試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北師大版（2019）選修第二冊第二章全章綜合檢測一、單選題1．函數的圖象大致是（）A． B．C． D．2．對于函數（為自然對數的底數），給出下列結論：①當時，函數是上單調遞增的奇函數；②當時，的圖象在處的切線方程為；③當時，在上有兩個極值點，且極小值屬于區間；④當時，函數在上有兩個零點．其中所有正確結論的個數是A．1 B．2 C．3 D．43．函數的圖象在處的切線方程為（）A． B．C． D．4．已知定義在上的函數滿足，則下列式子成立的是（）A． B．C． D．5．若函數在上可導，且，則A． B． C． D．以上都不對6．已知函數在區間上是單調增函數，則實數的取值范圍為A． B． C． D．7．意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數學界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數學表達式為雙曲余弦型函數：（e為自然對數的底數）．當a=2時，記，，，則p，m，n的大小關系為（）A． B．C． D．8．函數在區間上的平均變化率為（）A．-1 B．1 C．2 D．3二、多選題9．某果園引入數字化管理系統，對果園規劃，果樹種植?環境監測?生產銷售等進行統一管理.經數據分析師建模.測算﹐果園內某種熱帶水果的年產量為萬斤，年成本為萬元，單價(萬元/萬斤)是與產量相關的隨機變量，其分布列為：利用該模型進行分析﹐下列說法正確的是（）A．期望隨著年產量的增大而減小，最高為萬元/萬斤B．年成本隨著年產量的增大而減小C．方差為定值D．利用該模型估計，當年產量時，該果園年利潤取得最大值，最大利潤約為萬元10．下列曲線中，與直線相切的是（）．A．曲線 B．曲線C．曲線 D．曲線11．函數、，下列命題中正確的是（）A．不等式的解集為B．函數在上單調遞增，在上單調遞減C．若函數有兩個極值點，則D．若時，總有恒成立，則12．在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(一個數學分支)里一個非常重要的定理，簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象為連續不斷的函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列為“不動點”函數的是（）A． B．，C． D．三、雙空題13．函數的圖像在點處的切線為，則實數的值為______，切點的坐標為__________．四、填空題14．如果對定義在R上的函數,對任意兩個不相等的實數都有①②③④以上函數是“”的所有序號為_______________.15．若對，函數在內總不是單調函數，則實數的取值范圍是______16．對于三次函數，給出定義：設是的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”，任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數，則__________．五、解答題17．設函數.（1）設，，，證明：在區間內存在唯一的零點；（2）設，若對任意，都有，求b的取值范圍.18．已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）記，是的導函數，如果是函數的兩個零點，且滿足，證明：.19．1.已知函數，.(1)討論函數的單調性；(2)當時，求證：函數在區間上有且僅有一個零點.20．已知函數處的切線l與直線垂直，函數（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；（Ⅲ）設是函數的兩個極值點，若，求的最小值．21．曲線C：在點處的切線為：，在點處的切線為：，求曲線C的方程．22．已知函數（為實數）．（1）當曲線與直線切于點時，求，的值；（2）設，如果在上恒成立，求的取值范圍．答案第=page2323頁，共=sectionpages2323頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】由函數為偶函數可排除A，由定義域可排除C，然后當時，求出函數的導數，得出在上的單調性，在區間內有極小值，由此排除D，得出答案.【詳解】易知為偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，由此排除A;由定義域知，由此排除C；又當時，由，令，解得，令，解得所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.所以在區間內有極小值，由此排除D故選：B2．C【解析】【分析】利用導數的幾何意義，結合利用導數研究函數單調性、極值點、極值以及零點問題的處理辦法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】對于①：，，其定義域為，且，故是奇函數；且，因為，，所以，①正確；對于②：，，，在處的切線為，②不正確；對于③：，，解，由，的圖象數形結合可得僅有一個極小值點和極大值點，且，，其極小值，③正確；對于④：，，且時，，可得在上沒有零點；，在上，，，存在唯一，使得，當時，，當時，；，由題意得，且，所以和上各有一個零點，④正確．