大家好大家好1熟練掌握點與直線的關系，直線與直線的關系。充分理解空間相互垂直的兩直線的投影特征，熟練掌握并能靈活運用直角投影定理。上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見性的判斷(a)(b)(c)不垂直上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見2

已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、H投影。（習題）復習題：f′e′a′aefd′dADscbcb′c′DB或DC的實長30°ADBC本題幾解?有一解30°已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、31.已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、H投影。復習題：f′e′a′aef1′130°ADBC2.已知正方形ABCD，邊BC屬于EF，完成此正方形的V、H投影。3.已知長方形ABCD，邊BC屬于EF，且AB：BC=3：2，完成此長方形的V、H投影。4.已知菱形ABCD，另外一對角線BC屬于EF，且AC=BD。完成此菱形的V、H投影。ADBCADBC32DABC1.已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的4復習題

已知點K至直線AB的距離為30mm，求作點K的水平投影k,以及距離KL的投影。分析因為AB是水平線，點L在AB上,由此可知垂線KL的Z坐標差，再由的KL實長已知,便可求出其水平投影長。投影作圖步驟以ZA-ZK為直角邊，30mm為斜邊作直角三角形。作與ab相距為垂線段水平投影長的平行線（上述直角三角形的另一直角邊長）。上述平行線和投影連線相交于k。k′b′baa′k30ll′kl′復習題已知點K至直線AB的距離為30mm，求作點K的水平投5當直線中有特殊位置直線(其中一條是垂直線或都是平行線、垂直線)時,應用直角投影定律,可以作出公垂線.dd′c′b′a′abcdee′Ⅱz–ⅠzScOcbaa(b)Xcd(e)eSCffbacd(a)bc(d)(e)(f)efSc兩直線的公垂線(最短距離)當直線中有特殊位置直線(其中一條是垂直線或都是平行線、垂直線6bbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H2e2Dd2a2當兩直線都是一般位置直線時,用投影變換的方法,可以使公垂線的求解變得簡單.兩直線的公垂線(最短距離)dbc′c`a′b′ad′bacd(a)bc(d)(e)(f)efScbbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H27直線的投影（五）專業級班姓名學號審核成績3-19三角形ABC為一直角三角形，其中∠B=90°，邊BC=25mm3-22已知等邊三角形ABC一邊BC屬于EF，完成此三角形的3-21已知直線AB垂直于BC，BC=30mm，點C屬于V面，求b′c′、bc。3-20已知點C到直線AB的距離為35mm，求c′。abb′a′acb′a′c′caba′b′adcba′c′XXXXXa′aefe′f′aba′b′XV、H面投影。且β=30°，試完成其兩面投影。3-17已知對角線AC和點B的V面投影，試完成菱形ABCD的兩投影。3-18矩形ABCD的對角線AC為水平線，試完成該矩形的V面投影。131bd′1′b′d′BC=2530°ccc′CDorDBADb′c′bcdd′βadBC=30c′c距離=35c′BC=30c′兩解兩解四解d直線的投影（五）專業級班姓8ee′復習題：已知對角線AC及B點的投影試完成矩形的ABCD兩面投影。(與習題相似)a′c′acb′d′bd解題的關鍵點:求另一對角線BD的投影長(用直角三角形法);1.ac=AC=BD2.∣ZD-ZE︱=∣ZE-ZB∣3.求出ed或ebSCAE有兩解be或deSCAE△ZBE△ZDE或△YDESCAEb′e′或d′e′△YBEee′復習題：已知對角線AC及B點的投影試完成矩形的AB9第五講平面的投影

基本要求§4-1平面的表示法§4-2各種位置平面的投影特性§4-3屬于平面的點和直線第五講平面的投影基本要求10基本要求1掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡線表示法。2

熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法，能由已知平面的兩個投影求作其第三投影。3熟練掌握平面內的點和直線的幾何條件及作圖方法。熟練掌握平面內投影面平行線、投影面最大斜度線的投影特性。☆熟練掌握求平面對投影面傾角的作圖方法。（最打斜度線法）☆基本要求1掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡線表11§4-1平面的表示法一、用幾何元素表示平面二、平面的跡線表示法aabcbcbaacbcbaacbcabcabcdd用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。aabcbc§4-1平面的表示法一、用幾何元素表示平面二、平面的跡線表12二、平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義

平面的跡線是平面與投影面的交線。平面P與H投影面的交線稱作平面的水平跡線，用PH表示；平面P與V投影面的交線稱作平面的正面跡線，用PV表示。（平面名稱的大寫字母加右下標注相應投影面名稱）。PH、PV是平面P的兩條直線，不是一直線的兩投影。2、跡線的空間位置特點

平面跡線既屬于平面，又屬于投影面。3、跡線的投影特點

跡線的一個投影即其本身，其余投影在投影軸上。4、平面跡線的作圖

先作出平面內任意兩直線的跡點，再連接其同名跡點即平面的同面跡線，注意利用跡線共點。特殊位置平面用具有積聚性的跡線表示。

二、平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義13PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線求法PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線14作平面P（點K和直線AB）的正面跡線及水平跡線。PVPHk′b′baa′kPX注意:平面的正面跡線一定平行于平面上的正平線;平面的水平跡線一定平行于平面上的水平線。作平面P（點K和直線AB）的正面跡線及水平跡線。PVPHk′15§4-2各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面1、投影面垂直面—垂直于一個投影面

(1)鉛垂面⊥H(2)正垂面⊥V(3)側垂面⊥W2、投影面平行面—垂直于兩個投影面

(1)水平面∥H(2)正平面∥V(3)側平面∥W二、一般位置平面平面對H面的傾角為α，對V為β，對W為γababbacccαababbacccabbbaaαβccccabbacbca實形abbbaccca實形cabbbaacc實形abbaccbac§4-2各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面a16特殊位置平面小結投影面垂直面空間位置垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。投影特點在所垂直的投影面的投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，此具有積聚性的直線與相應的投影軸（該投影面反映的兩投影軸）的夾角反映平面對其它兩個投影面的傾角。另外兩個投影與空間平面圖形均為類似形（若為多邊形，邊數相等）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為傾斜于投影軸的直線，便可判斷該平面垂直于積聚投影所在的投影面。投影面平行面空間位置平行于一個投影面，同時垂直于另外兩個投影面。或者說平面上所有的點到同一個投影面的距離均相等。投影特點在所平行的投影面的投影反映其實形，另兩個投影積聚為平行于相應的投影軸的直線（所平行的投影面反映的那兩個投影軸）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為平行于投影軸的直線，便可判斷為投影面平行面。它一定平行于非直線投影所在的那個投影面。特殊位置平面小結投影面垂直面17特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面P正平面Q水平面R鉛垂面S側垂面U側平面T特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂18

三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過Z軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚鉛垂面判斷題：指出正確答案。1.B點是Z軸上的點;2.AB是鉛垂線!三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙19§4-3屬于平面的點和直線一、屬于一般位置平面的點和直線二、屬于特殊位置平面的點和直線三、屬于平面的投影面平行線四、屬于平面的最大斜度線及一般位置平面對投影面的傾角

§4-3屬于平面的點和直線20一、屬于平面的點和直線

1幾何條件⑴直線屬于平面的幾何條件（二者之一）

①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。⑵點屬于平面的幾何條件點在平面內的某一直線上。2投影作圖或判斷⑴在一般位置平面上取點和直線的作圖或判斷，實質上就是在平面內作輔助線的問題。⑵在特殊位置平面上取點和直線的作圖或判斷,實質上就是看點和直線的投影,是否在平面的積聚投影上。⑶利用在平面上取點和直線的作圖，可解決以下三類問題:

