第一章習(xí)

zmgm(RR)m(R2R)

mm(RR)Rm(R2R)Nzmz N

R2z2r2mr(22sin2)

mg

2sincos)mg

mr(

2cos)寫(xiě)出約束在鉛直平面內(nèi)的光滑擺 {x=a(θ?siny=?a(1?cos

YYXφmgcosmgsin設(shè)s為質(zhì)點(diǎn)沿?cái)[線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的路程，取θ=0 {x=a(θ?sinθ)y=?a(1?cosθ) ds= √(dθ?cosθ?dθ)2+(sinθ θ2a 2

2a dθ=4a(1?cos s?=2acosθ2

θ?+2a

θθ?=acos

+2asinθ2設(shè)φ為質(zhì)點(diǎn)所在擺線(xiàn)位置處切線(xiàn)方向與x軸的夾角，取逆時(shí)針為正，tanφtanφ=dy=cosθ

sinφ=?cos

sin ms?=?mgsinφ=mgcos2則2asin2

θ?+acos2

=gcos2

2a?????(簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程)。T= √g該質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)周期與振幅無(wú)關(guān)，為 g證明：設(shè)一質(zhì)量為m的小球做任一角度0的單擺運(yùn) 給式兩邊同時(shí)乘以對(duì)上式兩邊關(guān)于積分

1r2gcos 2lcos利用初始條件0時(shí)0故clcos由

lcoslcosl0兩邊同時(shí)積分可得tl00 1sin2 1sin20sin2220

d

1cosl1 1cosl1 2 220201/4T4t

l0 dsin2sin20sin222由sin2

2

1sin20sin22兩邊分別對(duì)微分可得cos1sin20sin22cos2

sin01sin20sin21sin20sin22由于00故對(duì)應(yīng)的02

sin0cos

1sin20sin2故T

l0 4

l2 sin2sin20sin22lg lg

g0 1K2sin2故T 2 其中K1K2sin2 T

lglg

2K2

(13)2K2

135(2n(246(

K

解：????=??(?????2?????)=????=??(?????????2)=由于???=?????=????????2=????=r=bcosh????=2??????2sinhzzpyx解如圖，在半徑是R的時(shí)候，由萬(wàn)有引力公式，??=?? ,M可知，地球表面的重力加速度g,x????????=????=??

??=??

,M當(dāng)半徑增加?R,R2=R+?R,此時(shí)表面的重力加速度??′????????=????′=??=??

則，半徑變化后的g

??′=??

= ???=?????′=?????

???=

對(duì)⑦式整理，略去二階量，同時(shí)?R遠(yuǎn)小于R，???=?????????=?? 則當(dāng)半徑改變?R???=?????????=?? y?B則y?B質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方其中

r0

rL??=

??=????????+??由于速率恒定，故????=0解：設(shè)，質(zhì)點(diǎn)的加速度的切向分量大小為????，法向分量大小為????。(其中????、????????= ????= {????= ??=??????+ ??=??

????+

??+

??

(??????+

??=??=???????對(duì)⑦

??=

??+??=

??+

????+????=

????(??????+????)+ 其中????是初始角大小。我們把⑧??

? ??????(?????

??

??

+ 當(dāng)我們?nèi)∫欢ǖ某跏紬l件

=??,

=??????時(shí)，令??=????????=

??=??=

解：（1）從A點(diǎn)到原長(zhǎng)位置，此時(shí)間內(nèi)為自由落體運(yùn)動(dòng)mgl1mV2,所以在原長(zhǎng)位置時(shí)：V 因?yàn)榧铀俣葹間，

gtV20g mgkz2 2

zC1

tC2

tlgg ggg gt2

z

gt

gtl

z0t

(

),此時(shí)z

ll2(l22l1gl2(l2l2(l22l1

t2

(

sz1z2l1l21-

??=mgcos??=????cosr=lsin??????=cosv=√??????sincos??T=

????????1-解（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)階段。第一階段為圓周運(yùn)動(dòng)，從釋放質(zhì)點(diǎn)到繩子張力為零；第二（2）mgr(1cos)1mv22mgcos r第二階段，設(shè)上升高度為h，h 聯(lián)立、、h=23rcos2hrcos23r23 因此質(zhì)點(diǎn)上升最高處為o'點(diǎn)上方23l處設(shè)斜拋到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)水平位移為s，s(vcos)tvcos(vsin