故選：C．【點睛】本題通過函數與導數結合，判斷命題的真假，考查了學生的邏輯推理、直觀想象與數學運算等數學核心素養．3．A【解析】【分析】求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】，則，故，因為，因此，函數的圖象在處的切線方程為，即.故選：A.4．A【解析】構造函數，求導判定函數單調性，根據單調性得化簡即可.【詳解】解：依題意，令，則在上恒成立，所以函數在上單調遞減，所以即故選：A.【點睛】四種常用導數構造法：（1）對于不等式(或)，構造函數．（2）對于不等式(或)，構造函數．（3）對于不等式(或)，構造函數．（4）對于不等式(或)，構造函數．5．B【解析】【分析】求函數的導數，然后求出f′（1）的值，得到函數的二次函數解析式，判斷即可【詳解】函數的導數f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），即f′（1）=-2，故f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，函數的對稱軸為x=2，則f（0）=f（4），故選B．【點睛】根據函數的導數公式求出f′（1）的值是解決本題的關鍵，題中2f′（1）作為二次函數中的一次項的系數存在，在求導時若g（x）=ax，則g′（x）=a．6．B【解析】【詳解】因為在上是單調增函數，所以，總有，即恒成立，整理得到.令，則.因為在是單調減函數且，所以在上恒成立，故在上是恒成立的，在上為增函數，所以，故，選B.點睛：此題為與對數函數與三角函數有關的復雜函數，根據其單調性可知導數在給定的范圍上是非負的，從而原不等式的恒成立就轉化為在上的恒成立問題，故只要考慮函數在的最大值，通過導數的符號可以得到的單調性從而得到最大值為，也就是.7．B【解析】【分析】利用定義判斷函數的奇偶性，再利用導數得到函數在區間上單調遞增，分析即得解【詳解】由題意知，，當a=2時，定義域為，且故為偶函數又，當時，，即函數在區間上單調遞增因為，又，所以，即故選：B8．B【解析】直接利用平均變化率公式進行求值.【詳解】因為，所以在區間上的平均變化率為.故選：B【點睛】本題考查函數的平均變化率，考查運算求解能力，屬于基礎題.9．AC【解析】【分析】故隨著年產量的增大而減小，最高為(萬元/萬斤)，故A正確；年成本隨著年產量的增大而增大，故B錯誤﹔，故C正確﹔當時，單調遞增，當時，單調遞減﹐則當年產量時，年利潤取得最大值，約為萬元﹐故D錯誤；【詳解】故隨著年產量的增大而減小，最高為(萬元/萬斤)，故A正確；，易知故年成本隨著年產量的增大而增大，故B錯誤﹔，故C正確﹔年利潤則當時，單調遞增，當時，單調遞減﹐則當年產量時，年利潤取得最大值，約為萬元﹐故D錯誤；故選：AC.10．ABD【解析】對A，聯立直線與曲線方程，利用判別式可判斷；對B，求出曲線導數，令導數等于2，求出切點，再驗證切點是否滿足；對C，根據直線與漸近線平行可判斷；對D，求出曲線導數，令導數等于2，求出切點，再驗證切點是否滿足.【詳解】對A，將直線代入曲線可得，則，則直線與曲線相切，故A正確；對B，直線的斜率為2，對，可得，令，解得，代入直線可得切點為，滿足在上，故直線與曲線相切，故B正確；對C，的一條漸近線為，和直線平行，故直線與曲線相交于一點，故不相切，故C錯誤；對D，又可得，令，解得或1，當時，代入直線可得切點，不滿足在曲線上；當時，代入直線可得切點為，滿足在曲線上，故直線與曲線相切，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查判定直線與曲線是否相切，一般采用的方法為，若曲線是橢圓、雙曲線或拋物線，可聯立直線與曲線方程，利用判別式判斷；若曲線是函數曲線，則可通過求導進行判斷.11．AD【解析】【分析】利用導數研究函數的單調性，極值點，結合恒成立問題求參，對選項進行逐一分析即可.【詳解】因為、，則，令，可得，故在該區間上單調遞增；令，可得，故在該區間上單調遞減.又當時，，且，故的圖象如下所示：對A，數形結合可知，的解集為，故A正確；對B，由上面分析可知，B錯誤；對C，若函數有兩個極值點，即有兩個極值點，又，要滿足題意，則需在有兩根，也即在有兩根，也即直線與的圖象有兩個交點.數形結合則，解得.故要滿足題意，則，故C是錯誤的；對D，若時，總有恒成立，即恒成立，構造函數，則對任意的恒成立，故在單調遞增，則在恒成立，也即在區間恒成立，則，故D正確.故選：AD.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，最值，極值點個數，恒成立問題求參數范圍，屬較難題.12．BD【解析】對于ABC：通過解方程可得答案；對于D，通過作出兩個函數的圖象可得答案.【詳解】四個選項中的函數的圖象顯然都是連續不斷的，對于A：當時，該方程無解，故A不滿足；對于B：當，時，解得，故B滿足；對于C：當，即時，無實數根，故C不滿足；對于D；畫出與的圖象顯然有交點，即存在一個點，使得，故D滿足；綜上，BD均滿足.故選：BD【點睛】關鍵點點睛：利用“不動點”函數的定義求解是解題關鍵.13．