18.6相似三角形的性質同步課堂檢測學考試總分：120分考試時間：120分鐘學校： 班級: 姓名: 考號:、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）/下的3處走到。處時，測得影子麗的長為1m,繼續往前走3m到達E處時，測得影子EF的長為2e,他的身高是［1,5m,那么路燈內的高度八8二G）A.. B. C.‘ D..出.如圖，在|△川M中，若\AD:BD=1.2,若AdDF的面積等于2|,則△川北的面積等于（）A. B. C.L』 D.；.如圖，△八中，DE//W,如果71D=1,西三圓那么面的值為（）1B.41C.1D.中,，月CB=90"，1B.41C.1D.中,，月CB=90"，0D是4B邊上的高,捶=44日二9則近三！）AB.D.'5.如圖，是Rt△/1以「斜邊八B上的高，|CD=6,M= 則|43的長為（）A.l'j B.A.l'j B.：J C.2:1,則這兩個三角形的周長比為（ ）A. B.R C.D.D.I3,4|,目，另一個與它相似的三角形中有條邊長為 6,3,4|,目，另一個與它相似的三角形中有條邊長為 6,則這個三角形的周長不可能是（ ）72A.虧B..C. D.,△71日C,的面積被平行于它的一邊KC的兩條線段三等分，如果BC=12cm,則這兩條線段中較長的一條是（）A.C.「；A..如圖，KtA/l放;中，ACIBCCD平分交"C于點DE■L/tD交4H于點E,間為4E的中點，的F1SC交CA1的延長線于點孔甌三4,8=3.下列結論①"ED二"QC；②霽=；;③心B〃=12；④3RF=MC],其中結論正確的個數有（）A1個B.2個C3A1個B.2個C3個 D：1'個.如圖，D、E分別是△川?C邊48、上的點，DE//AC,若&履色ge=13,則而的值為（）A.B7D.A.B7D.二、填空題（共10小題，每小題3分，共30分）⑴若DE//HC（用型（圖1）和犬型（圖2））則（2）射影定理：若CD為舟△/1&；（2）射影定理：若CD為舟△/1&；斜邊上的高（雙直角圖形）圖3則Rt△AECX出△ACDs咫△CHI）12.如圖,圖中線段的長_△人斤心的周長為12cm，則的周長為14.如圖，已知AEHBd\,AC,?日14.如圖，已知AEHBd\,AC,?日交于點口,若△AB。中，口、E分別在/IB、\AC±,力0=3,8。=2,|力￡=101FC=4,則_也4QE；S△A__ △4HC中，P是〃〃上的動點（P異于小R〕,過點P的直線截△AHC,使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點 P的&ABC的相似線，簡記為（X為自然數）.⑴如圖①，"=90：,（8二”,都是過點忸的△人比:的相似線（其中此外還有 此p（4）截得的三角形面積為△,月。面2,士C 此p（4）截得的三角形面積為△,月。面2,士C=90”，點D為腰占心中點，點E在底邊鄉5上，且I積的錄17.如圖，在中，AC=HC=則段'的長為-

18.已知：如圖，在〔△8/?（",匕18.已知：如圖，在〔△8/?（",匕|CB=90口，CDLAB,垂足是|口，EC= ,忸。=1.求AD-.1:3,那么這兩個三角形面積的比是20.若△HBOfAOEF,△山/C的面積為giGn）的面積為36um2,且/IB=lZcm則0E= __i.、解答題（共6小題，每小題10分，共60分）21.如圖，已知D,21.如圖，已知D,E分別是△月8。的從日，上的一點,DE=4,求&C的長.DE//HC,0U=7|,\AD=2,△4HC中，仞平分工RAC,EA4是川D的中垂線，交B0延長線于E,求證:de2=bece..如圖所示，在△山?。中，點D是5網上一點，連接CE,△謝-以八8且八。二4,KD=5.求△/!（；口與△外出7的相似比..如圖，在△乩孔中,HDUC,CEUB,垂足分別為D、|E,連接DE,試判斷^ADE與△小出?是否相似，并說明理由？

.如圖，在Rt△48。中，USC=90°，點口為8。邊上的點，H尸于點E,延長BE交力。于點F.(1)證明：RE^二AEDE；A88D_而三比二11FFC并說明理由.答案11.^ADE -ADADHDAHBD13.I14.15.11」目16.1§或不17.18.-19.120..解：加|、￡分別是△?!/?(?的加、力C邊上的點，DE〃HC|,..△如卜△八sADM=2:7DE:瓦=2R.W；=14..證明:連接?；.??EM是力。的中垂線,EA=EDL.EDA=LEAD?,且乙EZM="+EBAD,^EAD=LDAC+

