復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的控制張玉林2021/3/302報告提綱一、控制論

二、混沌

三、規則網絡時空混沌的牽制控制

四、無標度動態網絡的牽制控制

五、一般復雜動態網絡的牽制控制

2021/3/303復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網復雜網絡的牽制控制課件2復雜網絡的牽制控制課件3復雜網絡的牽制控制課件4復雜網絡的牽制控制課件5

控制理論作為一門科學技術，已經廣泛地運用于我們社會生活的方方面面。洗衣機智能控制電冰箱溫度控制2022/12/116控制理論作為一門科學技術，已經廣泛地運用于我們社會生活的方1.兩千年前我國發明的

指南車，就是一種開

環自動調節系統。指南車2.公元1086－1089年

（北宋哲宗元祐初年），

我國發明的水運儀象臺，

就是一種閉環自動調節系

統。水運儀象臺2022/12/1171.兩千年前我國發明的

指南車，就是一種開標志階段

1.1947年控制論的奠基人美國數學家韋納（N.Weiner）把控制論引起的自動化同第二次產業革命聯系起來，并與1948年出版了《控制論—關于在動物和機器中控制與通訊的科學》，書中論述了控制理論的一般方法，推廣了反饋的概念，為控制理論這門學科奠定了基礎。控制論之父——韋納2022/12/118標志階段1.1947年控制論的奠基人美國數學家韋納（2.我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與1954年出版了《工程控制論》。錢學森2022/12/1192.我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與195復雜系統理論：把系統的研究拓廣到開放復雜巨系統的范

籌，以解決復雜系統的控制為目標。回顧控制理論的發展歷程可以看出，它的發展過程反映了人類由機械化時代進入電氣化時代，并走向自動化、信息化、智能化時代。復雜航天器控制2022/12/1110復雜系統理論：把系統的研究拓廣到開放復雜巨系統的范

控制論的三個基本部分1.信息論。主要是關于各種通路（包括機器、生物機體）中信息的加工傳遞和貯存的統計理論。

2.自動控制系統的理論。主要是反饋論，包括從功能的觀點對機器和物體中（神經系統、內分泌及其他系統）的調節和控制的一般規律的研究。

3.自動快速電子計算機的理論。即與人類思維過程相似的自動組織邏過程的理論2022/12/1111控制論的三個基本部分2022/12/1011控制論的四個特征第一個特征，是要有一個預定的穩定狀態或平衡狀態。例如在上述的度控制系統中，速度的給定值就是預定的穩定狀態。

第二個特征，是從外部環境到系統內部有一種信息的傳遞。例如，在度控制系統中，轉速的變化引起的離心力的變化，就是一種從外部傳遞到統內部的信息。

第三個特征，是這種系統具有一種專門設計用來校正行動的裝置。例如速度控制系統中通過調速器旋轉桿張開的角度控制蒸汽機的進汽閥門升降裝置。

第四個特征，是這種系統為了在不斷變化的環境中維持自身的穩定，內部都具有自動調節的機制，換言之，控制系統都是一種動態系統。2022/12/1112控制論的四個特征2022/12/1012反饋控制系統

基于反饋原理建立的自動控制系統。所謂反饋原理，就是根據系統輸出變化的信息來進行控制，即通過比較系統行為（輸出）與期望行為之間的偏差，并消除偏差以獲得預期的系統性能。在反饋控制系統中，既存在由輸入到輸出的信號前向通路，也包含從輸出端到輸入端的信號反饋通路，兩者組成一個閉合的回路。因此，反饋控制系統又稱為閉環控制系統。反饋控制是自動控制的主要形式。在工程上常把在運行中使輸出量和期望值保持一致的反饋控制系統稱為自動調節系統，而把用來精確地跟隨或復現某種過程的反饋控制系統稱為伺服系統或隨動系統。

2022/12/1113反饋控制系統2022/12/1013反饋控制系統反饋控制系統包括：（一）負反饋（negativefeedback）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相反，對控制部分的活動起制約或糾正作用的，稱為負反饋1.意義：維持穩態2.缺點：滯后、波動（二）正反饋（positivefeedback）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相同，對控制部分的活動起增強作用的，稱為正反饋意義：加速生理過程，使機體活動發揮最大效應。

