第一換元法第二換元法分部積分法幾種特殊類型函數(shù)的積分一、不定積分主要內(nèi)容基本積分公式12/13/20221福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院第一換元法分部幾種特殊類型一、不定積分主要內(nèi)容基本積分公式2、不定積分1、原函數(shù)12/13/20222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2、不定積分1、原函數(shù)12/12/20222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.不定積分的線性性質(zhì)12/13/20223福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.不定積分的線性性質(zhì)12/3、基本積分表是常數(shù))12/13/20224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院3、基本積分表是常數(shù))12/12/20224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)12/13/20225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/20225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.12/13/20226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定常見類型:12/13/20227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常見類型:12/12/20227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院6、第二類換元法第二類換元公式12/13/20228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院6、第二類換元法第二類換元公式12/12/20228福州大學(xué)常用代換:12/13/20229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常用代換:12/12/20229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/13/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院10三、分部積分法公式形如：取u=Pn(x),其余部分當(dāng)作dv=vdx形如:取dv

=Pn(x)dx,其余部分當(dāng)作

u12/13/202210福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院10三、分部積分12/13/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院11形如:可把任一項(xiàng)取為u

，其余部分當(dāng)作

dv一般要連續(xù)分部兩次再把所求的不定積分用解方程方法求得。12/13/202211福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院11形如:可把任9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法12/13/202212福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式四種類型分式的不定積分12/13/202213福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四種類型分式的不定積分12/12/202213福州大學(xué)數(shù)學(xué)與此兩積分都可積,后者有遞推公式12/13/202214福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院此兩積分都可積,后者有遞推公式12/12/202214福州大（2）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)．12/13/202215福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院（2）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)令（3）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為12/13/202216福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院令（3）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)2.定積分的幾何意義二、定積分1.定義3.定積分存在的充分必要條件12/13/202217福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2.定積分的幾何意義二、定積分1.定義3.定積分存在的充分必12/13/202218福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/202218福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/13/202219福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/202219福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四、可積函數(shù)類

注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，也仍然可積。

12/13/202220福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四、可積函數(shù)類注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，也仍則對(duì)任意給定的1、線性性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)12/13/202221福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院則對(duì)任意給定的1、線性性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)12/12/202性質(zhì)2（乘積可積性）補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.性質(zhì)3(積分區(qū)間可加性)設(shè)f(x)在[a,b]可積，a<c<b,則f(x)在[a,c]及[c,b]可積，反之亦然。且有下式成立12/13/202222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)2（乘積可積性）補(bǔ)充：不論的相對(duì)位性質(zhì)4(保號(hào)性)如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5(保序性)性質(zhì)6(積分估計(jì))

：12/13/202223福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)4(保號(hào)性)如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5注意：反之不成立。例如性質(zhì)7(絕對(duì)可積性)12/13/202224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院注意：反之不成立。例如性質(zhì)7(絕對(duì)可積性)12/12/202（積分第一中值定理）性質(zhì)812/13/202225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院（積分第一中值定理）性質(zhì)812/12/202225福州大學(xué)數(shù)性質(zhì)9′（定積分第一中值定理的推論）積分中值公式另一個(gè)特殊情況：

第一積分中值定理的結(jié)論就變成了12/13/202226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)9′（定積分第一中值定理的推論）積分中值公式另一個(gè)特殊情1、積分上限函數(shù)性質(zhì)六、微積分基本公式定理112/13/202227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院1、積分上限函數(shù)性質(zhì)六、微積分基本公式定理112/12/202、牛頓—萊布尼茨公式12/13/202228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2、牛頓—萊布尼茨公式12/12/202228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與定理七、定積分換元積分法則有12/13/202229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院定理七、定積分換元積分法則有12/12/202229福州大學(xué)

八、定積分的分部積分法12/13/202230福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院八、定積分的分部積分法12/12/202230福州大學(xué)常用性質(zhì)和公式：12/13/202231福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常用性質(zhì)和公式：12/12/202231福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)12/13/202232福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)12/12/202232福州大學(xué)數(shù)學(xué)九、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形12/13/202233福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院九、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)12/13/202234福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函極坐標(biāo)情形12/13/202235福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院極坐標(biāo)情形12/12/202235福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院(2)體積xyo12/13/202236福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院(2)體積xyo12/12/202236福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)平行截面面積為已知的立體的體積12/13/202237福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院平行截面面積為已知的立體的體積12/12/202237福州大(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為12/13/202238福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為12C．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo12/13/202239福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院C．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo12/12/2質(zhì)心(重心)

1、平面曲線段的質(zhì)心(重心)

設(shè)有一平面曲線段L，其密度函數(shù)為

(x)，設(shè)

(x)在L上連續(xù)，則由得平面曲線段的重心

為.12/13/202240福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院質(zhì)心(重心)

1、平面曲線段的質(zhì)心(重心)設(shè)有一平弧長微分弧長2、直角坐標(biāo)情形12/13/202241福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院弧長微分弧長2、直角坐標(biāo)情形12/12/202241福州大學(xué)