\lCAE=zifl,^eLlAEC=lBEA,：.^AEC-ABEA,?故△ACD與△48。的相似比為:24.解:相似.理由如下:而三通?丹a, 邊上的高,?工A是公共角，?.△ADE,△*丈25.相似三角形的性質知識精要相似三角形對應邊的比稱為這兩個三角形的相似比，形似比用字母 k表示。如AABS△ABC',則幽_BC_CALk,注意：相似比具有方向A'B'B'C'C'A'性，若寫作△A'B'C's/XABC則相似比為-ok根據合比容易得到“相似三角形的周長比等于相似比"，記^AB/必A'B'C'的周長分別為CABC和CA'B'C'，則CABC：CA'B'C'k.類型一相似比與周長比在有關相似三角形的計算問題中，通過對應邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1如圖，已知等邊三角形ABC勺邊長為6,過重心G作DE//BC,分別交AB,AC于點D,E.點P在BC上，若^BDP與△CEPff似，求BP的長。的1H//A?'FjAliAh6.ABDI1代理CE'士/(:一:要使ABDP與ACEP相似，有的科情笈：BPCE設F=*?卯」一=一小±，/―6x—4

BPCE—3±v寫.—=—tvBD=CE,上13產JPCA3.BPPC二3fjp=3+J5或3—75或3時，ZiBDP與ACEF相似,

點評：這是一類常見的有關三角形相似的分類討論的問題。圖中只能確定一組相等的角(/B=/C)為對應角，但“這個角的兩組夾邊對應成比例”的比例式排列順序還不能完全確定，因此要分為兩種情況進行討論。【舉一反三】1、如圖，△ABC^,CD是角平分線，E在AC上，CD=CB?CE.(1)求證：△AD曰AACD(2)如果AD=6AE=4DE=5求BC的長。、"：一HUD、"：一HUDZ/X'r.A△BCDsAPCE.二HIX'=/DEC.A^ADC=ZAED.U：/4=NA.，△ADFs△八CD.:'：:'：AADEgoAz\CD,.ADAEDE*AC=ADDC；J。=6,AH=4,DE=5.ADAEADAE點評：先根據判定定理2得到△BCMz\DCE再根據乎U定定理1得到△ADE^AACD這種類似于“二次全等”的“二次相似”是證明相似三角形常用的方法。2、如圖，ZXABC中,DE〃BE,分另交AB于D,交AC于E。已知AB=7BC=8AC=5且/XADEf四邊形BCED勺周長相等，求DE的長。?;L：J'Zttlfrlltitj-卻“到力和㈠一”*TOC\o"1-5"\h\z:..1H(i^ttift'ILtJt*=--= ?k?7H5A1「 ，*/”：X#?」E 5此E；但LH「IE口H$H「+「E,即"+54=(7-7n+E+(5徒人耳小=? :已代詠氏為未知所列方程）設DE==；fE/>C..'.能=齡■二=:工，同理AE——rtijEfit 8 8由也葭一二=卜-5）+（5-於）+8?解得*=g,二DE點評：無論是以相似比k作為未知量，還是以DE=x作為未知量，目的都是為了把其他的量用k或x來表示，根據題設的等量關系列方程。這一解題思路可稱為“方程思想”，這是用代數方法解決幾何問題的基本思想。3、如圖，正三角形ABC的邊長為1,點E,F分別在邊AB,AC上，沿EF將4AEF翻折，使點A恰好落在BC上的點D.已知AE:AF=5:4,求BD的長。證明’；△XBC是等邊三箱形，:ZA=/氏V一八EF翻折得到&D￡F,工/EDF=/A,1=/E「F.'；^EDC-ZB+ZBETP=NEDF+4DF,；1HEU=/CDF.ZB-/('JABED09，DE=AE,DF=AFfAC-〔 =DE$DF-AE*AF=5l4.試HI」=.t.則RE+Ely=tJE十EM—It***C八,Ke=1…上網理C”..1daf—￡一h.J—，,*■2,口口啟D=g.?工4 3 1