反饋控制系統由控制器、受控對象和反饋通路組成。在反饋控制系統中，不管出于什么原因（外部擾動或系統內部變化），只要被控制量偏離規定值，就會產生相應的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干擾的能力，對元件特性變化不敏感，并能改善系統的響應特性。2022/12/1114反饋控制系統2022/12/10142022/12/11152022/12/1015

二、混沌

2022/12/1116二、混沌

2022/12/1016混沌的產生

下面是著名的洛倫茲吸引子。洛倫茲(E.N.Lorenz)是當代世界知名的動力氣象學家、混沌理論的少有幾位創立者之一。他在1963年發表的關于混沌理論的開創性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認，并很快引發對混沌研究的熱潮，由此誕生和發展起了一門新興學科—混沌理論，成為現代新興學科的代表。洛倫茲吸引子方程如下：

2022/12/1117混沌的產生

混沌的產生(續)2022/12/1118混沌的產生(續)2022/12/1018混沌的產生(續)奇異吸引子2022/12/1119混沌的產生(續)奇異吸引子2022/12/1019湍流(turbulence)復雜、不規則、貌似游走無常的流體運動。例如：水流的漩渦；以前的理論解釋：模態（modes）周期運動。當流體受到外力的作用時，一定數目的模態就被激發出來；沒有模態被激發，流體就處于定常狀態；如果單一模態被激發，就是周期振蕩；如果幾個模態被激發，流動變得不規則；許多模態被激發時，就是湍流。2022/12/1120湍流(turbulence)復雜、不規則、貌似游走無常的流混沌的定義設V為一個集合,f:VV稱為在V上是混沌的,如果:f對初始條件的敏感依賴性;f是拓撲傳遞的;周期點在V中是稠密的;2022/12/1121混沌的定義設V為一個集合,f:VV稱為在V上是混沌的煙頭燃燒，沒有任何外力的情況下，煙會自動分解。在什么時候分解？什么原因分解？分解時刻是否可以預測？2022/12/1122煙頭燃燒，沒有任何外力的情況下，煙會自動分解。202一維邏輯斯蒂映射映射(mapping)也叫迭代(iteration)xn+1=2xn，若x1=3,則x2=6，x3=12……。從控制系統的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當作輸入，不斷滾動。很容易想到，反饋的結果有若干種：發散的、收斂的、周期的等等。但是我們要問一下，一共有多少種可能的運動類型?是否存在既不收斂也不發散，也不周期循環的迭代過程?這就是有界非周期運動，它與混沌有關2022/12/1123一維邏輯斯蒂映射映射(mapping)也叫迭代(iterat邏輯斯蒂映射的形式為其中a是參數，取值范圍是［-2,4］，通常人們只注意［0,4］這一半，其實另一半［-2,0］也一樣有趣。x的取值為［0,1］。映射的不動點是指滿足關系ξ=aξ(1-ξ)的相點ξ,解得ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。設映射用f表示，f的2次迭代記作f2，3次迭代記作f3，等等。注意，這種記法不表示乘方關系。f的不動點也叫f的周期1點。f

2的不動點實際上是f的周期2點。同理fn的不動點與f的周期n點是一回事。2022/12/1124邏輯斯蒂映射的形式為2022/12/1024映射f的周期m點的穩定性由乘子完全決定。映射f的周期點(包括不動點，它為周期1點)的穩定性可具體定義為：｜λ｜＜1，吸引，穩定；

｜λ｜＞1，排斥，不穩定；

｜λ｜=1，中性；

λ=0，超穩定。2022/12/1125映射f的周期m點的穩定性由乘子2022/12/1025以參數a為橫坐標、以x的穩定定態(stablesteadystates)為縱坐標作圖，得到1、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結構的一套東西。此所謂無窮自相似結構。2022/12/1126以參數a為橫坐標、以x的穩定定態(stablesteady2022/12/11272022/12/10272022/12/11282022/12/10282022/12/11292022/12/1029在洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，發現相鄰分岔間距之比收斂到一個不變的常數：不僅僅對于邏輯斯蒂映射有這個常數，對于一維“單峰”映射，都能算出同一個常數

