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第四節極限的運算法則無窮小與無窮大極限的運算法則小結思考題一、無窮小1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.2.無窮小與函數極限的關系:證必要性充分性意義1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理1(1)在同一變化過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.如：解先變形再求極限.定理1(2)有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證都是無窮小注意：無窮小的商未必是無窮小.推論

(1)同一變化過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小(2)常數與無窮小的乘積是無窮小.(3)有限個無窮小的乘積也是無窮小.

如以上定理和推論可以簡記為：二、無窮大*絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.如數列2、無窮大的運算性質不是無窮大．證無窮大幾何意義：鉛直漸近線

(verticalasympotote)三、無窮小與無窮大的關系推論（1）在同一變化過程中,無窮大的倒數為無窮小;

（2）恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.四、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2有界，五、求極限方法舉例例1解小結:解商的法則不能用例2例3例4解(無窮小因子分出法)小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例5解先變形再求極限.例6解例6(2)解例6(3)解(分母或分子有理化)解解復合函數的極限運算法則定理3（復合函數的極限運算法則）意義1.極限符號可以與函數符號互換;例1解六、小結1、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮小（大）是變量,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.六、小結1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？思考題解答沒有極限．假設有極限，有極限

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