第31頁（共31頁）2021-2022學年遼寧省沈陽134中九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題2分，共20分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（2分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．圓柱 B．圓錐 C．三棱錐 D．三棱柱2．（2分）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形 C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC＝BD時，它是正方形3．（2分）某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，可列出方程為（）A．50（1+x）2＝60 B．50（1+x）2＝120 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120 D．50（1+x）+50（1+x）2＝1204．（2分）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，則EF的長是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（2分）一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情況是（）A．沒有實數根 B．只有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根6．（2分）如圖，點A是反比例函數y＝的圖象上的一點，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣87．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交點O，AC＝10，則PQ的長度為（）A．10 B．5 C．2.5 D．2.258．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝9．（2分）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖所示折線統計圖（）A．不透明袋中裝有大小和質地都相同的1個紅球和2個黃球，從中隨機取一個，取到紅球 B．任意寫一個整數，它能被2整除 C．擲一枚正六面體的骰子，出現1點朝上 D．先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣，兩次都出現反面10．（2分）二次函數y＝﹣x2+2x的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，答案寫在答題卡上）11．（3分）將拋物線y＝x2向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得拋物線相應的函數．（寫出頂點式即可）12．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC的角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點Fcm．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，延長BE交AD于點F，若∠DEB＝140°°．14．（3分）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB＝5米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米．15．（3分）在平面直角坐標系中，△ABC頂點A的坐標為（2，4），若以原點O為位似中心1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的相似比等于2，則點A1的坐標為．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D為邊AC的中點，若將△CDP沿DP折疊得△EDP，若點E在△ABC的中位線上．三、解答題（本大題共9個小題，共82分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x+3）＝2x．18．（8分）補全如圖立體圖形的三視圖．19．（8分）小亮和小麗進行摸球試驗．他們在一個不透明的空布袋內，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回（1）小亮隨機摸球1次，能摸出白球的概率為；（2）若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE∥CD，CE∥AB．（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論．（2）連接BE，若∠BAC＝30°，CE＝1．21．（8分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：售價在40～60元范圍內（包含端點值），其銷售量就將減少10個．（1）當這種臺燈上漲5元時，其銷售量為個．（2）為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？22．（10分）如圖，已知二次函數y＝ax2﹣4x+c的圖象經過點A（﹣1，﹣1）和點B（3，﹣9）．（1）求該二次函數的表達式；（2）直接寫出拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在該函數圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱23．（10分）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y1＝在第一象限內的圖象與直線y2＝x交于點D，且反比例函數y1＝交BC于點E，AD＝3．（1）求D點的坐標及反比例函數的關系式；（2）若矩形的面積是24，求出△CDE的面積．（3）直接寫出當x＞4時，y1的取值范圍．24．（12分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，將AD繞點D順時針旋轉α得到ED，連接BE．（1）問題發現：如圖1，α＝90°，點D在邊BC上①AF與BE的數量關系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點D在邊BC上，并給予證明．（3）解決問題如圖3，90°＜α＜180°，點D在射線BC上，若AB＝8，請直接寫出BE的長．25．（12分）如圖1，在Rt△ABC中，AC＝8cm，點P從點A出發，沿斜邊AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB交AC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，連接CM，設運動時間為x（s）（0＜x＜）．（1）當x＝1時，點P到AC的距離為cm，點M到AC的距離為cm；（2）如圖2，過點P作PD⊥AC于點D．①用含x的代數式表示CD的長，并寫出求解過程；②當點P、M、C三點共線時，直接寫出此時正方形的邊長；（3）若△CMQ是等腰三角形，直接寫出x的值．