δ

來。δ的含義是什么？意義何在？2022/12/1130在洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，混沌混沌可以說他是確定性的行為；或者，若考慮他出現在稍微有點隨機性的實際系統中，也可以說他是近似與確定性的，然而卻不是看起來像確定性的。在某些動力系統中，兩個幾乎一致的狀態經過充分長的時間后會變得毫無一致性。2022/12/1131混沌混沌可以說他是確定性的行為；2022/12/1031混沌可以理解為貌似隨機的確定性。2022/12/1132混沌可以理解為貌似隨機的確定性。2022/12/1032三、規則網絡時空混沌的牽制控制

2022/12/1133三、規則網絡時空混沌的牽制控制

2022/12/1033牽制控制的原始基本思想:

希望能夠僅對網絡中的一部分節點直接施加常數輸入控制而達到有效抑制整個網絡的時空混沌行為的目的.早期的工作包括由胡崗等人對由L個節點組成的一維離散時間最近鄰耦合映像格子所做的探索,未控制的狀態方程為:2022/12/1134牽制控制的原始基本思想:2022/12/1034牽制控制基本問題◆一.可行性問題.◆二.有效性問題.2022/12/1135牽制控制基本問題2022/12/1035牽制控制的可行性問題：參考文獻1.WangXF,ChenGR.Pinningcontrolofscale-freedy-namicalnetworks.PhysicaA,2019,310(3-4).2.LiX,WangXF,ChenGR.Pinningacomplexdynam-icalnetworktoitsequilibrium.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI,2019.◆這方面的研究目前主要集中在對部分節點施加線性反饋而使得整個動態網絡穩定在期望的同步狀態.在理論方面已經清楚的是,只要網絡的耦合強度和反饋控制增益合適,那么只需控制部分節點就能夠實現控制目標.2022/12/1136牽制控制的可行性問題：參考文獻◆這方面的研究目前主要集中在對有效性問題◆即如何選取受控節點才能使得達到控制目標所花的代價盡可能小.這里的代價包括所需直接控制的節點數量、網絡耦合強度和反饋控制增益幅值等.已有的研究表明,利用網絡的拓撲特性,有選擇地對網絡中少量關鍵節點直接施加控制要比隨機選擇部分節點加以控制具有明顯優勢.參考文獻1.WangXF,ChenGR.Pinningcontrolofscale-freedy-namicalnetworks.PhysicaA,2019,310(3-4).2.LiX,WangXF,ChenGR.Pinningacomplexdynam-icalnetworktoitsequilibrium.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI,2019.2022/12/1137有效性問題2022/12/1037為系統的狀態變量為系統的狀態變量表示映像格子的空間坐標表示耦合強度表示局域動力學胡崗等對有L個節點組成的一維離散時間最近鄰耦合印象格子規則網絡的牽制控制2022/12/1138為系統的狀態變量為系統的狀態變量表示映像格子的空間坐標表示耦受控制的狀態方程為

其中I是相鄰的兩個被牽制控制節點之間的距離.L=I為被牽制節點的個數.當j=0時,否則,規則網絡的牽制控制2022/12/1139受控制的狀態方程為其中I是相鄰的兩個被牽制控制節點之間的距gn是用來控制所牽制節點的反饋控制器.由于最初考慮的是常數輸入,所以這種控制稱為牽制控制.后來人們做了適當推廣,輸入已不再限于常數.在這個耦合映像格子中,一共有L/I個節點被直接施加了牽制控制.只有對足夠多的節點施加牽制控制才能有效地控制時空混沌.規則網絡的牽制控制2022/12/1140gn是用來控制所牽制節點的反饋控制器.由于最初考慮的是常數輸規則網絡的牽制控制Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使用了下面的牽制控制方法:其中是第n個時刻對i節點的牽制強度當j=0時,否則,2022/12/1141規則網絡的牽制控制Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使Parekh研究發現：只有對網絡中的每個節點都施加牽制控制,才能將耦合映像格子中的時空混沌穩定到平衡狀態.比較施加牽制控制的節點的不同分布,發現可以通過均勻或隨機分布牽制控制節點來達到全局控制時空混沌的效果.因此,牽制控制的強度和控制器分布的密度都決定了耦合映像格子中時空混沌控制的有效性.

