數論講義第七節無窮遞降法數論講義第七節無窮遞降法數論講義第七節無窮遞降法數論講義第七節無窮遞降法編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:數論講義第七節 無窮遞降法基礎知識1659年，法國數學家費馬寫信給他的一位朋友卡爾卡維，稱自己創造了一種新的數學方法．由于費馬的信并汶有發表，人們一直無從了解他的這一方法．直到1879年，人們在荷蘭萊頓大學圖書館惠更斯的手稿中發現了一篇論文，才知道這種方法就是無窮遞降法．無窮遞降法是證明某些不定方程無解時常用的一種方法．其證明模式大致是：先假設方程存在一個最小正整數解，然后在這個最小正整數解的基礎上找到一個更小的解，構造某種無窮遞降的過程，再結合最小數原理得到矛盾，從而證明命題．無窮遞降法在解決問題過程中，主要有兩種表現形式：其一，由一組解出發通過構造得到另一組解，并且將這一過程遞降下去，從而得出矛盾；其二，假定方程有正整數解，且存在最小的正整數解，設法構造出方程的另一組解(比最小正整數解還要小)，從而得到矛盾．無窮遞降法的理論依據是最小數原理．二.無窮遞降法的應用1.無理數的證明例1.證明：是無理數.2.方程解的判定例2.證明：方程無正整數解.例3.證明方程除了解外沒有其它整數解.例4.找出滿足方程（其中是正整數）的所有正素數.（2000年匈牙利）3.存在性的證明例5.設是給定的正整數，，記.證明：存在正整數，使得為一個整數.這里，表示不小于實數的最小整數.例如：例6.設為一個正整數的平方，并且.證明：至少有一個.4.典型問題例7.設有個整數，在其中任意取出一個數，其余的個數總可以分為兩個無公共元素的子集，使每個子集中各數之和相等，那么必全為零.例8.證明：沒有正整數解。證假如有正整數解，那么也一定有正整數解，所以，要證明沒有正整數解，只要證明沒有正整數解就可以了。下面用“無窮遞降法”來證明：假設有正整數解，那么，在這些正整數解中，一定可以找到一組解、、，使得，而且其中的是各組解的中最小的一個。顯然、沒有大于1的公約數。因為，假如有公約數，則有，可見、、是的另一組正整數解，而且，這就與“是各組解的中最小的一個”發生矛盾，所以不可能有大于1的公約數。由于、沒有大于1的公約數，所以、也沒有大于1的公約數。由于，可見、、是一組互素的勾股數。根據“勾股數公式”，這時必有互素的正整數、使得（不妨設是奇數），，。由于，而且與沒有大于1的公約數（假如與有公約數，則也應該有約數，這就與、互素發生矛盾），可見、、是一組互素的勾股數。根據“勾股數公式”，這時必有互素的正整數、使得（前面已設是奇數），，。這時有。因為、互素，所以、、兩兩之間都沒有大于1的公約數，而它們的乘積卻是一個完全平方數，可見、、三個數本身都必須是完全平方數，即一定有正整數、、，使得，，。這樣，就有，可見、、是的一組解。而且有，這就與“是各組解的中最小的一個”發生矛盾，所以假設“有正整數解”不成立。由此可見，“有正整數解”也不成立。例9.正五邊形的每個頂點對應一個整數使得這五個整數的和為正.若其中三個相連頂點相應的整數依次為，而中間的，則要進行如下的操作：整數分別換為.只要所得的五個整數中至少還有一個為負時，這種操作就繼續進行.問：是否這樣的操作進行有限次后必定終止.例10.設，求證：如果是素數，那么數 都是素數.三.課后練習1.證明：四元二次不定方程沒有非零整數解.2.求方程的整數解.3.求證：除外，方程沒有別的整數解.4.設正整數滿足，求證：.5.證明：兩個