平面曲線段的質(zhì)心為:12/13/202242福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院平面曲線段的質(zhì)心為:12/12/202242福州大學(xué)數(shù)3、參數(shù)方程情形12/13/202243福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院3、參數(shù)方程情形12/12/202243福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)12/13/202244福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/202244福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院第一換元法第二換元法分部積分法幾種特殊類型函數(shù)的積分一、不定積分主要內(nèi)容基本積分公式12/13/202245福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院第一換元法分部幾種特殊類型一、不定積分主要內(nèi)容基本積分公式2、不定積分1、原函數(shù)12/13/202246福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2、不定積分1、原函數(shù)12/12/20222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.不定積分的線性性質(zhì)12/13/202247福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.不定積分的線性性質(zhì)12/3、基本積分表是常數(shù))12/13/202248福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院3、基本積分表是常數(shù))12/12/20224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)12/13/202249福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/20225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法.12/13/202250福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院5、第一類換元法4、直接積分法第一類換元公式（湊微分法）由定常見類型:12/13/202251福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常見類型:12/12/20227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院6、第二類換元法第二類換元公式12/13/202252福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院6、第二類換元法第二類換元公式12/12/20228福州大學(xué)常用代換:12/13/202253福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常用代換:12/12/20229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/13/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院54三、分部積分法公式形如：取u=Pn(x),其余部分當(dāng)作dv=vdx形如:取dv

=Pn(x)dx,其余部分當(dāng)作

u12/13/202254福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院10三、分部積分12/13/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院55形如:可把任一項(xiàng)取為u

，其余部分當(dāng)作

dv一般要連續(xù)分部兩次再把所求的不定積分用解方程方法求得。12/13/202255福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/2022福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院11形如:可把任9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法12/13/202256福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院9、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分定義兩個(gè)多項(xiàng)式四種類型分式的不定積分12/13/202257福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四種類型分式的不定積分12/12/202213福州大學(xué)數(shù)學(xué)與此兩積分都可積,后者有遞推公式12/13/202258福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院此兩積分都可積,后者有遞推公式12/12/202214福州大（2）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)．12/13/202259福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院（2）簡單無理函數(shù)的積分討論類型：解決方法：作代換去掉根號(hào)令（3）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為12/13/202260福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院令（3）三角函數(shù)有理式的積分定義由三角函數(shù)2.定積分的幾何意義二、定積分1.定義3.定積分存在的充分必要條件12/13/202261福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2.定積分的幾何意義二、定積分1.定義3.定積分存在的充分必12/13/202262福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/202218福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/13/202263福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院12/12/202219福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四、可積函數(shù)類

注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，也仍然可積。

12/13/202264福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院四、可積函數(shù)類注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，也仍則對(duì)任意給定的1、線性性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)12/13/202265福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院則對(duì)任意給定的1、線性性質(zhì)五、定積分的性質(zhì)12/12/202性質(zhì)2（乘積可積性）補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.性質(zhì)3(積分區(qū)間可加性)設(shè)f(x)在[a,b]可積，a<c<b,則f(x)在[a,c]及[c,b]可積，反之亦然。且有下式成立12/13/202266福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)2（乘積可積性）補(bǔ)充：不論的相對(duì)位性質(zhì)4(保號(hào)性)如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5(保序性)性質(zhì)6(積分估計(jì))

：12/13/202267福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)4(保號(hào)性)如果在區(qū)間上，則有性質(zhì)5注意：反之不成立。例如性質(zhì)7(絕對(duì)可積性)12/13/202268福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院注意：反之不成立。例如性質(zhì)7(絕對(duì)可積性)12/12/202（積分第一中值定理）性質(zhì)812/13/202269福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院（積分第一中值定理）性質(zhì)812/12/202225福州大學(xué)數(shù)性質(zhì)9′（定積分第一中值定理的推論）積分中值公式另一個(gè)特殊情況：

第一積分中值定理的結(jié)論就變成了12/13/202270福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院性質(zhì)9′（定積分第一中值定理的推論）積分中值公式另一個(gè)特殊情1、積分上限函數(shù)性質(zhì)六、微積分基本公式定理112/13/202271福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院1、積分上限函數(shù)性質(zhì)六、微積分基本公式定理112/12/202、牛頓—萊布尼茨公式12/13/202272福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院2、牛頓—萊布尼茨公式12/12/202228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與定理七、定積分換元積分法則有12/13/202273福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院定理七、定積分換元積分法則有12/12/202229福州大學(xué)

八、定積分的分部積分法12/13/202274福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院八、定積分的分部積分法12/12/202230福州大學(xué)常用性質(zhì)和公式：12/13/202275福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院常用性質(zhì)和公式：12/12/202231福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)12/13/202276福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)12/12/202232福州大學(xué)數(shù)學(xué)九、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形12/13/202277福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院九、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)12/13/202278福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函極坐標(biāo)情形12/13/202279福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院極坐標(biāo)情形12/12/