規則網絡的牽制控制2022/12/1142Parekh研究發現：規則網絡的牽制控制202Parekh和Sinha后來又進一步將耦合映像格子的時空混沌控制拓展到了反控制(anticontrol)[16],即通過牽制控制,使得耦合映像格子由非混沌狀態變為混沌狀態,或者將耦合映像格子中比較弱的混沌進一步增強.有關混沌反控制(反饋混沌化)的詳細論述參見專著[17]參考文獻16.ParekhN,SinhaS.Controllingspatiotemporaldynamicsinexcitablesystems.SFIWorkingPaper,200017.陳關榮,汪小帆.動力系統的混沌化.上海：上海交通大學出版社,2019規則網絡的牽制控制2022/12/1143Parekh和Sinha后來又進一步將耦合映像格子的時空44牽制控制的思想同樣被用于連續時間系統.考慮如下描述的連續時間最近鄰耦合網絡規則網絡的牽制控制2022/12/114444牽制控制的思想同樣被用于連續時間系統.規則網絡的牽制控制式中r為控制參數.假設只對一個節點施加牽制控制,也就是說,對于N個(節點編號為0,1,2…,N)滿足循環邊界條件的最近鄰耦合網絡,只對節點0施加負反饋控制.通過分析特征值穩定域和Lyapunov指數發現:當r=0時,只通過牽制控制一個節點來控制整個網絡是不可能的.顯然r的存在所代表的耦合連接影響了牽制控制器的效率.當r達到一定值時,此時網絡間的相鄰局部耦合已經到達了一定的密度,于是只控制一個節點就能夠將整個網絡穩定住.規則網絡的牽制控制2022/12/1145式中r為控制參數.假設只對一個節點施加牽制控制,也就是說報告提綱四、無標度網絡的牽制控制2022/12/1146報告提綱四、無標度網絡的牽制控制2022/12/10設連續時間耗散耦合動態網絡有N個節點，為第i個節點的狀態變量，◆

在存在耦合作用下第i個節點所滿足的狀態方程是

無標度網絡的牽制控制2022/12/1147設連續時間耗散耦合動態網絡有N個節點，為◆在存在耦合作

無標度網絡的牽制控制2022/12/1148

上式中ki為節點i的度.假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重數為1的零特征根,而其余特征根均為負實數。

無標度網絡的牽制控制2022/12/1149上式中ki為節點i的度.假設網絡是連通的,那么耦合矩假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重數為1的零特征根,而其余特征根均為負實數。為了將動態網絡控制到如下定義的平衡點希望對占網絡節點總數的比例為的小部分節點實施牽制控制.這里假設選擇節點i1，i2，…il作為被牽制控制的節點,這里l=的整數部分.^^^無標度網絡的牽制控制2022/12/1150假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有被牽制控制的網絡狀態方程可以寫為無標度網絡的牽制控制這里對被牽制控制的節點所施加的是線性狀態反饋控制,d>0是反饋增益.

