直線與圓的位置關系相交相切相離圖形

公共點個數

公共點名稱

直線名稱圓心到直線距離d與半徑r的關系2個交點割線1個切點切線d<rd=rd>r沒有回顧：

圖中直線l滿足什么條件時是⊙O的切線？探究：Ol方法1：直線與圓有唯一公共點方法2：直線到圓心的距離等于半徑注意：實際證明過程中，通常不采用第一種方法;下面我們從方法2進一步研究圓的切線的判定方法。

O

在⊙O上任意取一點A，連接OA，過點A作直線l⊥OA。思考：lA操作與觀察：d=r相切（1）圓心O到直線l的距離d和圓的半徑r有什么數量關系?（2）⊙O與直線l位置有什么關系？（3）由上述操作,發現了什么？發現：①直線l經過半徑OA的外端點A，②直線l與半徑OA垂直.直線l與⊙O相切(1)直線l經過半徑OA的外端點A；(2)直線l垂直于半徑0A．

則:直線l與⊙O相切這樣我們就得到了從“位置”的角度得到圓的切線的判定方法——切線的判定定理．AOl發現：直線與半徑的位置切線的判定定理：

經過半徑的外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線。

注意：必須同時滿足兩個條件①經過半徑外端；②垂直于這條半徑．AOlOrl

A∵OA是⊙O的半徑,直線l

⊥OA于點A∴直線l是⊙O的切線定理的符號語言表達：切線的判定定理應用（一）1、判斷：(1)過半徑的外端的直線是圓的切線（）(2)與半徑垂直的直線是圓的切線（）(3)過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA試一試分析：①直線AB經過半徑OA的外端點A，②直線AB與半徑OA垂直.直線AB與⊙O相切試一試證明：∵AB是⊙O的直徑∴∠BDA=90°則∠B+∠BAD=90°

∵∠B=∠CAD∴∠CAD+∠BAD=90°即AC⊥AB∴AC是⊙O的切線解：BD是⊙O的切線證明：∵∠BAD=∠B=30°∴∠BDA=120°∵OA=OD∠A=∠ADO=30°∴∠BDO=∠BDA—∠ADO=90°

即BD⊥DO∴BD是⊙O的切線切線的判定定理應用（二）

例1如圖，已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC例題：切線必須同時滿足兩個條件：①經過半徑外端；②垂直于這條半徑．分析：AB是⊙O的切線：①AB經過⊙O半徑外端；②AB垂直于這條半徑．題中“直線AB經過⊙O上的點C”連結OC為半徑，證OC⊥AB即可？

例1如圖，已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。OBAC例題：？證明：∴l是⊙O的切線，連結OC，∵點C在⊙O上∴OC是⊙O的半徑∵CA=CB，即C為AB的中點

OA=OB∴OC⊥AB例2如圖，已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D,以O為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。OABCEDAC是⊙O的切線：①AC經過⊙O半徑外端；②AC垂直于這條半徑．分析：例2如圖，已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D,以O為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。COABED證明：過O作OE⊥AC，垂足為E；

∵O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D，

∴OE=OD=R，

∴⊙O與AC相切OBACOABCED歸納：例1與例2的證法有何不同?(1)如果已知直線經過圓上一點,則連結這點和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這條直線垂直.簡記為：有交點，連半徑,證垂直.(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點,則過圓心作直線的垂線段,再證垂線段長等于半徑長.簡記為：無交點,作垂直,證半徑.例1已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB。求證：直線AB是⊙O的切線。例2已知：O為∠BAC平分線上一點，OD⊥AB于D,以O為圓心，OD為半徑作⊙O。求證：⊙O與AC相切。O●ABCD1.如圖,線段AB經過圓心O,交⊙O于點A,C,∠A＝∠B＝30°,邊BD交圓于點D。求證：BD是⊙O的切線30°30°證明：連結OD∵OA＝OD,∠A＝30°即

OD⊥BD又∵直線BD經過⊙O上的D點∴直線BD是⊙O的切線∴∠ODA＝∠A＝30°∴∠BDO＝∠ADB－

∠ODA

=

90°∴∠ADB=120°∵∠A＝∠B＝30°鞏固：有交點，連半徑，證垂直

2.如圖,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O為圓心,OE為半徑作⊙O.求證：AB是⊙O的切線.FECOBA鞏固：無交點，作垂直，證半徑證明：作OF⊥AB于點F∵AB=AC,AO⊥BC∴AO平分∠BAC

∵OE⊥AC，OF⊥AB∴OE=OF=R∴AB是⊙O的切線3.如圖,AB是⊙O的直徑,點D在AB的延長線上,BD=OB,點C在⊙O上,∠A=30°.求證:DC是⊙O的切線.ABCDO有交點，連半徑，證垂直鞏固：證明：連接OC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∵∠A=30°，

∴∠ABC=60°．

∵OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

∴BC=OB=BD，△BCD為等腰三角形，∠CBD=120°．

∴∠D=∠BCD=30°，

∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,即OC⊥CD∴DC是⊙O的切線．30°60°120°60°30°1.切線的判定方法有三種：（1）直線與圓有唯