舍去),所以生產者不虧本時的最低產量是150臺.5.設產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系是y點擊進入課時作業點擊進入周練卷點擊進入課時作業點擊進入周練卷2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課第二課時一元二次不等式及其解法習題課第二課時一元二次不等式及其解法習題課[目標導航]課標要求1.在掌握一元二次不等式解法的基礎上,能夠根據一元二次不等式的解集,確定不等式中參數的值.2.能夠求解與一元二次不等式相關的不等式恒成立問題.3.能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決.素養達成通過對本節習題課的學習,培養學生邏輯推理與數學建模能力.[目標導航]課標要求1.在掌握一元二次不等式解法的基礎上,能題型一三個“二次”關系的應用課堂探究·素養提升題型一三個“二次”關系的應用課堂探究·素養提升方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標.(2)二次函數y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值構成的;圖象在x軸下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值構成的.方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的即時訓練1-1:(1)(2019·泰安高二檢測)已知不等式ax2-5x+b>0的解集為{x|-3<x<2},則不等式bx2-5x+a>0的解集為(

)答案:(1)B即時訓練1-1:(1)(2019·泰安高二檢測)已知不等式a答案:(2)-10答案:(2)-10[備用例1](1)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于(

)[備用例1](1)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集.(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3題型二不等式中的恒成立問題[例2]設函數f(x)=mx2-mx-1.(1)若對于一切實數x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;題型二不等式中的恒成立問題[例2]設函數f(x)=mx2-(2)對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.(2)對于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課方法技巧(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數.一般地,知道誰的范圍,誰就是自變量,求誰的范圍,誰就是參數.分離參數法是解決不等式恒成立問題的一種行之有效的方法.a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值);a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值).(2)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定區間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定區間上全部在x軸下方.方法技巧(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量,誰是參數.即時訓練2-1:關于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1對x∈R恒成立,求實數m的取值范圍.即時訓練2-1:關于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2[備用例2](1)(2019·山東師大附中高二月考)已知f(x)=x2-2ax+2,當x∈[-1,+∞)時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.[備用例2](1)(2019·山東師大附中高二月考)已知f(2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.①如果對一切x∈R,f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍;解:(2)①由于對一切x∈R,f(x)>0恒成立,故Δ=4(a-2)2-16<0?0<a<4.(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.解:(2)①由②如果對x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍.②如果對x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求實數a的取值題型三一元二次不等式的實際應用[例3]某摩托車生產企業,上年度生產車的投入成本為1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1000輛,本年度為適應市場需要,計劃提高產品檔次,適度增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應提高的比例為0.75x,同時預計年銷量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x之間的關系式;規范解答:(1)每輛車投入成本增加的比例為x,則每輛車投入成本為1×(1+x)萬元,出廠價為1.2×(1+0.75x)萬元,年銷量為1000×(1+0.6x)輛.……3分所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).…………6分題型三一元二次不等式的實際應用[例3]某摩托車生產企業,上(2)為使本年度的利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應在什么范圍內?(2)為使本年度的利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例方法技巧用一元二次不等式求解實際應用題的一般步驟(1)審題:弄清題意,分析條件和結論,理順數量關系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)還原:把數學結論還原為實際問題.方法技巧用一元二次不等式求解實際應用題的一般步驟(2)建模:即時訓練3-1:某企業上年度的年利潤為200萬元,本年度為適應市場需求,計劃提高產品檔次,適度增加投入成本,投入成本增加的比例為x(0<x<1).現在有甲、乙兩種方案可供選擇,通過市場調查后預測,若選用甲方案,則年利潤y萬元與投入成本增加的比例x的函數關系式為y=f(x)=-20x2+60x+200(0<x<1);若選用乙方案,則y與x的函數關系式為y=g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).試討論根據投入成本增加的比例x,如何選擇最適合的方案?即時訓練3-1:某企業上年度的年利潤為200萬元,本年度為適2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課[備用例3](1)(2019·溫州高二檢測)國家原計劃以2400元/t的價格收購某種農產品mt.按規定,農民向國家納稅:每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點,即8%).為了減輕農民負擔,制定積極的收購政策,根據市場規律,稅率降低x個百分點,收購量能增加2x個百分點.試確定x的取值范圍,使稅率調低后,國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.[備用例3](1)(2019·溫州高二檢測)國家原計劃以2(2)如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B為直角,AB長40米,BC長50米,現欲在此空地上建造一間健身房,其占地形狀為矩形,且B為矩形的一個頂點,求該健身房的最大占地面積.(2)如圖,某校有一塊形如直角三角形ABC的空地,其中∠B2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課題型四易錯辨析——忽略對二次項系數的討論致誤【例4】

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對x∈R恒成立,求實數a的取值范圍.糾錯:當a-2=0時,原不等式不是一元二次不等式,不能應用根的判別式.題型四易錯辨析——忽略對二次項系數的討論致誤【例4】若不2020版人教A數學必修5-課件：第二課時-一元二次不等式及其解法習題課學霸經驗分享區(1)“三個二次”之間的關系不但是解一元二次不等式的理論依據,還可以確定參數的值或范圍.(2)解決不等式恒成立問題實際是等價轉化思想的應用,同時要結合二次函數的圖象求解.(3)解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型,選擇其中起關鍵作用的未知量為x,用x來表示