①判別已知點、線是否屬于已知平面；

②完成已知平面上的點和直線的投影；③完成平面的投影。(本講難點之一)一、屬于平面的點和直線1幾何條件211.取屬于一般位置平面的直線

取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。ABCEDabcabcddeeFff1.取屬于一般位置平面的直線取屬于定平面的直線，要222.取屬于一般位置平面的點

如要取屬于平面的點，必須要取自屬于該平面的已知直線ABCDEabcabcddee2.取屬于一般位置平面的點如要取屬于平面的點，必須23dd4433例題2：已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。abcabcee點D不屬于平面,判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?2112直線ⅠⅡ屬于平面dd4433例題2：已知ABC給定一平面，試判斷點24例題3：已知點D在

ABC上，試求點D的水平投影。ddabcabcee例題3：已知點D在ABC上，試求點D的水平投影。d253d例題4：已知點E在

ABC上，試求點E的正面投影。edabcabce判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?21123直線ⅠⅡ不屬于平面3d例題4：已知點E在ABC上，試求點E的正面投影263.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線abcabc關鍵是看點和直線的投影是否在平面的積聚投影上kk123123ggfeefnmmnEF屬于ABCK屬于ABCG不屬于ⅠⅡⅢMN不屬于ⅠⅡⅢ3.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線abcab27平面內的點和直線判斷點和直線是否屬于平面或在平面內取點和直線一般位置平面需作平面內的輔助線特殊位置平面不需作平面內的輔助線，只要確保點和直線的投影屬于平面的同名積聚投影即可。平面內的點和直線小結:平面內的點和直線一般位置平面特殊位置平面平面內的點和直線小結28二、屬于平面的投影面平行線

屬于平面的投影面平行線是既在平面上又平行于投影面的直線。在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質，又與所屬平面保持從屬關系。二、屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線是既29VHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面的水平線相互平行，均平行于該平面的水平跡線PH同一個一般位置平面的正平線相互平行，均平行于該平面的正面跡線PVVHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面30abcbac例題5：已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。mnnm注意同一平面的水平線和正平線是一對相交直線abcbac例題5：已知ABC給定一平面，試過點C31

例題6：已知點E

在△ABC平面上，且點E在B點的前方15、B點的下方10，試求點E的投影。Xabcbacmnmnrsrsee1015ee例題6：已知點E在△ABC平面上，且點E在B點的前方1532

例題6：已知點E

在△ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee例題6：已知點E在△ABC平面上，且點E距離H面15，距33三角形ABC為：例題7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過X軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚側垂面判斷題：指出正確答案。a′b′abc′cOX三角形ABC為：例題7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過34aabbcc

不補畫W投影，只利用V、H投影區分一般位置平面與側垂面。abcabc一般位置平面側垂面側垂面cabcab平面中存在一條側垂線aabbcc不補畫W投影，只利用V、H投影351、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為該平面的最大斜度線。平面上的最大斜度線有三組，即分別對水平投影面的最大斜度線、對正立投影面的最大斜度線及對側立投影面的最大斜度線。2、特性

（1）平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上同名投影面的平行線相互垂直。對H面的最大斜度線的H投影⊥平面水平線的H投影；對V面的最大斜度線的V投影⊥平面正平線的V投影；對W面的最大斜度線的W投影⊥平面側平線的W投影。（2）屬于平面的最大斜度線是平面上對某個投影面傾角最大的直線。3、幾何意義屬于平面的最大斜度線與投影面的傾角反映該平面對同一投影面的傾角。對H面的最大斜度線的α等于平面的α；對V面的最大斜度線的β等于平面的β。三、屬于平面的最大斜度線1、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱36VHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABEFVHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EFAB37VHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBAVHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CDAB平行38VHW（3）平面上對側立投影面的最大斜度線MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMNVHW（3）平面上對側立投影面的最大斜度線MN39H屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的最大斜度線；平面對某投影面的最大斜度線垂直于該平面的同面跡線或同面的投影面平行線。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度PCDaE1