)，s=

5r=

5l;rsins55 55l1-解:由自然坐標(biāo)m???=n =nρ即s?=αρ

=αρ

=α

3√1+3∴∫v1ds?=∫?p u v

∴l(xiāng)ns =∫?p dy ∴

ylnu=

p2+y2∴l(xiāng)nu

=?π2π∴v=解（1）以豎直向下為正方向，系統(tǒng)所受合力F=?FN+mAgmBg=mBg,,故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；對(duì)O點(diǎn)，?FN+mAg合力矩為零，mBg過(guò)矩心，故力矩也為零，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒；而對(duì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，唯一做功的是重力（保守力

同時(shí)有rz=得到：mBz??mA(z?lθ?2zθ?2)=mBgmA[(l?z)θ??2z?θ?]=0(3)Aor

2

?2

=mBg（r?得到而由初始時(shí)刻

v02>BaB

mAav0=而mA=mB=mg，故小球在a3a間運(yùn)動(dòng)。1.14(錯(cuò)誤（1（2）以地面為參考系，以O(shè)為原點(diǎn)，建立球坐標(biāo)系。約束條件：r? =cos

mA(r?r?φ?2)=(mA+mA(rφ?+2r?φ?)=?(mA+mB)gsinθsinφmBz?=?mBgcosθ將約束條件連續(xù)求兩次導(dǎo)，帶入上邊方程，消去Z(mA+mB)r?mArφ?2=(mA+mB)gsinθcosφ?mBgmA(rφ?+2r?φ?)=?(mA+mB)gsinθsinφ(3)水平方向動(dòng)量守恒，則vmcosu2v2v有余弦定理得：cos() rm2cos2 m2cos2 2mcos21 mvrm2mvrm2m2cos22mmcos2解73解：把A、Bvc

(mAmB)vc所以得v

mAB mAB由易知AB

mAmB

mAmB

l以質(zhì)心CxCyC及桿和x ??=????×????????+L

m)xyk

mAm

l2klmv C

BBmABBT1(mm)

2

v20

2

m 1解：設(shè)m和1

'211m的速度變?yōu)関'211

2的速度變?yōu)?

223m與223

22'v2m3的速度變?yōu)?m1和m2而言，則有：'m1v1=m1v1+m2' 2 2m1v1=2m1v1+2m2'兩式聯(lián)立消去v1，則有v2'

m1對(duì)于m2和m3'm2v2=m2v2+m3' 2 2m2v2=2m2v2+2m3'm由以上兩式聯(lián)立消去v則有v'm

2m2 2

v

3(mm).(mm 將上式對(duì)m2d 4mv(m2mm3 1

2d 2

)2(m2)232)2m2由dv30可m24m1m1m3 即當(dāng)m2

m1m3時(shí)v3最大且v3max解????=∑

×??=∑????×dM=sin????????????+cos??????=sin??=R=√??+M=??2??????+??2??????????L=??3??(?????)???+??3???????=????=?v=????=√???

(??2?2cos??+L=tan??(?+??)????0=??????2??(??+??)21m??2=????(????)+1????2(??+??)2tan2??+

若質(zhì)點(diǎn)要飛出漏斗，則在漏斗最高點(diǎn)??????>0,??1=tan??(??+??)b=cot????21m??2≥????(????)+1????2(??+??)2tan2 ??2≥(2g(cot??(??1???2)??)??2)/??2?(?tan??+ 解法一:由題意 m(r2r2sin2)=Fr+mg rr2sincosgsin sin2cos 由

tan整理并積分可得

將之代入②可

r

a

cosgsin cosra 整理并積分可得

（正值舍去 由題意知， 時(shí)若要質(zhì)點(diǎn)不飛出去，則2a2c0ca由題意知，初態(tài)時(shí)刻即cosr

時(shí)也有1 2g(1 2g(r2h2r2h已知初態(tài)時(shí)速度為v0r2h聯(lián)立④⑤⑥即

v0

2grrsin??????0=1????2=1????2+ v0。

2gr Gmx1mx2————且x1x2R[sin(sin()]mgFncos()ma1y————Fnsin()ma1x————Fnsin()ma2x————ta2xdtdtx2————0ta1ydtdtR[coscos()]————0a2