2021-2022學年遼寧省沈陽134中九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題2分，共20分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1．（2分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．圓柱 B．圓錐 C．三棱錐 D．三棱柱【分析】根據三視圖得出幾何體即可．【解答】解：由主視圖和左視圖都為三角形，而俯視圖是圓，故選：B．2．（2分）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形 C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC＝BD時，它是正方形【分析】分別根據菱形、矩形和正方形的判定逐項判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當AB＝BC或AC⊥BD時，四邊形ABCD為菱形、B結論正確；當∠ABC＝90°時，四邊形ABCD為矩形；當AC＝BD時，四邊形ABCD為矩形，故選：D．3．（2分）某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，可列出方程為（）A．50（1+x）2＝60 B．50（1+x）2＝120 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝120 D．50（1+x）+50（1+x）2＝120【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設二、三月份每月的平均增長率為x，根據“計劃二、三月份共生產120臺”，即可列出方程．【解答】解：設二、三月份每月的平均增長率為x，則二月份生產機器為：50（1+x），三月份生產機器為：50（1+x）3；又知二、三月份共生產120臺；所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）7＝120．故選：D．4．（2分）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，則EF的長是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據平行線分線段成比例定理得到＝，然后根據比例的性質求EF的長．【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴＝，即＝，∴EF＝6．故選：B．5．（2分）一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情況是（）A．沒有實數根 B．只有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出Δ＞0，由此即可得出原方程有兩個不相等的實數根．【解答】解：4x2﹣5x+＝3，這里a＝4，b＝﹣3，b2﹣7ac＝（﹣3）2﹣8×＝5＞0，所以方程有兩個不相等的實數根，故選：D．6．（2分）如圖，點A是反比例函數y＝的圖象上的一點，垂足為B．點C為y軸上的一點，連接AC，則k的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【分析】連接OA，如圖，利用三角形面積公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到|k|＝4，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．【解答】解：連接OA，如圖，∵AB⊥x軸，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝7，∵k＜0，∴k＝﹣8．故選：D．7．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交點O，AC＝10，則PQ的長度為（）A．10 B．5 C．2.5 D．2.25【分析】先由矩形的性質可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再由三角形中位線定理可得PQ＝DO，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝，∴DO＝BD＝5，∵點P、Q是AO，∴PQ是△AOD的中位線，∴PQ＝DO＝2.6，故選：C．8．（2分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝【分析】根據已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選：C．9．（2分）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一結果出現的頻率，繪制了如圖所示折線統計圖（）A．不透明袋中裝有大小和質地都相同的1個紅球和2個黃球，從中隨機取一個，取到紅球 B．任意寫一個整數，它能被2整除 C．擲一枚正六面體的骰子，出現1點朝上 D．先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣，兩次都出現反面【分析】根據統計圖可知，試驗結果在0.33附近波動，即其概率P≈0.33，計算四個選項的概率，約為0.33者即為正確答案．【解答】解：A、不透明袋中裝有大小和質地都相同的1個紅球和2個黃球，取到紅球的概率＝，符合題意；B、任意寫一個整數，不符合題意；C、擲一個質地均勻的正六面體骰子≈7.17；D、先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣，不符合題意；故選：A．10．（2分）二次函數y＝﹣x2+2x的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】利用排除法解決：首先由a＝﹣1＜0，可以判定拋物線開口向下，去掉A、C；再進一步由對稱軸x＝﹣＝1，可知B正確，D錯誤；由此解決問題．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x，a＜3，∴拋物線開口向下，A、C不正確，又∵對稱軸x＝﹣＝8，∴只有B符合要求．