S過點A作最大斜度線以外的屬于平面P的任意直線AS。它對H面的角度為。證明＜。因AE⊥CD，且SE∥CD，故AE⊥SE。根據直角投影定理，aE⊥SE則aS(斜邊)

＞aE(直角邊)，兩個直角△ASa和AEa，有相等的直角邊Aa，而另一對直角邊aS＞aE，故相應的銳角＜AEPHH屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的40例題8：求作

ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。ddeeabcabc作圖步驟作平面上的水平線過平面上任意點作與平面上水平線垂直相交的直線例題8：求作ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。d41abacbcα

例題9：求

ABC平面與水平投影面的夾角α

。作平面的水平線作平面對H面的最大斜度線求對H面最大斜度線的αabacbcα例題9：求ABC平面與水平投影面42abacbc

例題10：求

ABC平面與正面投影面的夾角β。作平面的正平線作平面對V面的最大斜度線求對V面最大斜度線的ββabacbc例題10：求ABC平面與正面投影面的43例題11：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。effe30°a′ba△YAB△YAB△YAB向右側作也可以，但還是上述兩平面bb與習題3-19相似!例題11：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。ef44β例題12：

已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出該平面。ffeeaa并且求出該平面的β=?β例題12：已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出45c′例題13：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的H投影，完成△ABC的V、H投影。a′d′badcb′c′例題13：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的46例題14：

已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′e例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平47例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′ef′f（另一種方法）如果圖形沒有特殊形狀,創造出一個特殊形狀來方便解題.通常是用平行線的投影特性來創造特殊圖形.例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平4811′d1例題15:已知平面ABCD的正投影如圖,其中BC的α=β,AC是正平線,完成平面ABCD的水平投影.a′b′ac′Xd′cb2b1d2b″βαOc″b″11′d1例題15:已知平面ABCD的正投影如圖,其中BC的49例題16：已知平面ABCD的一邊CD=45mm，完成其H面的投影。a′b′c′d′ab分析：這是一個共面問題。解決這種問題的實質是根據平面的表達方法確定一個平面。這里AB和CD顯然很難確定交點，因此可以根據兩平行線確定平面的辦法來解決(實際上是創造出特殊形狀)。作圖:根據直角三角形法，可以求得CD直線的△Y值。再創造出包含CD的特殊圖形,根據平行線的投影性質，即可完成該平面圖形。cd45d01′1例題16：已知平面ABCD的一邊CD=45mm，完成其H面的5021例題16(改)：已知平面ABCD的一邊CD=45mm，完成其H面的投影。a′b′c′d′ab分析：這是一個共面問題。解決這種問題的實質是根據平面的表達方法確定一個平面。這里AB和CD顯然很難確定交點，因此可以根據兩平行線確定平面的辦法來解決(實際上是創造出特殊形狀)。作圖:根據直角三角形法，可以求得CD直線的△Y值。再創造出包含CD的特殊圖形,根據平行線的投影性質，即可完成該平面圖形。cd451′2′21例題16(改)：已知平面ABCD的一邊CD=45mm，完51ddabba△△△△c

例題17：以水平線AB為邊作正三角形與水平投影面H的夾角成30°。1.以ab=AB為邊作正三角形c′30°與習題4-13相似!2.高CD是正三角形的最大斜度線高的實長有四解cd△ZCDddabba△△△△c例題152

cdabba△△△△c

例題18：以水平線AB為邊作正三角形與水平投影面H的夾角成30°。1.以ab為邊作正三角形c′30°45°高的實長45°ddc′

△ZDCc改在45°的情況下,有△ZDC=cd此題還可改為60°2.高CD是正三角形的最大斜度線有四解以水平線AB為邊作正方形與水平投影面H的夾角成30°以水平線AB為邊作長方形ABCD且它與水平投影面H的夾角成30°,AB:BC=3:2。以水平線AB為對角線作菱形ABCD,它與水平投影面H的夾角成30°且AC=BD。cdabba△△△△c例題18：53c30°a′abc′例題18:含AB作平面，使其β=30°分析：要使所作平面上的正平線與其對V面的最大斜度線是一對垂直相交的直線（運用直角投影定律）。投影作圖步驟

