第4章連續時間傅立葉變換

TheContinuoustimeFourierTransform第4章連續時間傅立葉變換

TheContinuous1本章的主要內容:連續時間傅立葉變換;傅立葉級數與傅立葉變換之間的關系;傅立葉變換的性質;系統的頻率響應及系統的頻域分析；本章的主要內容:2

在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應該如何進行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不變系統對非周期信號的響應如何求得，就是這一章要解決的問題。4.0引言Introduction在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應3

在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，如果將任何非周期信號進行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮大時的極限，從而考查連續時間傅立葉級數在T趨于無窮大時的變化，就應該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法。在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，44.1

非周期信號的表示—連續時間傅立葉變換RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一.從傅立葉級數到傅立葉變換我們已經看到，周期性矩形脈沖，當周期增大時，頻譜的幅度隨的增大而下降；譜線間隔隨的增大而減小；但頻譜的包絡不變。再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：4.1非周期信號的表示—連續時間傅立葉變換Represen5

當時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單個矩形脈沖信號。（a）（b）(a)(b)

00當時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單6由于也隨增大而減小，并最終趨于0，考查的變化，它在時應該是有限的。

于是，我們推斷出:當時，離散的頻譜將演變為連續的頻譜。由當時,由于也隨增大而減小，并最7如果令則有與周期信號傅立葉級數對比有：這表明:周期信號的頻譜就是與它相對應的非周期信號頻譜的樣本。根據傅立葉級數表示：連續時間傅立葉變換如果令則有與周期信號傅立葉級數對比有：這表明:周期信號的8當時，于是有：傅立葉反變換此式表明，非周期信號可以分解成無數多個頻率連續分布、振幅為的復指數信號之和。由于具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱為頻譜密度函數。當時，于是有：傅立葉反變換此式表明，非周期信號可以分解成9于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法這一對關系被稱為連續時間傅立葉變換對。于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法這一對關系被稱為連10

可見，周期信號的頻譜是對應的非周期信號頻譜的樣本；而非周期信號的頻譜是對應的周期信號頻譜的包絡。既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數表示出發，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應該和傅立葉級數的收斂相一致。二.傅立葉變換的收斂可見，周期信號的頻譜是對應的非周期信號頻譜的樣本；而非周11這表明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2.

Dirichlet

條件a.絕對可積條件1.若則存在。也有相應的兩組條件：b.在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值有限。c.在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。這表明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2.Diric12

應該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。和周期信號的情況一樣，當的傅立葉變換存在時，其傅立葉變換在的連續處收斂于信號本身，在間斷點處收斂于左右極限的平均值，在間斷點附近會產生Gibbs現象。

這兩組條件并不等價。例如：是平方可積的，但是并不絕對可積。應該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。13三.常用信號的傅立葉變換：1.010三.常用信號的傅立葉變換：1.010142.結論：實偶信號的傅立葉變換是實偶函數。此時可以用一幅圖表示信號的頻譜。對此例有102.結論：實偶信號的傅立葉變換是實偶函數。此時可以用153.0這表明中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統的單位沖激響應才能完全描述一個LTI系統的特性，才在信號與系統分析中具有如此重要的意義。013.0這表明中包括了所有的頻率成分，且16

顯然，將中的代之以再乘以，即是相應周期信號的頻譜4.矩形脈沖:顯然，將中的代之以再乘以，即是17101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之間有一種相反的關系。101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之18(稱為理想低通濾波器)

與矩形脈沖情況對比，可以發現信號在時域和頻域之間存在一種對偶關系。5.1，0，100(稱為理想低通濾波器)與矩形脈沖情況對比，可以發現信號在19對偶關系可表示如下:101000對偶關系可表示如下:10100020

同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關系。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。對例5.我們可以想到，如果，則將趨于一個沖激。6.若則有因為所以同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關系。即21四.信號的帶寬(BandwidthofSignals):

由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:四.信號的帶寬(BandwidthofSignals222.對包絡是形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個零點內的范圍)為信號帶寬。

下降到最大值的時對應的頻率范圍,此時帶內信號分量占有信號總能量的1/2。1.以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數C(脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時域的相反關系。

