《泛函分析1》教學大綱一、課程基本信息課程名稱泛函分析FunctionalAnalysis課程編碼SCC212511030開課院部理學院課程團隊實變函數與泛函分析教學團隊學分3.0課內學時48講授48實驗0上機0實踐0課外學時48適用專業本研一體化班（油氣地學類）授課語言中文先修課程數學分析（2-1）、數學分析（2-2）、線性代數與解析幾何課程簡介（必修）泛函分析是現代數學的一個較新的重要分支，是高等學校數學專業與工科專業的一門重要學科基礎課。泛函分析的概念和方法已經滲透到數學的各個分支，并日益廣泛地應用于圖像處理，動力系統，工程技術等領域。本課程主要介紹線性泛函分析，使學生理解度量空間、賦范空間和巴拿赫空間的概念。掌握巴拿赫空間的基本性質、線性算子和線性泛函的基本知識；掌握逆算子定理、閉圖象定理、一致有界性定理和哈恩-巴拿赫定理；理解共軛空間、自反空間等概念。掌握希爾伯特空間的基本性質、希爾伯特空間正交化方法、投影定理及其應用。通過該課程的學習，使學生掌握泛函分析的基本理論和方法，學會綜合運用代數、分析和拓撲理論處理問題的方法，為學習現代數學理論及開展科研工作打下必要的基礎。FunctionalAnalysisisanewlyimportantbranchofmodernmathematics,whichisanimportantbasicscourseformathematicsmajorsandengineeringmajorsinuniversity.Theconceptandmethodsoffunctionalanalysishavepermeatedtoeverybranchofmathematics,andwidelyappliedinthefieldofimageprocessing,dynamicsystemandengineeringtechnology.Linearfunctionalanalysisisintroducedmainlyinthiscourse,totrainstudentstounderstandtheconceptsofmetricspaces,normedspacesandBanachspace,toobtainthebasicpropertiesofBanachspacesandbasicknowledgeoflinearoperatorsandlinearfunctionals,tomastertheinverseoperatortheorem,theclosedgraphtheorem,theuniformboundednesstheoremandHahn-Banachtheorem,tounderstandtheconceptsofconjugatespacesandreflexivespaces,tomasterthebasicpropertiesofHilbertspaces,orthogonalizingmethodforHilbertspace,projectiontheoremanditsapplications.Throughthiscourse,studentswillmasterbasictheoryandmethodsoffunctionalanalysis,andmasterthemethodofhandlingproblembycomprehensiveuseofthetheoryofalgebra,analysisandtopology,tolaythenecessaryfoundationsforthefollow-upmodernmathematicscoursesandscientificresearch.負責人大綱執筆人審核人二、課程目標序號代號課程目標OBE畢業要求指標點任務自選1M1目標1：了解并認識泛函分析與數學分析、線性代數、解析幾何、實變函數和數值計算方法等課程的關系是2M2目標2：掌握泛函分析的基本理論和方法是3M3目標3：了解泛函分析在數學與工程技術等相關科學研究中的應用是4M4目標4：遵守教學秩序否三、課程內容序號章節號標題課程內容/重難點支撐課程目標課內學時教學方式課外學時課外環節1第1章第1章度量空間和賦范線性空間本章重點難點：度量空間的概念，完備性的判別和壓縮映射原理，賦范線性空間和巴拿赫空間的定義和性質。/////21.11.1度量空間的進一步例子度量空間的定義及例子。M21講授1課后作業31.21.2度量空間中的極限，稠密集，可分空間度量空間中的收斂及其性質，幾類特殊的點集，稠密性與可分性。M12講授2課后作業41.31.3連續映射連續映射定義及其性質。M21講授1課后作業51.41.4柯西點列和完備度量空間柯西點列的定義，完備度量空間的定義及例子。M22講授2課后作業61.51.5度量空間的完備化等距，度量空間的完備化。M21講授1課后作業71.61.6壓縮映射原理及其應用壓縮映射，壓縮映射原理及應用。M32講授、討論2課后作業81.71.7線性空間線性空間，線性相關，基底。M11講授1課后作業91.81.8賦范線性空間和巴拿赫空間賦范線性空間，巴拿赫空間，赫爾德不等式，閔科夫斯基不等式。M24講授4課后作業10第2章第2章有界線性算子和連續線性泛函本章重點難點：有界線性算子及連續線性泛函的定義和性質，算子空間，共軛空間。////112.12.1有界線性算子和連續線性泛函線性算子和線性泛函的定義，有界線性算子和連續線性泛函的定義及性質。M22講授2課后作業122.22.2有界線性算子空間和共軛空間有界線性算子空間，共軛空間，同構。M22講授2課后作業132.32.3有限秩算子有限秩算子，商空間。M22講授2課后作業14第3章第3章內積空間和希爾伯特空間本章重點難點：希爾伯特空間的定義及性質，投影定理，自伴算子及其性質。////153.13.1內積空間的基本概念內積空間，極化恒等式，希爾伯特空間。