以直角邊YB-

YA(實際上是最大斜度線BC的Y坐標差)、β=30°作直角三角形，獲得對V面的最大斜度線(BC)的V投影長。以b′為圓心，上述投影長為半徑畫圓。過a′向此圓作切線(與半徑構成直角），獲切點C的V、H投影。連接AC、BC，完成作圖。b′設定正平線AC的水平投影位置最大斜度線BC的△Y最大斜度線BC的b′c′難題!c30°a′abc′例題18:含AB作平面，使其β=3054本講重、難點熟練掌握平面的空間七種位置及其投影特征。充分理解平面的跡線概念，了解平面的跡線作法。熟練掌握平面上的各種直線的概念、求法。有關最大斜度線的問題為本講的難點。熟練掌握平面上取點水平面、正平面、側平面，鉛垂面、正垂面、側垂面、一般面PV、PH分別是平面上的兩條特殊線，求跡線的方法同求跡點平面上作正平線、水平線，平面上作最大斜度線的方法，以最大斜度線求平面傾角的方法，如何完成各種平面的投影是有關最大斜度線的靈活應用本講重、難點熟練掌握平面的空間七種位置及其投影特征。水平面、55習題﹕預習：1.直線與平面平行2.平面與平面平行3.直線與平面相交（特殊情況和一般情況☆）4.平面與平面相交（特殊情況和一般情況☆）P14:4-1,4-2(6選2),4-2P15:4-4,4-6,4-8,4-5or4-7P16:4-9,4-10(其一),4-11☆,4-12☆,4-13☆習題﹕預習：1.直線與平面平行P14:4-1,4-2(6選256本講結束本講結束57

例題19：

以AB為邊長作正三角形，使其與V面成30°角。本題有幾解？a′b′abd30°c′d′cc′d′有四解例題19：以AB為邊長作正三角形，使其與V面成30°角58建筑識圖課件559建筑識圖課件560建筑識圖課件561大家好大家好62熟練掌握點與直線的關系，直線與直線的關系。充分理解空間相互垂直的兩直線的投影特征，熟練掌握并能靈活運用直角投影定理。上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見性的判斷(a)(b)(c)不垂直上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見63

已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、H投影。（習題）復習題：f′e′a′aefd′dADscbcb′c′DB或DC的實長30°ADBC本題幾解?有一解30°已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、641.已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的V、H投影。復習題：f′e′a′aef1′130°ADBC2.已知正方形ABCD，邊BC屬于EF，完成此正方形的V、H投影。3.已知長方形ABCD，邊BC屬于EF，且AB：BC=3：2，完成此長方形的V、H投影。4.已知菱形ABCD，另外一對角線BC屬于EF，且AC=BD。完成此菱形的V、H投影。ADBCADBC32DABC1.已知等邊三角形ABC，邊BC屬于EF，完成此三角形的65復習題

已知點K至直線AB的距離為30mm，求作點K的水平投影k,以及距離KL的投影。分析因為AB是水平線，點L在AB上,由此可知垂線KL的Z坐標差，再由的KL實長已知,便可求出其水平投影長。投影作圖步驟以ZA-ZK為直角邊，30mm為斜邊作直角三角形。作與ab相距為垂線段水平投影長的平行線（上述直角三角形的另一直角邊長）。上述平行線和投影連線相交于k。k′b′baa′k30ll′kl′復習題已知點K至直線AB的距離為30mm，求作點K的水平投66當直線中有特殊位置直線(其中一條是垂直線或都是平行線、垂直線)時,應用直角投影定律,可以作出公垂線.dd′c′b′a′abcdee′Ⅱz–ⅠzScOcbaa(b)Xcd(e)eSCffbacd(a)bc(d)(e)(f)efSc兩直線的公垂線(最短距離)當直線中有特殊位置直線(其中一條是垂直線或都是平行線、垂直線67bbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H2e2Dd2a2當兩直線都是一般位置直線時,用投影變換的方法,可以使公垂線的求解變得簡單.兩直線的公垂線(最短距離)dbc′c`a′b′ad′bacd(a)bc(d)(e)(f)efScbbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H268直線的投影（五）專業級班姓名學號審核成績3-19三角形ABC為一直角三角形，其中∠B=90°，邊BC=25mm3-22已知等邊三角形ABC一邊BC屬于EF，完成此三角形的3-21已知直線AB垂直于BC，BC=30mm，點C屬于V面，求b′c′、bc。3-20已知點C到直線AB的距離為35mm，求c′。abb′a′acb′a′c′caba′b′adcba′c′XXXXXa′aefe′f′aba′b′XV、H面投影。且β=30°，試完成其兩面投影。3-17已知對角線AC和點B的V面投影，試完成菱形ABCD的兩投影。3-18矩形ABCD的對角線AC為水平線，試完成該矩形的V面投影。131bd′1′b′d′BC=2530°ccc′CDorDBADb′c′bcdd′βadBC=30c′c距離=35c′BC=30c′兩解兩解四解d直線的投影（五）專業級班姓69ee′復習題：已知對角線AC及B點的投影試完成矩形的ABCD兩面投影。(與習題相似)a′c′acb′d′bd解題的關鍵點:求另一對角線BD的投影長(用直角三角形法);1.ac=AC=BD2.∣ZD-ZE︱=∣ZE-ZB∣3.求出ed或ebSCAE有兩解be或deSCAE△ZBE△ZDE或△YDESCAEb′e′或d′e′△YBEee′復習題：已知對角線AC及B點的投影試完成矩形的AB70第五講平面的投影

基本要求§4-1平面的表示法§4-2各種位置平面的投影特性§4-3屬于平面的點和直線第五講平面的投影基本要求71基本要求1掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡線表示法。2

熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法，能由已知平面的兩個投影求作其第三投影。3熟練掌握平面內的點和直線的幾何條件及作圖方法。熟練掌握平面內投影面平行線、投影面最大斜度線的投影特性。☆熟練掌握求平面對投影面傾角的作圖方法。（最打斜度線法）☆基本要求1掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡線表72§4-1平面的表示法一、用幾何元素表示平面二、平面的跡線表示法aabcbcbaacbcbaacbcabcabcdd用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。aabcbc§4-1平面的表示法一、用幾何元素表示平面二、平面的跡線表73二、平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義

平面的跡線是平面與投影面的交線。平面P與H投影面的交線稱作平面的水平跡線，用PH表示；平面P與V投影面的交線稱作平面的正面跡線，用PV表示。（平面名稱的大寫字母加右下標注相應投影面名稱）。PH、PV是平面P的兩條直線，不是一直線的兩投影。2、跡線的空間位置特點

平面跡線既屬于平面，又屬于投影面。3、跡線的投影特點

跡線的一個投影即其本身，其余投影在投影軸上。4、平面跡線的作圖

先作出平面內任意兩直線的跡點，再連接其同名跡點即平面的同面跡線，注意利用跡線共點。特殊位置平面用具有積聚性的跡線表示。

二、平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義74PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線求法PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線75作平面P（點K和直線AB）的正面跡線及水平跡線。PVPHk′b′baa′kPX注意:平面的正面跡線一定平行于平面上的正平線;平面的水平跡線一定平行于平面上的水平線。作平面P（點K和直線AB）的正面跡線及水平跡線。PVPHk′76§4-2各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面1、投影面垂直面—垂直于一個投影面

(1)鉛垂面⊥H(2)正垂面⊥V(3)側垂面⊥W2、投影面平行面—垂直于兩個投影面

(1)水平面∥H(2)正平面∥V(3)側平面∥W二、一般位置平面平面對H面的傾角為α，對V為β，對W為γababbacccαababbacccabbbaaαβccccabbacbca實形abbbaccca實形cabbbaacc實形abbaccbac§4-2各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面a77特殊位置平面小結投影面垂直面空間位置垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。投影特點在所垂直的投影面的投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，此具有積聚性的直線與相應的投影軸（該投影面反映的兩投影軸）的夾角反映平面對其它兩個投影面的傾角。另外兩個投影與空間平面圖形均為類似形（若為多邊形，邊數相等）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為傾斜于投影軸的直線，便可判斷該平面垂直于積聚投影所在的投影面。投影面平行面空間位置平行于一個投影面，同時垂直于另外兩個投影面。或者說平面上所有的點到同一個投影面的距離均相等。投影特點在所平行的投影面的投影反映其實形，另兩個投影積聚為平行于相應的投影軸的直線（所平行的投影面反映的那兩個投影軸）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為平行于投影軸的直線，便可判斷為投影面平行面。它一定平行于非直線投影所在的那個投影面。特殊位置平面小結投影面垂直面78特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面P正平面Q水平面R鉛垂面S側垂面U側平面T特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂79

三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過Z軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚鉛垂面判斷題：指出正確答案。1.B點是Z軸上的點;2.AB是鉛垂線!三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙80§4-3屬于平面的點和直線一、屬于一般位置平面的點和直線二、屬于特殊位置平面的點和直線三、屬于平面的投影面平行線四、屬于平面的最大斜度線及一般位置平面對投影面的傾角

§4-3屬于平面的點和直線81一、屬于平面的點和直線

1幾何條件⑴直線屬于平面的幾何條件（二者之一）

①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。⑵點屬于平面的幾何條件點在平面內的某一直線上。2投影作圖或判斷⑴在一般位置平面上取點和直線的作圖或判斷，實質上就是在平面內作輔助線的問題。⑵在特殊位置平面上取點和直線的作圖或判斷,實質上就是看點和直線的投影,是否在平面的積聚投影上。⑶利用在平面上取點和直線的作圖，可解決以下三類問題:

①判別已知點、線是否屬于已知平面；

②完成已知平面上的點和直線的投影；③完成平面的投影。(本講難點之一)一、屬于平面的點和直線1幾何條件821.取屬于一般位置平面的直線

取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。ABCEDabcabcddeeFff1.取屬于一般位置平面的直線取屬于定平面的直線，要832.取屬于一般位置平面的點

如要取屬于平面的點，必須要取自屬于該平面的已知直線ABCDEabcabcddee2.取屬于一般位置平面的點如要取屬于平面的點，必須84dd4433例題2：已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。abcabcee點D不屬于平面,判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?2112直線ⅠⅡ屬于平面dd4433例題2：已知ABC給定一平面，試判斷點85例題3：已知點D在

ABC上，試求點D的水平投影。ddabcabcee例題3：已知點D在ABC上，試求點D的水平投影。d863d例題4：已知點E在

ABC上，試求點E的正面投影。edabcabce判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?21123直線ⅠⅡ不屬于平面3d例題4：已知點E在ABC上，試求點E的正面投影873.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線abcabc關鍵是看點和直線的投影是否在平面的積聚投影上kk123123ggfeefnmmnEF屬于ABCK屬于ABCG不屬于ⅠⅡⅢMN不屬于ⅠⅡⅢ3.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線abcab88平面內的點和直線判斷點和直線是否屬于平面或在平面內取點和直線一般位置平面需作平面內的輔助線特殊位置平面不需作平面內的輔助線，只要確保點和直線的投影屬于平面的同名積聚投影即可。平面內的點和直線小結:平面內的點和直線一般位置平面特殊位置平面平面內的點和直線小結89二、屬于平面的投影面平行線