2.對包絡是形狀的頻譜，通常定義主瓣寬234.2周期信號的傅立葉變換

到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數表示，非周期信號用傅立葉變換表示。因為數學描述方法的不一致，在某些情況下,會給我們帶來不便。但由于周期信號不滿足Dirichlet條件，因而不能直接從定義出發，建立其傅立葉變換表示。TheFourierTransformationofPeriodicSignals所對應的信號考查4.2周期信號的傅立葉變換到此為止，我們對周期信號用24這表明周期性復指數信號的頻譜是一個沖激。于是當把周期信號表示為傅立葉級數時，因為就有周期信號的傅立葉變換表示若則這表明周期性復指數信號的頻譜是一個沖激。于是當把周期信號25

這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應的傅立葉級數的系數。例1：

這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖26例2：

例3：

均勻沖激串例2：例3：均勻沖激串2701001028例4.周期性矩形脈沖01例4.周期性矩形脈沖01294.3連續時間傅立葉變換的性質

討論傅立葉變換的性質，旨在通過這些性質揭示信號時域特性與頻域特性之間的關系，同時掌握和運用這些性質可以簡化傅立葉變換對的求取。1.線性:Linearity則PropertiesoftheContinuous-TimeFourierTransform若4.3連續時間傅立葉變換的性質討論傅立葉變換的性質，旨302.時移:TimeShifting

這表明信號的時移只影響它的相頻特性，其相頻特性會增加一個線性相移。則若3.共軛對稱性:ConjugateandSymmetry

若

則2.時移:TimeShifting這表明信號的時31所以即若是實信號，則于是有:由可得所以即若是實信號，則于是有:由可得32即實部是偶函數虛部是奇函數若則可得出即：模是偶函數，相位是奇函數若則可得即實部是偶函數虛部是奇函數若則可得出即：模是偶函數，相位是33如果即信號是偶函數。則表明：實偶信號的傅立葉變換是偶函數。表明是實函數。若即信號是奇函數，同樣可以得出:所以又因為如果即信號是偶函數。則表明：實偶信號的傅立葉變換是偶函數34表明是奇函數表明是虛函數若則有:表明是奇函數表明35例:的頻譜:101/20-1/21/20將分解為偶部和奇部有例:的頻譜:101/20-1/21/20將36信號與線性系統管致中第4章連續時間傅立葉變換374.時域微分與積分:

DifferentiationandIntegration(可將微分運算轉變為代數運算)(將兩邊對微分即得該性質)由時域積分特性從也可得到:（時域積分特性）則若4.時域微分與積分:Differentiationand385.時域和頻域的尺度變換:

Scaling當時，有

尺度變換特性表明：信號如果在時域擴展a倍，則其帶寬相應壓縮a倍，反之亦然。這就從理論上證明了時域與頻域的相反關系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數的結論。則若時域中的壓縮（擴展）對應頻域中的擴展（壓縮）5.時域和頻域的尺度變換:Scaling當396.對偶性:Duality若則證明：6.對偶性:Duality若則證明：40信號與線性系統管致中第4章連續時間傅立葉變換41也可由得到證明。根據得這就是移頻特性例如:由有對偶關系利用時移特性有再次對偶有由對偶性可以方便地將時域的某些特性對偶到頻域也可由得到證明。根據得這就是移頻特性例如:由42由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出:由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出:43由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性44由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時域積分特性再次對偶由有頻域積分特性由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時域積分特性再次對偶457.

Parseval定理:若則這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數。7.Parseval定理:若則這表明：信號的能量既464.4卷積性質TheConvolutionProperty一.卷積特性：

由于卷積特性的存在，使對LTI系統在頻域進行分析成為可能。本質上，卷積特性的成立正是因為復指數信號是一切LTI系統的特征函數。則若由表明：4.4卷積性質TheConvolutionProp47故有可將分解成復指數分量的線性組合，每個通過LTI系統時都要受到系統與對應的特征值的加權。這個特征值就是所以故有可將分解成復指數分量的線性組合，每個通48

由于的傅氏變換就是頻率為的復指數信號通過LTI系統時，系統對輸入信號在幅度上產生的影響，所以稱為系統的頻率響應。

鑒于與是一一對應的，因而LTI系統可以由其頻率響應完全表征。由于并非任何系統的頻率響應都存在，因此用頻率響應表征系統時，一般都限于對穩定系統。因為，穩定性保證了由于的傅氏變換就是頻49二.LTI系統的頻域分析法:

根據卷積特性,可以對LTI系統進行頻域分析,其過程為:1.由2.根據系統的描述，求出3.4.二.LTI系統的頻域分析法:根據卷積特性,可以對LTI504.5相乘性質TheMultiplicationProperty利用對偶性可以從卷積性質得出相乘性質若則4.5相乘性質TheMultiplicationP51

兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調制。其中一個信號稱為載波，另一個是調制信號。例1:移頻性質兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個52例2.正弦幅度調制:10例2.正弦幅度調制:105301/201/254

正弦幅度調制等效于在頻域將調制信號的頻譜搬移到載頻位置。例3.同步解調:1/21/41/4正弦幅度調制等效于在頻域將調制信號的頻譜搬移到載頻位55此時，用一個頻率特性為的系統即可從恢復出。20只要即可。具有此頻率特性的LTI系統稱為理想低通濾波器。例4.中心頻率可變的帶通濾波器：此時，用一個頻率特性為20只要即可。具有此頻率特性的56A1理想低通的頻率響應A1理想低通的頻率響應571等效帶通濾波器

相當于從中直接用一個帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個系統相當于一個中心頻率為的帶通濾波器，改變即可實現中心頻率可變。4.6傅立葉變換的性質與傅立葉變換對列表(自學)1等效帶通濾波器相當于從中直接用一個58

工程實際中有相當廣泛的LTI系統其輸入輸出關系可以由一個線性常系數微分方程描述。一般形式的LCCDE是:4.7由線性常系數微分方程表征的系統一.由LCCDE描述的LTI系統的頻率特性:SystemsCharacterizedbyLinearConstant-CoefficientDifferentialEquations工程實際中有相當廣泛的LTI系統其輸入輸出關系可以由59由于是一切LTI系統的特征函數，因此，當系統的輸入為時，系統所產生的響應就是。表明在的情況下，求解LCCDE即可得到。但是這種方法太麻煩，很少使用。對LCCDE兩邊進行傅立葉變換有：由于由于是一切LTI系統的特征函數，因此，60

可見由LCCDE描述的LTI系統其頻率特性是一個有理函數。由此可以看出，對由LCCDE描述的LTI系統，當需要求得其時(比如時域分析時)，往往是由做反變換得到。對有理函數求傅立葉反變換通常采用部分分式展開和利用常用變換對進行。可見由LCCDE描述的LTI系統其頻率特性是一個有61二.頻率響應的求法：1.用微分方程表征的系統二.頻率響應的求法：1.用微分方程表征的系統62例：

可見，對由微分方程所描述的系統通過求頻率響應可以方便地求出其單位沖激響應。例：可見，對由微分方程所描述的系統通過求頻率響應可632.以方框圖描述的系統例：2.以方框圖描述的系統例：643.互聯系統的*級聯:

*并聯:H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)3.互聯系統的*級聯:*并聯:H1(j)H265*反饋聯結:*反饋聯結:661.通過連續時間傅立葉變換，建立了將連續時間信號(包括周期、非周期信號)分解為復指數信號分量的線性組合的方法。2.通過討論傅立葉變換的性質，揭示了信號時域特性與頻域特性的關系。卷積特性是LTI系統頻域分析方法的理論基礎，相乘特性則是通信和信號傳輸領域各種調制解調技術的理論基礎。4.8小結Summary1.通過連續時間傅立葉變換，建立了將連續時間信號(包括67

3.對LTI系統建立了頻域分析的方法。5.

穩定的LTI系統可以通過其頻率響應來描述。4.對由LCCDE描述的LTI系統，可以很方便地由LCCDE或系統框圖得到其。6.建立了系統互聯時，系統頻率響應與各子系統頻率響應的關系。3.對LTI系統建立了頻域分析的方法。5.穩定的LTI68第4章連續時間傅立葉變換

TheContinuoustimeFourierTransform第4章連續時間傅立葉變換

TheContinuous69本章的主要內容:連續時間傅立葉變換;傅立葉級數與傅立葉變換之間的關系;傅立葉變換的性質;系統的頻率響應及系統的頻域分析；本章的主要內容:70

在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應該如何進行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不變系統對非周期信號的響應如何求得，就是這一章要解決的問題。4.0引言Introduction在工程應用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應71

在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，如果將任何非周期信號進行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮大時的極限，從而考查連續時間傅立葉級數在T趨于無窮大時的變化，就應該能夠得到對非周期信號的頻域表示方法。在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，724.1

