三角恒等變形同角三角函數的基本關系(含解析)三角恒等變形同角三角函數的基本關系(含解析)三角恒等變形同角三角函數的基本關系(含解析)三角恒等變形同角三角函數的基本關系(含解析)編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:三角恒等變形同角三角函數的基本關系例題：已知角A、B、C為△ABC的三個內角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A的值(2)求eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin?A＋\f(π,4))的值．解：(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－eq\f(1,5)，∴sinA＋cosA＝－eq\f(1,5)，①兩邊平方并整理得：2sinAcosA＝－eq\f(24,25)，∵－eq\f(24,25)<0，∴A∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinA－cosA＝eq\r(1－2sinAcosA)＝eq\f(7,5).②聯立①②得：sinA＝eq\f(3,5)，cosA＝－eq\f(4,5)，∴tanA＝－eq\f(3,4)，∴tan2A＝eq\f(2tanA,1－tan2A)＝eq\f(－\f(3,2),1－\f(9,16))＝－eq\f(24,7).(2)∵tanA＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin?A＋\f(π,4))＝eq\f(cosA－3sinA,cosA＋sinA)＝eq\f(1－3tanA,1＋tanA)＝eq\f(1－3×－

\f(3,4),1＋－

\f(3,4))＝13.A組1．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α、β均為銳角，則β等于________．解析：∵α、β均為銳角，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cos(α－β)＝eq\r(1－sin2(α－β))＝eq\f(3\r(10),10).∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴cosα＝eq\r(1－(\f(\r(5),5))2)＝eq\f(2\r(5),5).∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2).∵0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)2．已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，cosα＝eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，則cosβ的值為________．解析：∵0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3,2)π.∴sinα＝eq\f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－eq\f(4,5))×eq\f(3,5)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).答案：－eq\f(24,25)3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，則eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝________.解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，則eq\f(sin(α＋β),cos(α－β))＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3,1－3)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)4．(2008年高考山東卷改編)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，則sin(α＋eq\f(7π,6))的值是___．解析：由已知得eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，即eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，得sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，sin(α＋eq\f(7,6)π)＝－sin(α＋eq\f(π,6))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)5．(原創題)定義運算a*b＝a2－ab－b2，則sineq\f(π,12)*coseq\f(π,12)＝________.解析：sineq\f(π,12)*coseq\f(π,12)＝sin2eq\f(π,12)－sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)＝－(cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12))－eq\f(1,2)×2sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)＝－coseq\f(π,6)－eq\f(1,2)sineq\f(π,6)＝－eq\f(1＋2\r(3),4).答案：－eq\f(1＋2\r(3),4)6．已知α∈(eq\f(π,2)，π)，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,2)，π)，求cosβ的值．解：(1)因為sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，兩邊同時平方得sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π.所以cosα＝－eq\f(\r(3),2).(2)因為eq\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－π<－β<－eq\f(π,2)，故－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，得cos(α－β)＝eq\f(4,5).cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).B組\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)的值為________．解析：eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cos2α－sin2α,(sinα＋cosα)2)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝1.2．已知cos(eq\f(π,4)＋x)＝eq\f(3,5)，則eq\f(sin2x－2sin2x,1－tanx)的值為________．解析：∵cos(eq\f(π,4)＋x)＝eq\f(3,5)，∴cosx－sinx＝eq\f(3,5)eq\r(2)，∴1－sin2x＝eq\f(18,25)，sin2x＝eq\f(7,25)，∴eq\f(sin2x－2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinx(cosx－sinx),\f(cosx－sinx,cosx))＝sin2x＝eq\f(7,25).3．已知cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，則tanα＝________.解析：cos(α＋eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)－sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα，sin(α－eq\f(π,3))＝sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα，由已知得：(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2))sinα＝(eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2))cosα，tanα＝1.4．設α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，β∈(0，eq\f(π,4))，cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，則sin(α＋β)＝________.解析：α∈(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))，α－eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,2))，又cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，∴sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5).∵β∈(0，eq\f(π,4))，∴eq\f(3π,4)＋β∈(eq\f(3π,4)，π)．∵sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，∴cos(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－eq\f(π,4))＋(eq\f(3π,4)＋β)]＝－cos(α－eq\f(π,4))·cos(eq\f(3π,4)＋β)＋sin(α－eq\f(π,4))·sin(eq\f(3π,4)＋β)＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)，即sin(α＋β)＝eq\f(56,65).5．已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，則cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，而α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2(α＋β))＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－eq\f(7,9))×(－eq\f(1,3))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).6．已知角α在第一象限，且cosα＝eq\f(3,5)，則eq\f(1＋\r(2)cos(2α－\f(π,4)),sin(α＋\f(π,2)))＝________.解析：∵α在第一象限，且cosα＝eq\f(3,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，則eq\f(1＋\r(2)cos(2α－\f(π,4)),sin(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1＋\r(2)(\f(\r(2),2)cos2α＋\f(\r(2),2)sin2α),cosα)＝eq\f(2cos2α＋2sinαcosα,cosα)＝2(sinα＋cosα)＝2(eq\f(4,5)＋eq\f(3,5))＝eq\f(14,5).7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(eq\f(π,2)，π)，若a·b＝eq\f(2,5)，則tan(α＋eq\f(π,4))的值為________．解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，又α∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,7).\f(tan10°tan70°,tan70°－tan10°＋tan120°)的值為______．解析：由tan(70°－10°)＝eq\f(tan70°－tan10°,1＋tan70°·tan10°)＝eq\r(3)，故tan70°－tan10°＝eq\r(3)(1＋tan70°tan10°)，代入所求代數式得：eq\f(tan70°tan10°,\r(3)(1＋tan70°tan10°)＋tan120°)＝eq\f(tan70°tan10°,\r(3)(1＋tan70°tan10°)－\r(3))＝eq\f(tan70°tan10°,\r(3)tan70°tan10°)＝eq\f(\r(3),3).9．已知角α的終邊經過點A(－1，eq\r(15))，則eq\f(sin(α＋\f(π,4)),sin2α＋cos2α＋1)的值等于________．解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(sin(α＋\f(π,4)),sin2α＋cos2α＋1)＝eq\f(\r(2),4cosα)＝－eq\r(2).10．求值：eq\f(cos20°,sin20°)·cos10°＋eq\r(3)sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)＋eq\f(\r(3)sin10°sin70°,cos70°)－2cos40°＝eq\f(cos20°cos10°＋\r(3)sin10°cos20°,sin20°)－2cos40°＝eq\f(cos20°(cos10°＋\r(3)sin10°),sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°),sin20°)－2cos40°＝eq\f(2cos20°sin40°－2sin20°cos40°,sin20°)＝2.11．已知向量m＝(2coseq\f(x,2)，1)，n＝(sineq\f(x,2)，1)(x∈R)，設函數f(x)＝m·n－1.(1)求函數f(x)的值域；(2)已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若f(A)＝eq\f(5,13)，f(B)＝eq\f(3,5)，求f(C)的值．解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2coseq\f(x,2)，1)·(sineq\f(x,2)，1)－1＝2coseq\f(x,2)sineq\f(x,2)＋1－1＝sinx.∵x∈R，∴函數f(x)的值域為[－1,1]．(2)∵f(A)＝eq\f(5,13)，f(B)＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(5,13)，sinB＝eq\f(3,5).∵A，B都為銳角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(12,13)，cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(4,5).∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝eq\f(56,65).∴f(C)的值為eq\f(56,65).12．(2010年南