故選：B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，答案寫在答題卡上）11．（3分）將拋物線y＝x2向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得拋物線相應的函數y＝（x+4）2﹣3．（寫出頂點式即可）【分析】直接利用二次函數圖象平移的性質即可得到平移后的解析式．【解答】解：將拋物線y＝x2向左平移4個單位長度，得到的解析式為：y＝（x+2）2，再向下平移3個單位長度，得到的解析式為：y＝（x+8）2﹣3，故所得拋物線相應的函數表達式是：y＝（x+7）2﹣3．故答案為：y＝（x+2）2﹣3．12．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC的角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F3cm．【分析】利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，進而得出∠AEB＝∠CBF，再利用角平分線的性質得出∠ABF＝∠CBF，進而得出∠AEB＝∠ABF，即可得出AE的長，即可得出答案．【解答】解：∵在平行四邊形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠ABC的角平分線交AD于點E，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABF，∴AB＝AE，∵AB＝4cm，AD＝7cm，∴DE＝4cm．故答案為：3．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，延長BE交AD于點F，若∠DEB＝140°65°．【分析】先由正方形的性質得出CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，根據SAS證出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的對應角相等得出∠DEC＝∠BEC＝70°，然后根據對頂角相等求出∠AEF，根據正方形的性質求出∠DAC，最后根據三角形的內角和定理即可求出∠AFE的度數．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝∠DEB＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故答案是65°．14．（3分）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB＝5米，在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6米10m．【分析】根據平行的性質可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形對應邊成比例即可求出DE的長．【解答】解：如圖，在測量AB的投影時，∵△ABC∽△DEF，AB＝5m，EF＝6m∴＝∴∴DE＝10（m）故答案為10m．15．（3分）在平面直角坐標系中，△ABC頂點A的坐標為（2，4），若以原點O為位似中心1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的相似比等于2，則點A1的坐標為（1，2）或（﹣1，﹣2）．【分析】根據位似變換的性質計算即可．【解答】解：∵以原點O為位似中心，畫△ABC的位似圖形△A1B1C8，使△ABC與△A1B1C4的相似比等于2，點A的坐標為（2，∴點A5的坐標為（2×，4×），8×（﹣，即（4，﹣2），故答案為：（1，5）或（﹣1．16．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D為邊AC的中點，若將△CDP沿DP折疊得△EDP，若點E在△ABC的中位線上2或6或8﹣2．【分析】分三種情況討論：①當E在AB邊的中位線上時；②當E在BC邊的中位線上時；③當E在AC邊的中位線上時；分別畫圖求解即可求．【解答】解：①如圖1，設BC邊中點為M，當E在DM上時，由折疊可知，CP＝PE，∵BC＝9，AC＝12，∴AB＝15，CM＝，∵BC＝9，AC＝12，∴CD＝2，∴DM＝，DE＝6，∴EM＝，在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2，∴（﹣CP）2＝CP2+（）2，∴CP＝7； ②如圖2，設AB邊的中點為N，當E點落在DE上時，∵BC＝9，AC＝12，∴CD＝4，DN＝，由折疊可知，DE＝CD，∵DE∥CB，∴∠CDE＝90°，∴四邊形CDEP是矩形，∵DE＝CD，∴四邊形DCPE是正方形，∴CP＝CD＝3；③如圖3，設BC、N，連接MN，當E點落在MN上時，由折疊可知，DE＝CD，∠C＝∠DEP＝90°，∵BC＝9，AC＝12，∴CM＝，CD＝6，MN＝6，在Rt△DEN中，DE5＝DN2+EN2，∴42＝NE2+（）2，∴NE＝，∴EM＝5﹣，在Rt△PEM中，PE2＝EM2+PM5，∴CP2＝（﹣CP）2+（6﹣）5，∴CP＝8﹣2；綜上所述，CP的值為2或6或7﹣2，故答案為：5或6或8﹣8．三、解答題（本大題共9個小題，共82分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x+3）＝2x．【分析】方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，進而計算出根的判別式的值，代入求根公式計算即可求出解．【解答】解：（x﹣3）（x+3）＝5x，方程整理得：x2﹣2x﹣4＝0，這里a＝1，b＝﹣8，∵△＝4+36＝40，∴x＝＝1±，則x1＝8+，x2＝1﹣．18．（8分）補全如圖立體圖形的三視圖．【分析】根據簡單幾何體的三視圖的畫法，畫出相應的圖形即可，注意看得見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示．【解答】解：補全這個幾何體的三視圖如下：19．（8分）小亮和小麗進行摸球試驗．他們在一個不透明的空布袋內，放入兩個紅球，一個白球和一個黃球，再從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回（1）小亮隨機摸球1次，能摸出白球的概率為；（2）若小麗隨機摸球兩次，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率．【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）小亮隨機摸球1次，能摸出白球的概率為，故答案為：；（2）畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結果，兩次摸出的球中一個是白球，∴兩次摸出的球中一個是白球、一個是黃球的概率為＝．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE∥CD，CE∥AB．