非周期信號的表示—連續時間傅立葉變換RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一.從傅立葉級數到傅立葉變換我們已經看到，周期性矩形脈沖，當周期增大時，頻譜的幅度隨的增大而下降；譜線間隔隨的增大而減小；但頻譜的包絡不變。再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖：4.1非周期信號的表示—連續時間傅立葉變換Represen73

當時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單個矩形脈沖信號。（a）（b）(a)(b)

00當時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單74由于也隨增大而減小，并最終趨于0，考查的變化，它在時應該是有限的。

于是，我們推斷出:當時，離散的頻譜將演變為連續的頻譜。由當時,由于也隨增大而減小，并最75如果令則有與周期信號傅立葉級數對比有：這表明:周期信號的頻譜就是與它相對應的非周期信號頻譜的樣本。根據傅立葉級數表示：連續時間傅立葉變換如果令則有與周期信號傅立葉級數對比有：這表明:周期信號的76當時，于是有：傅立葉反變換此式表明，非周期信號可以分解成無數多個頻率連續分布、振幅為的復指數信號之和。由于具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱為頻譜密度函數。當時，于是有：傅立葉反變換此式表明，非周期信號可以分解成77于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法這一對關系被稱為連續時間傅立葉變換對。于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法這一對關系被稱為連78

可見，周期信號的頻譜是對應的非周期信號頻譜的樣本；而非周期信號的頻譜是對應的周期信號頻譜的包絡。既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數表示出發，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應該和傅立葉級數的收斂相一致。二.傅立葉變換的收斂可見，周期信號的頻譜是對應的非周期信號頻譜的樣本；而非周79這表明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2.

Dirichlet

條件a.絕對可積條件1.若則存在。也有相應的兩組條件：b.在任何有限區間內，只有有限個極值點，且極值有限。c.在任何有限區間內，只有有限個第一類間斷點。這表明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2.Diric80

應該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。和周期信號的情況一樣，當的傅立葉變換存在時，其傅立葉變換在的連續處收斂于信號本身，在間斷點處收斂于左右極限的平均值，在間斷點附近會產生Gibbs現象。

這兩組條件并不等價。例如：是平方可積的，但是并不絕對可積。應該指出:這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。81三.常用信號的傅立葉變換：1.010三.常用信號的傅立葉變換：1.010822.結論：實偶信號的傅立葉變換是實偶函數。此時可以用一幅圖表示信號的頻譜。對此例有102.結論：實偶信號的傅立葉變換是實偶函數。此時可以用833.0這表明中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統的單位沖激響應才能完全描述一個LTI系統的特性，才在信號與系統分析中具有如此重要的意義。013.0這表明中包括了所有的頻率成分，且84

顯然，將中的代之以再乘以，即是相應周期信號的頻譜4.矩形脈沖:顯然，將中的代之以再乘以，即是85101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之間有一種相反的關系。101000不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之86(稱為理想低通濾波器)

與矩形脈沖情況對比，可以發現信號在時域和頻域之間存在一種對偶關系。5.1，0，100(稱為理想低通濾波器)與矩形脈沖情況對比，可以發現信號在87對偶關系可表示如下:101000對偶關系可表示如下:10100088

同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關系。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。對例5.我們可以想到，如果，則將趨于一個沖激。6.若則有因為所以同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關系。即89四.信號的帶寬(BandwidthofSignals):

由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:四.信號的帶寬(BandwidthofSignals902.對包絡是形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個零點內的范圍)為信號帶寬。

下降到最大值的時對應的頻率范圍,此時帶內信號分量占有信號總能量的1/2。1.以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數C(脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時域的相反關系。

2.對包絡是形狀的頻譜，通常定義主瓣寬914.2周期信號的傅立葉變換

到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數表示，非周期信號用傅立葉變換表示。因為數學描述方法的不一致，在某些情況下,會給我們帶來不便。但由于周期信號不滿足Dirichlet條件，因而不能直接從定義出發，建立其傅立葉變換表示。TheFourierTransformationofPeriodicSignals所對應的信號考查4.2周期信號的傅立葉變換到此為止，我們對周期信號用92這表明周期性復指數信號的頻譜是一個沖激。于是當把周期信號表示為傅立葉級數時，因為就有周期信號的傅立葉變換表示若則這表明周期性復指數信號的頻譜是一個沖激。于是當把周期信號93

這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應的傅立葉級數的系數。例1：

這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖94例2：

例3：

均勻沖激串例2：例3：均勻沖激串9501001096例4.周期性矩形脈沖01例4.周期性矩形脈沖01974.3連續時間傅立葉變換的性質

討論傅立葉變換的性質，旨在通過這些性質揭示信號時域特性與頻域特性之間的關系，同時掌握和運用這些性質可以簡化傅立葉變換對的求取。1.線性:Linearity則PropertiesoftheContinuous-TimeFourierTransform若4.3連續時間傅立葉變換的性質討論傅立葉變換的性質，旨982.時移:TimeShifting

這表明信號的時移只影響它的相頻特性，其相頻特性會增加一個線性相移。則若3.共軛對稱性:ConjugateandSymmetry

若

則2.時移:TimeShifting這表明信號的時99所以即若是實信號，則于是有:由可得所以即若是實信號，則于是有:由可得100即實部是偶函數虛部是奇函數若則可得出即：模是偶函數，相位是奇函數若則可得即實部是偶函數虛部是奇函數若則可得出即：模是偶函數，相位是101如果即信號是偶函數。則表明：實偶信號的傅立葉變換是偶函數。表明是實函數。若即信號是奇函數，同樣可以得出:所以又因為如果即信號是偶函數。則表明：實偶信號的傅立葉變換是偶函數102表明是奇函數表明是虛函數若則有:表明是奇函數表明103例:的頻譜:101/20-1/21/20將分解為偶部和奇部有例:的頻譜:101/20-1/21/20將104信號與線性系統管致中第4章連續時間傅立葉變換1054.時域微分與積分:

DifferentiationandIntegration(可將微分運算轉變為代數運算)(將兩邊對微分即得該性質)由時域積分特性從也可得到:（時域積分特性）則若4.時域微分與積分:Differentiationand1065.時域和頻域的尺度變換:

Scaling當時，有

尺度變換特性表明：信號如果在時域擴展a倍，則其帶寬相應壓縮a倍，反之亦然。這就從理論上證明了時域與頻域的相反關系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數的結論。則若時域中的壓縮（擴展）對應頻域中的擴展（壓縮）5.時域和頻域的尺度變換:Scaling當1076.對偶性:Duality若則證明：6.對偶性:Duality若則證明：108信號與線性系統管致中第4章連續時間傅立葉變換109也可由得到證明。根據得這就是移頻特性例如:由有對偶關系利用時移特性有再次對偶有由對偶性可以方便地將時域的某些特性對偶到頻域也可由得到證明。根據得這就是移頻特性例如:由110由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出:由得所以頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出:111由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻域微分特性112由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時域積分特性再次對偶由有頻域積分特性由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性利用時域積分特性再次對偶1137.

Parseval定理:若則這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數。7.Parseval定理:若則這表明：信號的能量既1144.4卷積性質TheConvolutionProperty一.卷積特性：

由于卷積特性的存在，使對LTI系統在頻域進行分析成為可能。本質上，卷積特性的成立正是因為復指數信號是一切LTI系統的特征函數。則若由表明：4.4卷積性質TheConvolutionProp115故有可將分解成復指數分量的線性組合，每個通過LTI系統時都要受到系統與對應的特征值的加權。這個特征值就是所以故有可將分解成復指數分量的線性組合，每個通116

由于的傅氏變換就是頻率為的復指數信號通過LTI系統時，系統對輸入信號在幅度上產生的影響，所以稱為系統的頻率響應。

鑒于與是一一對應的，因而LTI系統可以由其頻率響應完全表征。由于并非任何系統的頻率響應都存在，因此用頻率響應表征系統時，一般都限于對穩定系統。因為，穩定性保證了由于的傅氏變換就是頻117二.LTI系統的頻域分析法:

根據卷積特性,可以對LTI系統進行頻域分析,其過程為:1.由2.根據系統的描述，求出3.4.二.LTI系統的頻域分析法:根據卷積特性,可以對LTI1184.5相乘性質TheMultiplicationProperty利用對偶性可以從卷積性質得出相乘性質若則4.5相乘性質TheMultiplicationP119

兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調制。其中一個信號稱為載波，另一個是調制信號。例1:移頻性質兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個120例2.正弦幅度調制:10例2.正弦幅度調制:1012101/201/2122

正弦幅度調制等效于在頻域將調制信號的頻譜搬移到載頻位置。例3.同步解調:1/21/41/4正弦幅度調制等效于在頻域將調制信號的頻譜搬移到載頻位123此時，用一個頻率特性為的系統即可從恢復出。20只要即可。