AE5一點評：本題的難點是將比值——？轉化為△BED?口z\CDF勺相似比和周長比。AF4類型二相似比與對應線段之比如圖AABS△ABC',相似比為k,若AH,AM,AE和A'H',A'M',A'E'分別是△ABCffi△ABC'的高、中線和角平分線，則AH AM--k0A'H'MA'M'A'E'廣義地說，所謂“對應線段”應當包括兩個相似三角形對應位置上的所有對應線段，如上圖廣義地說，所謂“對應線段”應當包括兩個相似三角形對應位置上的所有對應線段，如上圖2中BE和B'E',ME和M'E'等；而相似三角形對對應位置上的所有三角形也都是相似三角形，如圖2中的AABE^△ABE',z\AM團△A'M'E'等。例2如圖，△ABC中，D在BC上，/DACWB,角平分線CE交AD于F.已知BD=1DC=3.求CF:EF的值。,AC/;(■*DC=4C二小J=I」心=3?二AC7-BC-DC=12,AC=工梟.CE分別是ADAC和AAUC的角平分線.?叱_江_2有代.CF痣「FF—丁.二,EF= =21+&點評：本題考查了相似三角形中對應角平分線的相似比問題。【舉一反三】1、如圖，/BAE=90,AB=AC=CD=DE是BC的中點,聯結BE,BD,DF.(1)找出圖中的相似三角形并說明理由；(2)求DF:DB的值。

解門―CHE3s/MF0,則it7b\V<JJ-DE.L'F-FZJ,二FD必HE十二L「FD『二#R￡丫.Ji.lE-9C\AB-AC=CD=DE.：*(HMi:+AC1=2AC1-AC-MC=CD-CE.0,CE,.zbcD=Z^CBtAACDBACBE.Cl)CB一「REs△匚口BsA「F/X白DFCD72'：乙CDDsAC'HE"口尸、DB是對應中就，,萬石=而』彳點評：第（2）小題也可以將DF看作是△CFMz\CDB勺對應邊之比。DB2、如圖，RtzXABC中，CD是斜邊AB上的高，DHAC,DF!BC,垂足分別為E,F。求證：DE2:DF2=AD:DB.證明:，ac一例二_」=_=浜/乂V-NLDH二四)，△ADC.5ACDB.rDE,DF分網足△4DC和48B的對應商..,2八小DE1.干一.五±= rm—, BC2DF1'又二$ ="AD*CD,久亡咄?^DB-CD，J：￡ 2 3點評：解題思路從相似三角形的面積比入手。一方面，相似三角形的面積比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面積之比等于相應的邊長之比，從而建立起與線段平方比有關的比例式。3、一塊直角三角形木板的兩條直角邊AB長為1.5米，BC長為2米，工人師傅要把它加工成一個面積最大的的正方形桌面，請甲乙兩位同學進行設計加工方

kJHIHH點評：利用“相似三角形的對應高之比等于相似比”，是解三角形的內接矩形問題的常用方法。類型三相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平方。例如，如圖1-4-12,△ABC中，D,E和F,G分別是AB和ACkJHIHH點評：利用“相似三角形的對應高之比等于相似比”，是解三角形的內接矩形問題的常用方法。類型三相似比與面積比相似三角形的面積之比等于相似比的平方。例如，如圖1-4-12,△ABC中，D,E和F,G分別是AB和AC的三等分點，則^ADF,^AEG△ABC勺周長比是1:2:3,面積比是1:4:9,而DF,EG等△ABC分成的三部分面積之比1:3:5.Q乙激汁的正為酎臬陸邊長為3射.二口產步 KtAHPEFRr&R1L.同號Q計的方XiL方花百積拉大.MI'jH巾Kl/Wfmic上的塞《『莊FP"1f"唱二能吟聲看,kmm??g?若甲設計的正力形束斷邊氏為工米.nr「『jtil/'/-?得RtZSCDEsRtACBA,△」=?.即ABKCLS2另外，兩個有公共高的三角形的面積之比等于對應的底邊之比。例如，如圖1-4-13,△ABC中，/另外，兩個有公共高的三角形的面積之比等于對應的底邊之比。例如，如圖1-4-13,△ABC中，/C=90°,、 S AC2CD是高，則4AD&CDB,S-AD^'，另ScdbBC2S外，CD是它們的公共高，故注SCDBAD,這樣我們就很容易得到一個比例式:DB2果警這種證明方法稱為“面積法”例3如圖，△ABC中，過重心G作DE〃BC分別交AB,AC于點D,E,作DF//AC交BC于點BC于點F.求證：SADE S四邊形DECF。證明聯結AG并抵長交干點M.丁G為zXABC的重心為中線.凡笠號.