（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結論．（2）連接BE，若∠BAC＝30°，CE＝1．【分析】（1）先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質，得出CD＝AB＝AD，即可得出四邊形ADCE為菱形；（2）依據∠ABC＝60°，DB＝DC，可得△BCD是等邊三角形，依據∠BAE＝60°，∠ABE＝30°，可得△ABE是直角三角形，最后根據CE＝1＝AE，即可得到BE的長．【解答】解：（1）四邊形ADCE為菱形，理由如下：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝AD，∴四邊形ADCE為菱形；（2）∵∠BAC＝30°，四邊形ADCE為菱形，∴∠BAE＝60°＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠DBC＝60°，而DB＝DC，∴△BCD是等邊三角形，∴∠DCB＝60°，∴∠BCE＝120°，又∵BC＝CD＝CE，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝30°，∴△ABE中，∠AEB＝90°，又∵AE＝CE＝4，∴AB＝2，∴BE＝＝．故答案是：．21．（8分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：售價在40～60元范圍內（包含端點值），其銷售量就將減少10個．（1）當這種臺燈上漲5元時，其銷售量為550個．（2）為了實現平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？【分析】（1）根據原銷售量結合售價每上漲1元銷售量就將減少10個，即可得出售價上漲5元后的月銷售量；（2）根據總利潤＝單臺利潤×月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答】解：（1）售價上漲5元后，該商場平均每月可售出臺燈數：600﹣10×5＝550（個）．故答案為：550；（2）設該商場決定把售價上漲x（3＜x＜20）元，依題意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，整理，得：x2﹣50x+400＝0，解得：x4＝10，x2＝40（不合題意，舍去），∴40+x＝50，600﹣10x＝500．答：這種臺燈的售價應定為50元/個．22．（10分）如圖，已知二次函數y＝ax2﹣4x+c的圖象經過點A（﹣1，﹣1）和點B（3，﹣9）．（1）求該二次函數的表達式；（2）直接寫出拋物線的對稱軸及頂點坐標；（3）點P（m，m）與點Q均在該函數圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱【分析】（1）利用待定系數法確定二次函數的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成頂點式，然后根據二次函數的性質確定頂點坐標和對稱軸．（3）將P（m，m）坐標代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6，解方程求得m的值，根據題意得到m＝6，從而求得P的坐標，根據點P與點Q關于對稱軸x＝2對稱，所以點Q到x軸的距離為6．【解答】解：（1）將A（﹣1，﹣1）和點B（62﹣4x+c，得 解得，所以二次函數的表達式為y＝x2﹣4x﹣6；（2）由y＝x3﹣4x﹣6＝（x﹣4）2﹣10可知：對稱軸為x＝2；頂點坐標為（2；（3）將P（m，m）坐標代入y＝x2﹣4x﹣8，得m＝m2﹣4m﹣3．解得m1＝﹣1，m2＝6．因為m＞0，所以m＝﹣2不合題意．所以m＝6，所以P點坐標為（6，5）；因為點P與點Q關于對稱軸x＝2對稱，所以點Q到x軸的距離為6．23．（10分）如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸的正半軸上，反比例函數y1＝在第一象限內的圖象與直線y2＝x交于點D，且反比例函數y1＝交BC于點E，AD＝3．（1）求D點的坐標及反比例函數的關系式；（2）若矩形的面積是24，求出△CDE的面積．（3）直接寫出當x＞4時，y1的取值范圍0＜y1＜3．【分析】（1）根據AD＝3，得到點D的縱坐標為3，代入y2＝x，解之，求得點D的坐標，再代入y1＝，得到k的值，即可得到反比例函數的關系式；（2）根據“矩形的面積是24”，結合AD＝3，求得線段AB，線段CD的長度，得到點B，點C的橫坐標，代入反比例函數的解析式，得到點E的坐標，根據“S△CDE＝CE×CD”，代入求值即可得到答案；（3）根據圖象，結合D的坐標即可求得．【解答】解：（1）根據題意得：點D的縱坐標為3，把y＝3代入y4＝x得：，解得：x＝4，即點D的坐標為：（2，3），把點D（4，6）代入y1＝得：3＝，解得：k＝12，即反比例函數的關系式為：y2＝，（2）設線段AB，線段CD的長度為m，根據題意得：3m＝24，解得：m＝5，即點B，點C的橫坐標為：4+8＝12，把x＝12代入y7＝得：y＝1，∴點E的坐標為：（12，1），∴CE＝5﹣1＝2，∴S△CDE＝CE×CD＝；（3）觀察圖象，當x＞2時，y1的取值范圍是0＜y7＜3，故答案為0＜y5＜3．24．（12分）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，將AD繞點D順時針旋轉α得到ED，連接BE．（1）問題發現：如圖1，α＝90°，點D在邊BC上①AF與BE的數量關系是AF＝BE；②∠ABE＝90度．（2）拓展探究：如圖2，0°＜α＜90°，點D在邊BC上，并給予證明．（3）解決問題如圖3，90°＜α＜180°，點D在射線BC上，若AB＝8，請直接寫出BE的長．【分析】（1）問題發現：由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF＝BE，再利用“8字型”字母∠OBE＝∠ADO＝90°即可解決問題；（2）拓展探究：結論：AF＝BF，∠ABE＝a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；（3）解決問題：分當點D在線段BC上和當點D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．【解答】解：（1）問題發現：如圖1中，設AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案為：AF＝BE，90°．（2）拓展探究：結論：AF＝BE，∠ABE＝α∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解決問題①如圖（3）中，當點D在BC上時，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB