分類(lèi)自由振 阻尼自由振

(簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.

任意位:fkx kx d2

d2xx

dt 衡位置附近(<5o)小角擺動(dòng)的裝置。l1.平衡位置：任意位置θ取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)? Tftmgsinmgml

d

ft平d 22

0

M

h轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) θ轉(zhuǎn) 質(zhì)向mghsinmgh

d d2mghdt

kmgl kmgld2xkdt

x

JdJdt

gl

d2

2xd2mghdt

v 420420---1 2103v

Asin(t)

x1x2x3v1v3v2,v1adv2Acos(t)2x7周期T、頻率v，圓頻率

2

xAcos(t例如t0,t1=t0+T時(shí)刻,x0Acos(t0),x1Acos[(t0T)][(t0T)](t0)2T

彈簧振子TlgTlg T

mkkm( mkkmgloh(glohJ( J4-5如果把一個(gè)彈簧振子和一個(gè)單擺拿到月振幅Ax=Acos(t+x(v/22200x(v/22200

xt=0=x

x0

消去

v

A 05051015204x/cm2x/cm0-任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀 --位相（相位 ∵

(x0當(dāng)A,,由(t)就可確定t時(shí)刻振動(dòng)物的位置和速度,即確定了諧振子t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). x0AcosvAsin約定：初位相 比1超前 t1x2不講比2超前

x1x=(t+2)-(t+1)=2-特殊情(a 同(位)b t tx xxAcos(tx ?tTa2Acos(t)2Acos(x ?tTv比x超前 kmo諧kmo振glJ glJ單 單d2x2xx2x2(v/2200

x=Acos(ωt+、A

tg

x0的正

d2x

d2x2xdtmkmkdt

x

T

O':kx022fmgf

k(x

)

mdmkmk

d2x kx

T

d2x2xdtB

x=Acos(ωt+ 4)A,（和初始條

x0v0有關(guān)例 ΡΡ

(ab)SgbSgx②任意位置木塊受力分析：F(ab)Sg(b.Sx任 0.Sxc意c

d2x

d2 (a

x所以木塊作諧振③d2x (a

x ( (a

2）運(yùn)動(dòng)d2x2x

A x2v200x2v200 v0

tan1(v/x)ab0c.x(x0Acosa0ab0c.xxa g/[(a例例d2x2xkm-x0（2） 解: mgkxxmg??(1)

mgT1ma??(2)(TT)RJJa?(3) 諧振T2k(x0x)諧振Ja JmkJkJx=Acos(ωt+x=Acos(ωt+

mk初態(tài)為tx2x2(v/2200

mgkv0

Amg0 tg1( )0tg

0,

xk

J

txrcosxrcostt t旋轉(zhuǎn)矢量表示諧ωMAωMA A的長(zhǎng)度：A圓頻率A的旋轉(zhuǎn)的方向：逆時(shí)針 Ax的夾角：相位(t)t=0Ax的夾角：初相位xcoωtxx

-π角速度T

解：由圖形可知t0：x t x0,v

AA 0

t0:AAcos v0Asin

3 ) A

xAcos(5t1 x10,v13

At0tt1:0Acos()

v1Asin(3)△φ=φ1.5-φ1t0.55

6x2x20A2ox

Aoo

333

3

tx

5t

例質(zhì)點(diǎn)按余弦規(guī)律作諧振動(dòng)，其v-t解：xAst

v(mso2 v

1m

vmAA to:vAsin1

, mxvmmxvmcos(t6 6 例一彈簧振子由A處釋放，求振子從A處向右運(yùn)2到A處所需的最短時(shí)間。（已知：T2秒）t2T3

AAt13

2X諧振動(dòng)的能 xAst

vAsin(t) Ep1kx21kA2cos2(t 2m2 2E

12

12

1

12222 1 0則B點(diǎn)處E0

k(x

)dx

1k（xx2

kx EpEp

PEBP

EE EE

k（xx2

01kx2kxx1kx210

2 B彈Pp重p122 vAcos(t2 Ep121

41k21cos2(t42 1m21cos2(t) mkx

（點(diǎn)、J、k、地面E

d2mv22

J22

kx2常2

(m

kx dt1(mJ)v21kx2常

d2x

x

dt mR2(mJ)vdvkxdx

kJkJ 例已知：m1.0kg（與彈簧固接）m 3.0kg,k25Nm，現(xiàn)將彈簧壓縮b0.20m后由靜止釋 ）m2（2）m1從釋放后到再一mm且是m1、m2分離處 2

2(m1m21mv21

A0.1m T1

t1t1T34142

m

xx0.1mT2

m1m1kk2k5

t（2）m1從釋放后到再一次將彈簧壓縮到最大時(shí)所長(zhǎng)度時(shí),突然速度為0的質(zhì)點(diǎn)m0輕粘在m上,求：m0動(dòng)系統(tǒng)周期和振 mmd2(k1k2)x(mm0d2 k 2)xm0k1m0k1

KxKk1

Mm

則：T例k1mvk1mv202lv2lv0mk1km k1kmmmmmk1kmk1kmmmv0(mm0

A k1mvk1mv20mE1(kkA21mv 21(mm

A

E2(k1k2)

m 例求證：串聯(lián)彈簧的K證明：1）平衡位置O

k1k2mgk1x10k2x20??(1) 位置xxx

(2

)

(x20

)?(3)由得：k1x1k2x2

k1

xk1 1xoxk1 1xoxx20xB合合

mg

x2）k2

K

k1k1k2

例彈簧振子（M，k）求：(1).物塊振動(dòng)的T和A;(2). T

M x xA 0

x2(M

vMM

o'

動(dòng)量

0kx0mgx0

m2gA k

m2v2k(mME2

1(mM)v020

1 A020

M xv xvMxAcos(t) x0Acos,v0AMx

arctan( m ) o arcta（

km

k m

t

m

arc

m m m4.2動(dòng)的合同方向同同方向不同同頻率，振動(dòng)方向相不同頻率，振動(dòng)方向 振11、兩同方向、同頻率諧振動(dòng)的合 1 向

x2A2cos(0t2

變A變AA1?? x

A

t AAx0A2A2A22AAcos(12 21tan

A1sin1A2sinA1cos1A2cos2

o合振A1A1A22A cos1 2 1若21AA1

xxx2txxxt(b21

oAA2o例x0.06s5t1 求：它們合振動(dòng)的振動(dòng)方程。xAcost解：x0.02s AA A???AA A???212A A22A cos1112xxx0.04cos(5t

2O2Ox

xAcos(0t)

5

t-

解 T=0.1s

xx12 2A 34

cos(20t3/ [例兩同方向,同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)的x~t曲及振動(dòng)的v~t曲線如圖所示 求

01cm） 0

A T T

2M 2 A2 M 則: ()3(或 ∵v2 A2

A 當(dāng)2個(gè)振動(dòng)存在微小動(dòng)

合y22yAcos(t22

4x2x0 合振動(dòng)的軌跡方 )2 )2 ) )sin2( 44 44 2軌跡為橢圓/直線，方位、轉(zhuǎn)向由A、=2-（1）如圖：由成（簡(jiǎn)單）整數(shù)比的應(yīng)用 y x2Uymvv 502Uymx xsinsinUy0U*4.4阻尼64 0

d2

2

dx

2x阻 f＝阻

dt xAetcos(t)