mm

R[cos()2sin()]————m(ga1y)

ma2

————cos( sin(

[sin()(mm)tan()][g

m

]d————0對(duì)⑾兩邊同時(shí)積分，并且000

0 2g( 2g(mm)sin( mRcos2()2mR[sin()sin]cos(??=??cos????+??sin????=(?????+??cos??)??+??sin??(???????cos??)??=??????′ ′ 2????+2??????=??????cos???cos2????(cos???cos??′+??=√1? ??′+ 2??(cos???cos??′+ω=??=√??(1? cos??′+（此結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)答案形式根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：????2?=ρ=?=????????+λ=A=B=L??=cosh??=√??

??+√??2???=OR夾角為θ，極角為φNO’m方向。φ=ωt+????=????????????=??sin??=2Rcos????=r???=?2??(cos?????+sin?????+cos?????2)?????2??(2sin?????????cos???????=????????+????????=???+??2sin??cos??=解：對(duì)于 my=-對(duì)于三角 m'x體系滿(mǎn)足約 m'運(yùn)動(dòng)方程 xtana-g+nx x=gmm'cot2

mm'cot2 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為Ｌ，在距離左端l處取一質(zhì)元ｄl，其質(zhì)量為????=??=??????= ????=????=??1

1 ??????

????2????2

2

????=01

122

??????

6????=2 ′????=2??????+????+??′=???=???+3??′3ω=√??′+3解A????=Fcos??B????=Fsin?? =????+????=??=??0，故質(zhì)心為焦點(diǎn)做圓錐曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。如圖，以O(shè)rr

r2R212

，arctanRR11依次求導(dǎo)，有r ，r11

113

2arctan，

2222tanx2

1

11

Fr

1cosx1

FF

sinx111

12

2222

22

1

2

2

1

1

222B0

B2222

v

，所以v

R2

44

1

112v0tC，又由r01

，00，C2所以

BR

2 2

mRB

rrvrv0sin

而v

v

cosRR

rr2

R r2r r 同時(shí)由于rv 積

rdrv 可 rt0rt 1

v2

0

2R2r

r2r2r3r2r 2r3r2rrr2 rr2

r2 r

r2r v2R2 2r2r2r而由123代入徑向方程可得

m rv0

r2r22v0

r3

FT 2R2r r2R2 rr2rrr2r

m

r

rr rrr2mv22R3r2R2Rr2r2

FT 2v02v0??=??(??+????=sin????0=tan??=tan??(1+tan2??)???=??(??=0)=cos2?? ??0??+

0????=0

??=√2?? 2??1??1+2??2??2=??1???? ??1?????1????1=???=?=tan????1???2cos??sin√????=y=0,可以解得下落時(shí)間。?????mgsin??=???????=????cos???

=4μ2+

(2??cos??+sin???2∫??????????=0??=(2??2+（與標(biāo)準(zhǔn)答案有出入：????=（??解mdvv

dmmgdvgvr dvgdtvr設(shè)mm0ftdvgdt

vr

ft0時(shí)f0 故v

lnmogt解：建立豎直向上的坐標(biāo)z，設(shè)軟鏈最高能被提到hmghhpzgdz 2h=2m/p

h22m/p1.32雨滴下落時(shí)，其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，求雨滴速度與時(shí)間的關(guān)系。解：設(shè)雨滴的本體為m.由物理學(xué)知d(mv)

設(shè)其半徑為r,則雨滴質(zhì)量m是與半徑r的三次方成正比，密度看成是不變的，于是1mkr3 1其中k1為常數(shù)dmk4r2k 其中k2為常數(shù)。由(2)，

r2

dm

3r2dr

dr

對(duì)(5)adr0dtrt

1mk(t1

(7d[k(ta)3v]k(ta)3

(8 vd[k(ta)3v]tk(ta)3 01k(ta)3v1kga

1kg(ta)41 1g

,（k3為常數(shù)a當(dāng)t0時(shí)v0，故

,v

[ta

(ta)3（1）

mdv0

g

dm.

dm

mdvmgkm 0 0

dv00

gkm0vr

kvrg（2）t時(shí)刻火箭的質(zhì)量為m

m'dvmgkmv又m'mkmt

0dv(g