2022/12/1151被牽制控制的網絡狀態方程可以寫為無標度網絡的牽制控制這里對被無標度網絡的牽制控制將上方程在由定義的平衡點處線形化，可以得到方程其中

是f(x)在x處的Jacobi矩陣B=A—D,D=diag(d1,d2,…

dN),其中當

時,控制增益dik=d,而時di=0。2022/12/1152無標度網絡的牽制控制將上方程在由定義的平衡點其中無標度網絡的牽制控制這里對被牽制控制的節點所施加的是線性狀態反饋控制,d>0是反饋增益.基于線性化方法推知,當存在一個常數使得是Hurwitz穩定矩陣時,只要耦合強度滿足下面的條件動態網絡就可以被牽制控制到平衡點。2022/12/1153無標度網絡的牽制控制這里對被牽制控制的節點所施加的是線性狀態無標度網絡的特點是少數節點具有相對很高的度而大部分節點的度相對很低.對其一般采用兩種不同的牽制策略：一種是隨機牽制(randompinning),即在網絡中隨機地選擇若干個節點施加牽制控制；另一種是特定牽制(specificpinning),即依次選擇網絡中度最大的若干節點施加牽制控制.二、無標度網絡的牽制控制2022/12/1154無標度網絡的特點是少數節點具有相對很高的度而大部分節點的度相無標度網絡的特點是少數節點具有相對很高的度而大部分節點的度相對很低.對其一般采用兩種不同的牽制策略：一種是隨機牽制(randompinning),即在網絡中隨機地選擇若干個節點施加牽制控制；另一種是特定牽制(specificpinning),即依次選擇網絡中度最大的若干節點施加牽制控制.無標度網絡的牽制控制2022/12/1155無標度網絡的特點是少數節點具有相對很高的度而大部分節點的度相無標度動態網絡的特定控制的有效性可以從以下兩個方面來理解:在其它參數都相同的情況下,為達到控制目標,只控制那些度很大的節點所需要控制的節點個數,比隨機牽制所需要控制的節點個數可能要少很多.如果選取數目相同的節點數加以控制,那么為達到控制目標,特定牽制策略所需要的最小耦合強度可能比隨機牽制策略所需要的最小耦合強度小很多.無標度網絡的牽制控制2022/12/1156無標度動態網絡的特定控制的有效性可以從以下兩個方面來理解:牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點這一小節通過介紹牽制控制陳無標度動態網絡中的每個節點都穩定到同一個不穩定平衡點的方法和過程。這時網絡中的每個節點都是如下狀態方程描述的陳混沌系統2022/12/1157牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點這一小節通過介紹牽制控制陳當p1=35,p2=3,p3=28時，該系統的混沌吸引子如上圖所示。系統有一個不穩定的平衡點x+=[7.9373,7.9373,21]2022/12/1158當p1=35,p2=3,p3=28時，該系統的混沌吸引子如上牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點為了將陳網絡所有節點的狀態都控制到平衡點，我們對網絡中部分節點施加牽制控制。受控網絡的狀態方程為2022/12/1159牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點為了將陳網絡所有節點的狀態四、牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點根據穩定條件選擇控制參數C=2.01745，d=1000.對一個50節點的由BA模型生成的陳無標度網絡，只特定牽制控制其一個最大度節點，比牽制控制兩個最大度節點所需要的耦合強度條件大的多。且控制過程中度最小的節點所能受到的影響也要慢的多。如下圖所示（實線為最大節點的軌跡，虛線為最小節點的軌跡）。就特定牽制與隨機牽制相比，控制整個陳無標度網絡所需要花費的耦合強度及節點數目都要小的多。2022/12/1160四、牽制控制陳無標度網絡到不平衡穩定點根據穩定條件選擇控制參2022/12/11612022/12/10612022/12/11622022/12/1062報告提綱四、一般復雜網絡的牽制控制

2022/12/1163報告提綱四、一般復雜網絡的牽制控制

2022/12/106李翔、汪小帆和陳關榮接著考慮了如下更為一般的動態網絡模型一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1164李翔、汪小帆和陳關榮接著考慮了如下更為一般的動態網絡模型一般為了將動態網絡控制到平衡點X，定義如下的牽制控制一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1165為了將動態網絡控制到平衡點X，定義如下的牽制控制一般復雜網這里控制增益dik>0,且各節點間耦合強度滿足不失一般性,重新編號被選擇牽制的節點為前l個節點,并定義如下的兩個矩陣一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1166這里控制增益dik>0,且各節點間耦合強度滿足不失一般再將方程(10)利用Kronecker卷積寫成向量形式如下一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1167再將方程(10)利用Kronecker卷積寫成向量形式如下一一般復雜網絡的牽制控制定理2022/12/1168一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1068一般復雜網絡的牽制控制2022/12/1169一般復雜網絡的牽制控制2022/12/106931、只有永遠躺在泥坑里的人，才不會再掉進坑里。——黑格爾

32、希望的燈一旦熄滅，生活剎那間變成了一片黑暗。——普列姆昌德

33、希望是人生的乳母。——科策布

34、形成天才的決定因素應該是勤奮。——郭沫若

35、學到很多東西的訣竅，就是一下子不要學很多。——洛克31、只有永遠躺在泥坑里的人，才不會再掉進坑里70復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的控制張玉林2021/3/302報告提綱一、控制論

二、混沌

三、規則網絡時空混沌的牽制控制

四、無標度動態網絡的牽制控制

五、一般復雜動態網絡的牽制控制

2021/3/303復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網絡的牽制控制復雜網復雜網絡的牽制控制課件72復雜網絡的牽制控制課件73復雜網絡的牽制控制課件74復雜網絡的牽制控制課件75

控制理論作為一門科學技術，已經廣泛地運用于我們社會生活的方方面面。洗衣機智能控制電冰箱溫度控制2022/12/1176控制理論作為一門科學技術，已經廣泛地運用于我們社會生活的方1.兩千年前我國發明的

指南車，就是一種開

環自動調節系統。指南車2.公元1086－1089年

（北宋哲宗元祐初年），

我國發明的水運儀象臺，

就是一種閉環自動調節系

統。水運儀象臺2022/12/11771.兩千年前我國發明的

指南車，就是一種開標志階段

1.1947年控制論的奠基人美國數學家韋納（N.Weiner）把控制論引起的自動化同第二次產業革命聯系起來，并與1948年出版了《控制論—關于在動物和機器中控制與通訊的科學》，書中論述了控制理論的一般方法，推廣了反饋的概念，為控制理論這門學科奠定了基礎。控制論之父——韋納2022/12/1178標志階段1.1947年控制論的奠基人美國數學家韋納（2.我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與1954年出版了《工程控制論》。錢學森2022/12/11792.我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與195復雜系統理論：把系統的研究拓廣到開放復雜巨系統的范

籌，以解決復雜系統的控制為目標。回顧控制理論的發展歷程可以看出，它的發展過程反映了人類由機械化時代進入電氣化時代，并走向自動化、信息化、智能化時代。復雜航天器控制2022/12/1180復雜系統理論：把系統的研究拓廣到開放復雜巨系統的范

控制論的三個基本部分1.信息論。主要是關于各種通路（包括機器、生物機體）中信息的加工傳遞和貯存的統計理論。

2.自動控制系統的理論。主要是反饋論，包括從功能的觀點對機器和物體中（神經系統、內分泌及其他系統）的調節和控制的一般規律的研究。

3.自動快速電子計算機的理論。即與人類思維過程相似的自動組織邏過程的理論2022/12/1181控制論的三個基本部分2022/12/1011控制論的四個特征第一個特征，是要有一個預定的穩定狀態或平衡狀態。例如在上述的度控制系統中，速度的給定值就是預定的穩定狀態。

第二個特征，是從外部環境到系統內部有一種信息的傳遞。例如，在度控制系統中，轉速的變化引起的離心力的變化，就是一種從外部傳遞到統內部的信息。

第三個特征，是這種系統具有一種專門設計用來校正行動的裝置。例如速度控制系統中通過調速器旋轉桿張開的角度控制蒸汽機的進汽閥門升降裝置。

第四個特征，是這種系統為了在不斷變化的環境中維持自身的穩定，內部都具有自動調節的機制，換言之，控制系統都是一種動態系統。2022/12/1182控制論的四個特征2022/12/1012反饋控制系統

基于反饋原理建立的自動控制系統。所謂反饋原理，就是根據系統輸出變化的信息來進行控制，即通過比較系統行為（輸出）與期望行為之間的偏差，并消除偏差以獲得預期的系統性能。在反饋控制系統中，既存在由輸入到輸出的信號前向通路，也包含從輸出端到輸入端的信號反饋通路，兩者組成一個閉合的回路。因此，反饋控制系統又稱為閉環控制系統。反饋控制是自動控制的主要形式。在工程上常把在運行中使輸出量和期望值保持一致的反饋控制系統稱為自動調節系統，而把用來精確地跟隨或復現某種過程的反饋控制系統稱為伺服系統或隨動系統。

2022/12/1183反饋控制系統2022/12/1013反饋控制系統反饋控制系統包括：（一）負反饋（negativefeedback）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相反，對控制部分的活動起制約或糾正作用的，稱為負反饋1.意義：維持穩態2.缺點：滯后、波動（二）正反饋（positivefeedback）：凡反饋信息的作用與控制信息的作用方向相同，對控制部分的活動起增強作用的，稱為正反饋意義：加速生理過程，使機體活動發揮最大效應。

反饋控制系統由控制器、受控對象和反饋通路組成。在反饋控制系統中，不管出于什么原因（外部擾動或系統內部變化），只要被控制量偏離規定值，就會產生相應的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干擾的能力，對元件特性變化不敏感，并能改善系統的響應特性。2022/12/1184反饋控制系統2022/12/10142022/12/11852022/12/1015

二、混沌

2022/12/1186二、混沌

2022/12/1016混沌的產生

下面是著名的洛倫茲吸引子。洛倫茲(E.N.Lorenz)是當代世界知名的動力氣象學家、混沌理論的少有幾位創立者之一。他在1963年發表的關于混沌理論的開創性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認，并很快引發對混沌研究的熱潮，由此誕生和發展起了一門新興學科—混沌理論，成為現代新興學科的代表。洛倫茲吸引子方程如下：