『尸AAADh： /.■UJr『尸AAADh： /.■UJr則5?.而FAGAMfit)\Ii口FAC.AADBFAABC\S^ifrS^t>rih=51~s~s=G''，"'§耳=5西進.口el'f"點評：這個結果說明，三角形ADE與四邊形DECF這積相等，這種等積變換很難通過畫平行線的方法驗證，只有利用相似三角形的性質通過計算來驗證。【舉一反三】1、如圖，△ABC^,點D在BC上，/DACWB.求證：AB2:AD2=BC:DC.證朋力法一士麗1-彳-15,過點八作八口_LU。JF:、w=J"<lit5AfMt=1八"''心:*￡皿：Syw=tDUV」L10=/B,且/八CHqNACD，/.AAJiCs/\D4C*二：S/kMc=AB:AD*，48工..AD1=BC：DC.Ap Dp4R AC方篦二,由△4BCsADAC,得黑=色?笑?公,兩式相果即得AD ACAD DCAB2MDZ=HC：DC.2、如圖，梯形ABCDKAD〃BC,AC交BDTO.(1)若Saod2、如圖，梯形ABCDKAD〃BC,AC交BDTO.(1)若Saod8,SBOC18,求Saob;(2)若Saod2Qm，SBOCn2（m,n為正數），試用m,n表示梯形ABCD勺面積S.‘：占"心"AMB有相網的高*，黑S.‘：占"心"AMB有相網的高*，黑-二-2smM-123日MinUDN 2f2i由門山」的證明.可蹲5」山n,八心*_空_OP_AUrit_ ?3-=BC7"京，而h就一;，曰S一SA?K-x'mm-mft.:S-n「+/+2tnn=(m+n)’.點評：在梯形中，兩條對角線將梯形分為4個小三角形，其中分別以兩底為邊的兩個小三角形是相似關系，它們不可能全等（因為兩底是對應邊，不可能相等）；另兩個以腰為邊的小三角形是等積關系（面積相等） ，它們可能全等（當等腰梯形時），但不可能是非全等的相似關系。3、如圖，平行四邊形ABCDfr,AHBC于E,AF，CDTF,聯結EF,AC.（1）求證：△ABSAEAF.（2）若AB=3BE,AD=9平行四邊形ABCD勺面積為3672,求EF的長Ub*Ji<4打-/J.，/"HiAfi..tiKAt-!Cl).AFiAH, -刖j"_/H4忖-/FjIf*AHC/zAK.lA.丁「其打「口中51品mm=AF,自C=我,￡1C■△山.- 3672 ,b■Ahh----=1V2t產,**Aii-3SE,二改修E一八八0-3*.:也斤二/用，H爐=/?F"_2?.由2圖=4也，得去-Z.HK-Z.AB-6*AEC=BC-BE-9-2=7￥而AAEC中.JU?-?AE'+"，=J14統”=91VA4BCs￡^EAFt/,——, EF=X‘推i區ACEF 6內容提煉1、相似三角形的性質包括三個方面：(1)由定義確定的性質----相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊的比值稱為相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必須是排在前面的三角形邊長除以排在后面的三角形邊長。若^ABS4DEF則當k>1時，說明由△ABC到4DEF是縮小的；當k<1時，說明由△ABC到△DEF是放大的；當k=1時，AABCi△DEF,因此，全等是相似的特殊情況。(2)性質1:相似三角形對應線段的比等于相似比， “對應線段”包括對應角的角平分線，對應邊上的中線和對應邊上的高。實際上“對應線段”還可以推廣到兩個相似三角形的對應位置上的任何一種對應線段，例如：兩個相似三角形外接圓半徑的比、內切圓半徑的比都等于相似比。(3)性質2:相似三角形面積的比等于相似比的平方，實際上還可以推廣到兩個相似三角形對應位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方，例如：兩個相似三角形外接圓面積的比、內切圓面積的比都等于相似比的平方。2、學習本節內容時要克服一些常見的錯誤。例如：(1)在利用相似三角形的性質時，在書寫過程中忘記交代“相似”這一條件，或是沒有注意對應關系。(2)誤認為通過“兩個三角形的周長比等于某一對應邊的比”或“兩個三角形的面積的比等于對應邊的平方比”就可以判斷這兩個三角形相似。(3)在運用性質2時忘記加平方，認為面積比等于相似比。鞏固提高(必做題，要求步驟完整，邏輯清晰)1、如圖，DF〃EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3,如果蚪為4ADF面積，S2為梯形DEGF面積，S3為梯形EBCG面積，那么&:S2：S3為()(A)1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:192、已知一個三角形的三邊之比為 3:4:5,與此三角形相似的另一個三角形最短TOC\o"1-5"\h\z邊的邊長為6cm^則另一個三角形的周長為( )(A)12cm;(B)24cm;(C)36cm;(D)48cm3、若一個三角形的一條邊長為6