M22講授2課后作業163.23.2投影定理極小化向量定理，投影定理。M32講授、討論2課后作業173.33.3希爾伯特空間中的規范正交系正交與正交分解，規范正交系，施密特正交化定理。M23講授3課后作業183.43.4希爾伯特空間上的連續線性泛函里斯定理，共軛算子。M21講授1課后作業193.53.5自伴算子，酉算子和正規算子自伴算子、酉算子和正規算子的定義及性質。M22講授2課后作業20第4章第4章巴拿赫空間中的基本定理本章重點難點：共軛空間，泛函延拓定理，一致有界性定理，逆算子定理以及閉圖像定理。////214.14.1泛函延拓定理哈恩-巴拿赫泛函延拓定理及其推論。M22講授2課后作業224.24.2C[a,b]的共軛空間里斯表示定理。M11講授、討論1課后作業234.34.3共軛算子共軛算子定義及性質。M11講授1課后作業244.44.4綱定理和一致有界性定理無處稠密集，綱定理，一致有界性定理。M22講授2課后作業254.54.5強收斂、弱收斂和一致收斂強收斂，弱收斂，自反空間，一致收斂定義及其性質。M21講授、討論1課后作業264.64.6逆算子定理開映射，逆算子定理及其推論。M22講授2課后作業274.74.7閉圖像定理閉算子，閉圖像定理。M21講授1課后作業28第5章第5章線性算子的譜本章重點難點：有界線性算子譜的性質，緊集，全連續算子。////295.15.1譜的概念正則算子，正則集，譜的定義和分類。M21講授1課后作業305.25.2有界線性算子譜的基本性質有界線性算子譜的基本性質。M21講授1課后作業315.35.3緊集和全連續算子緊集的性質，相對緊集，全連續算子定義及其性質。M23講授、討論3課后作業325.45.4全連續算子的譜論跡的定義及性質，里斯-紹德爾定理及其推論，希爾伯特定理。M33講授、討論3課后作業四、考核方式序號考核環節操作細節總評占比1平時作業1.每周布置6~10道題目，平均每次課3道題目以上。2.成績采用百分制，根據作業完成準確性、是否按時上交、是否獨立完成評分。3.考核學生對泛函分析基本知識的掌握能力，學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，題型主要有證明題和計算題。25%2結課報告1.本課程要求利用泛函分析的基礎概念和定理寫出課程總結報告。2.根據相關知識用于所學領域工程問題的分析和應用。能夠理論聯系實際，應用或解決實際問題。15%3考勤隨機點名、刷卡點名等5%4課堂表現隨機檢查學生上課精神狀態、回答問題情況5%5期末考試1.考試，成績采用百分制，卷面成績總分100分。2.主要考核學生對泛函分析基本知識的掌握能力，學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，題型主要有填空題、選擇題、證明題、計算題等。50%五、評分細則序號課程目標考核環節大致占比評分等級1M1平時作業25%A-獨立思考、按時完成，解題思路清晰、步驟完整、格式合理、答案準確。B-獨立思考、按時完成，解題思路比較清晰、步驟比較完整、格式合理、答案準確。C-獨立思考、按時完成，解題思路比較清晰、步驟比較完整、格式比較合理、答案準確。D-作業抄襲，未能按時完成，解題思路混亂、缺少步驟、格式不合理、答案不準確。2M1結課報告15%A-按時提交作業，對泛函分析知識理解無誤，總結報告完整規范。B-按時提交作業，對上述知識點理解存在少量錯誤，總結報告比較完整規范。C-按時提交作業，對上述知識點理解存在一定量錯誤，總結報告不夠完整規范。D-不按時提交作業，或對上述知識點理解存在大量錯誤，總結報告不完整3M1課堂表現10%A-精神狀態飽滿，回答問題準確。B-精神狀態良好，問題回答較好。C-精神狀態一般，問題回答一般。D-精神狀態較差，回答問題有誤。4M1期末考試50%見試卷評分標準5M2平時作業20%A-獨立思考、按時完成，解題思路清晰、步驟完整、格式合理、答案準確。B-獨立思考、按時完成，解題思路比較清晰、步驟比較完整、格式合理、答案準確。C-獨立思考、按時完成，解題思路比較清晰、步驟比較完整、格式比較合理、答案準確。D-作業抄襲，未能按時完成，解題思路混亂、缺少步驟、格式不合理、答案不準確。6M2結課報告20%A-按時提交作業，對泛函分析知識理解無誤，總結報告完整規范。B-按時提交作業，對上述知識點理解存在少量錯誤，總結報告比較完整規范。C-按時提交作業，對上述知識點理解存在一定量錯誤，總結報告不夠完整規范。D-不按時提交作業，或對上述知識點理解存在大量錯誤，總結報告不完整7M2課堂表現10%A-精神狀態飽滿，回答問題準確。B-精神狀態良好，問題回答較好。C-精神狀態一般，問題回答一般。D-精神狀態較差，回答問題有誤。8M2期末考試50%見試卷評分標準9M3結課報告100%A-按時提交作業，對泛函分析知識理解無誤，總結報告完整規范。B-按時提交作業，對上述知識點理解存在少量錯誤，總結報告比較完整規范。C-按時提交作業，對上述知識點理解存在一定量錯誤，總結報告不夠完整規范。D-不按時提交作業，或對上述知識點理解存在大量錯誤，總結報告不完整10M4考勤100%A-全勤。B-缺勤1次。C-缺勤2次或3次。D-缺勤3次以上。評分等級說明：[A,B,C,D]=[90-100,75-89,60-74,0-59]六、教材與參考資料序號教學參考資料明細1圖書|《實變函數與泛函分析基礎》(第四版),程其襄、張奠宙、胡善文、薛以鋒,高等教育出版社,2019,ISBN:978-7-04-050810-9.（*主教材）2圖書|實變函數與泛函分析概要》(第四版)第二冊,王聲望、鄭維行,高等教育出版社,2010.3圖書|《泛函分析》(第二版),劉炳初,科學出版社,2013.4圖書|LinearandnonlinearFunctionalAnalysiswithApplications,PhilippeG.Ciarlet,