2022/12/1187混沌的產生

混沌的產生(續)2022/12/1188混沌的產生(續)2022/12/1018混沌的產生(續)奇異吸引子2022/12/1189混沌的產生(續)奇異吸引子2022/12/1019湍流(turbulence)復雜、不規則、貌似游走無常的流體運動。例如：水流的漩渦；以前的理論解釋：模態（modes）周期運動。當流體受到外力的作用時，一定數目的模態就被激發出來；沒有模態被激發，流體就處于定常狀態；如果單一模態被激發，就是周期振蕩；如果幾個模態被激發，流動變得不規則；許多模態被激發時，就是湍流。2022/12/1190湍流(turbulence)復雜、不規則、貌似游走無常的流混沌的定義設V為一個集合,f:VV稱為在V上是混沌的,如果:f對初始條件的敏感依賴性;f是拓撲傳遞的;周期點在V中是稠密的;2022/12/1191混沌的定義設V為一個集合,f:VV稱為在V上是混沌的煙頭燃燒，沒有任何外力的情況下，煙會自動分解。在什么時候分解？什么原因分解？分解時刻是否可以預測？2022/12/1192煙頭燃燒，沒有任何外力的情況下，煙會自動分解。202一維邏輯斯蒂映射映射(mapping)也叫迭代(iteration)xn+1=2xn，若x1=3,則x2=6，x3=12……。從控制系統的角度看，這也叫反饋(feedback)，把輸出當作輸入，不斷滾動。很容易想到，反饋的結果有若干種：發散的、收斂的、周期的等等。但是我們要問一下，一共有多少種可能的運動類型?是否存在既不收斂也不發散，也不周期循環的迭代過程?這就是有界非周期運動，它與混沌有關2022/12/1193一維邏輯斯蒂映射映射(mapping)也叫迭代(iterat邏輯斯蒂映射的形式為其中a是參數，取值范圍是［-2,4］，通常人們只注意［0,4］這一半，其實另一半［-2,0］也一樣有趣。x的取值為［0,1］。映射的不動點是指滿足關系ξ=aξ(1-ξ)的相點ξ,解得ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。設映射用f表示，f的2次迭代記作f2，3次迭代記作f3，等等。注意，這種記法不表示乘方關系。f的不動點也叫f的周期1點。f

2的不動點實際上是f的周期2點。同理fn的不動點與f的周期n點是一回事。2022/12/1194邏輯斯蒂映射的形式為2022/12/1024映射f的周期m點的穩定性由乘子完全決定。映射f的周期點(包括不動點，它為周期1點)的穩定性可具體定義為：｜λ｜＜1，吸引，穩定；

｜λ｜＞1，排斥，不穩定；

｜λ｜=1，中性；

λ=0，超穩定。2022/12/1195映射f的周期m點的穩定性由乘子2022/12/1025以參數a為橫坐標、以x的穩定定態(stablesteadystates)為縱坐標作圖，得到1、圖2等。從圖中可以看出開始是周期加倍分岔(也稱周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌區中又有周期窗口。窗口放大后又可見到同樣結構的一套東西。此所謂無窮自相似結構。2022/12/1196以參數a為橫坐標、以x的穩定定態(stablesteady2022/12/11972022/12/10272022/12/11982022/12/10282022/12/11992022/12/1029在洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，發現相鄰分岔間距之比收斂到一個不變的常數：不僅僅對于邏輯斯蒂映射有這個常數，對于一維“單峰”映射，都能算出同一個常數

δ

來。δ的含義是什么？意義何在？2022/12/11100在洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的費根鮑姆在研究周期倍化過程中，混沌混沌可以說他是確定性的行為；或者，若考慮他出現在稍微有點隨機性的實際系統中，也可以說他是近似與確定性的，然而卻不是看起來像確定性的。在某些動力系統中，兩個幾乎一致的狀態經過充分長的時間后會變得毫無一致性。2022/12/11101混沌混沌可以說他是確定性的行為；2022/12/1031混沌可以理解為貌似隨機的確定性。2022/12/11102混沌可以理解為貌似隨機的確定性。2022/12/1032三、規則網絡時空混沌的牽制控制