屬于平面的投影面平行線是既在平面上又平行于投影面的直線。在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質，又與所屬平面保持從屬關系。二、屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線是既90VHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面的水平線相互平行，均平行于該平面的水平跡線PH同一個一般位置平面的正平線相互平行，均平行于該平面的正面跡線PVVHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面91abcbac例題5：已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。mnnm注意同一平面的水平線和正平線是一對相交直線abcbac例題5：已知ABC給定一平面，試過點C92

例題6：已知點E

在△ABC平面上，且點E在B點的前方15、B點的下方10，試求點E的投影。Xabcbacmnmnrsrsee1015ee例題6：已知點E在△ABC平面上，且點E在B點的前方1593

例題6：已知點E

在△ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee例題6：已知點E在△ABC平面上，且點E距離H面15，距94三角形ABC為：例題7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過X軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚側垂面判斷題：指出正確答案。a′b′abc′cOX三角形ABC為：例題7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過95aabbcc

不補畫W投影，只利用V、H投影區分一般位置平面與側垂面。abcabc一般位置平面側垂面側垂面cabcab平面中存在一條側垂線aabbcc不補畫W投影，只利用V、H投影961、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為該平面的最大斜度線。平面上的最大斜度線有三組，即分別對水平投影面的最大斜度線、對正立投影面的最大斜度線及對側立投影面的最大斜度線。2、特性

（1）平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上同名投影面的平行線相互垂直。對H面的最大斜度線的H投影⊥平面水平線的H投影；對V面的最大斜度線的V投影⊥平面正平線的V投影；對W面的最大斜度線的W投影⊥平面側平線的W投影。（2）屬于平面的最大斜度線是平面上對某個投影面傾角最大的直線。3、幾何意義屬于平面的最大斜度線與投影面的傾角反映該平面對同一投影面的傾角。對H面的最大斜度線的α等于平面的α；對V面的最大斜度線的β等于平面的β。三、屬于平面的最大斜度線1、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱97VHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABEFVHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EFAB98VHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBAVHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CDAB平行99VHW（3）平面上對側立投影面的最大斜度線MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMNVHW（3）平面上對側立投影面的最大斜度線MN100H屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的最大斜度線；平面對某投影面的最大斜度線垂直于該平面的同面跡線或同面的投影面平行線。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度PCDaE1

S過點A作最大斜度線以外的屬于平面P的任意直線AS。它對H面的角度為。證明＜。因AE⊥CD，且SE∥CD，故AE⊥SE。根據直角投影定理，aE⊥SE則aS(斜邊)

＞aE(直角邊)，兩個直角△ASa和AEa，有相等的直角邊Aa，而另一對直角邊aS＞aE，故相應的銳角＜AEPHH屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的101例題8：求作

ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。ddeeabcabc作圖步驟作平面上的水平線過平面上任意點作與平面上水平線垂直相交的直線例題8：求作ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。d102abacbcα

例題9：求

ABC平面與水平投影面的夾角α

。作平面的水平線作平面對H面的最大斜度線求對H面最大斜度線的αabacbcα例題9：求ABC平面與水平投影面103abacbc

例題10：求

ABC平面與正面投影面的夾角β。作平面的正平線作平面對V面的最大斜度線求對V面最大斜度線的ββabacbc例題10：求ABC平面與正面投影面的104例題11：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。effe30°a′ba△YAB△YAB△YAB向右側作也可以，但還是上述兩平面bb與習題3-19相似!例題11：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。ef105β例題12：

已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出該平面。ffeeaa并且求出該平面的β=?β例題12：已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出106c′例題13：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的H投影，完成△ABC的V、H投影。a′d′badcb′c′例題13：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的107例題14：

已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′e例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平108例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′ef′f（另一種方法）如果圖形沒有特殊形狀,創造出一個特殊形狀來方便解題.通常是用平行線的投影特性來創造特殊圖形.例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平10911′