【解析】【分析】設切點，利用導數幾何意義和兩點連線斜率公式可構造方程求得，進而得到切線斜率和切點坐標.【詳解】由題意得：，設直線與相切于點，，又直線恒過點，，，解得：，，切點故答案為：；.【點睛】方法點睛：本題考查“在”與“過”某一點的曲線切線方程的求解，方法如下：（1）“在”：該點必為切點，則切線方程為；（2）“過”：分為該點是切點和不是切點兩種情況，若是切點，則與“在”某一點的切線方程的求法相同；若不是切點，求法如下：①假設切點坐標；②利用切線斜率，構造方程，可求得切線斜率；③根據直線點斜式求得切線方程：.14．①②【解析】【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等價為（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即滿足條件的函數為單調遞增函數，判斷函數的單調性即可得到結論．【詳解】∵對于任意給定的不等實數x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等價為（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函數f（x）是定義在R上的增函數．y=ex+1為增函數，滿足條件；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函數單調遞增，滿足條件；y=﹣x3+x+1；y′=﹣3x2+1，則函數在定義域上不單調，不滿足條件；④．當x＞0時，函數單調遞增，當x＜0時，函數單調遞減，不滿足條件．綜上滿足“H函數”的函數為①②，故答案為：①②．【點睛】本題主要考查抽象函數的應用，結合函數的單調性，將條件轉化為函數的單調性的形式是解決本題的關鍵．15．【解析】【分析】首先求出函數的導函數，令，解得或，依題意可得位于內，得到不等式組，解得的取值范圍；【詳解】解：因為，所以令，解得或要使函數，對在內總不是單調函數，所以解得即故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，根據函數在區間上的單調性求參數的取值范圍，屬于中檔題.16．【解析】【詳解】由題可得：，所以對稱中心為（，），設g(x)上任意一點，因為關于（，）對稱，所以P關于其對稱的對稱點為在g(x)上，且所以，故201717．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）判斷的符號，利用導數判斷的單調性，結合零點判斷定理，即可得證；（2）由題意可得在，的最大值與最小值的差，討論對稱軸與區間，的關系，求得最值，可得，解不等式可得的范圍．【詳解】解：（1）證明：因為，，，所以，所以，所以在，存在零點，又當，時，，即在，遞增，所以在區間內存在唯一的零點；（2）當時，對任意，，，都有等價為在，的最大值與最小值的差．①當或，即或時，，解得或；②當，即時，恒成立；③當，即時，恒成立．綜上，的取值范圍為．18．（1）見解析（2）見解析【解析】【詳解】分析：（1）取出函數的導數，結合二次函數的性質，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，即可；（2）求出，令，則，根據函數的單調性證明即可．詳解：（1）的定義域為，.設，為二次函數，對稱軸，且恒過點，（i）當時,，所以，在上單調遞減；（ii）當時，令，可得，.若時，.當時，，；時，，.所以在上單調遞減；在上單調遞增.當時，,.對任意，，恒成立，所以在上單調遞減；當時，，.當時，，；時，，.所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減；在上單調遞增.當時，在上單調遞減.當時，在上單調遞減；在上單調遞增.（2），.將兩式相減，整理得，即，所以令，，則，所以在上單調遞減，故又，所以.點睛：本題主要考查導數在函數中的應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用．19．(1)當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為.(2)證明過程見解析【解析】【分析】（1）求出導數，然后通過對分情況討論，研究導數的符號研究函數的單調性；（2）結合第一問的結果，判斷出函數在上的單調性，然后結合端點處的函數值的符合證明(1)，當時，，由得：，由，得：，故此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為當時，令得：或由得：，此時由得：或，此時故此時的單調遞減區間為，，單調遞增區間為綜上：當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為.(2)由（1）可知，當時，的單調遞增區間為，而，所以在上單調遞增，又，所以，由零點存在性定理可得：：函數在區間上有且僅有一個零點20．（Ⅰ）；（Ⅱ）實數的取值范圍為；（Ⅲ）所求最小值為.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用求導，將處的切線的斜率求出，與直線的斜率乘積為，進而求得的值；（Ⅱ）根據（Ⅰ）得到的解析式，若函數存在單調遞