2022/12/11103三、規則網絡時空混沌的牽制控制

2022/12/1033牽制控制的原始基本思想:

希望能夠僅對網絡中的一部分節點直接施加常數輸入控制而達到有效抑制整個網絡的時空混沌行為的目的.早期的工作包括由胡崗等人對由L個節點組成的一維離散時間最近鄰耦合映像格子所做的探索,未控制的狀態方程為:2022/12/11104牽制控制的原始基本思想:2022/12/1034牽制控制基本問題◆一.可行性問題.◆二.有效性問題.2022/12/11105牽制控制基本問題2022/12/1035牽制控制的可行性問題：參考文獻1.WangXF,ChenGR.Pinningcontrolofscale-freedy-namicalnetworks.PhysicaA,2019,310(3-4).2.LiX,WangXF,ChenGR.Pinningacomplexdynam-icalnetworktoitsequilibrium.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI,2019.◆這方面的研究目前主要集中在對部分節點施加線性反饋而使得整個動態網絡穩定在期望的同步狀態.在理論方面已經清楚的是,只要網絡的耦合強度和反饋控制增益合適,那么只需控制部分節點就能夠實現控制目標.2022/12/11106牽制控制的可行性問題：參考文獻◆這方面的研究目前主要集中在對有效性問題◆即如何選取受控節點才能使得達到控制目標所花的代價盡可能小.這里的代價包括所需直接控制的節點數量、網絡耦合強度和反饋控制增益幅值等.已有的研究表明,利用網絡的拓撲特性,有選擇地對網絡中少量關鍵節點直接施加控制要比隨機選擇部分節點加以控制具有明顯優勢.參考文獻1.WangXF,ChenGR.Pinningcontrolofscale-freedy-namicalnetworks.PhysicaA,2019,310(3-4).2.LiX,WangXF,ChenGR.Pinningacomplexdynam-icalnetworktoitsequilibrium.IEEETransactionsonCircuitsandSystemsI,2019.2022/12/11107有效性問題2022/12/1037為系統的狀態變量為系統的狀態變量表示映像格子的空間坐標表示耦合強度表示局域動力學胡崗等對有L個節點組成的一維離散時間最近鄰耦合印象格子規則網絡的牽制控制2022/12/11108為系統的狀態變量為系統的狀態變量表示映像格子的空間坐標表示耦受控制的狀態方程為

其中I是相鄰的兩個被牽制控制節點之間的距離.L=I為被牽制節點的個數.當j=0時,否則,規則網絡的牽制控制2022/12/11109受控制的狀態方程為其中I是相鄰的兩個被牽制控制節點之間的距gn是用來控制所牽制節點的反饋控制器.由于最初考慮的是常數輸入,所以這種控制稱為牽制控制.后來人們做了適當推廣,輸入已不再限于常數.在這個耦合映像格子中,一共有L/I個節點被直接施加了牽制控制.只有對足夠多的節點施加牽制控制才能有效地控制時空混沌.規則網絡的牽制控制2022/12/11110gn是用來控制所牽制節點的反饋控制器.由于最初考慮的是常數輸規則網絡的牽制控制Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使用了下面的牽制控制方法:其中是第n個時刻對i節點的牽制強度當j=0時,否則,2022/12/11111規則網絡的牽制控制Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使Parekh研究發現：只有對網絡中的每個節點都施加牽制控制,才能將耦合映像格子中的時空混沌穩定到平衡狀態.比較施加牽制控制的節點的不同分布,發現可以通過均勻或隨機分布牽制控制節點來達到全局控制時空混沌的效果.因此,牽制控制的強度和控制器分布的密度都決定了耦合映像格子中時空混沌控制的有效性.

規則網絡的牽制控制2022/12/11112Parekh研究發現：規則網絡的牽制控制202Parekh和Sinha后來又進一步將耦合映像格子的時空混沌控制拓展到了反控制(anticontrol)[16],即通過牽制控制,使得耦合映像格子由非混沌狀態變為混沌狀態,或者將耦合映像格子中比較弱的混沌進一步增強.有關混沌反控制(反饋混沌化)的詳細論述參見專著[17]參考文獻16.ParekhN,SinhaS.Controllingspatiotemporaldynamicsinexcitablesystems.SFIWorkingPaper,200017.陳關榮,汪小帆.動力系統的混沌化.上海：上海交通大學出版社,2019規則網絡的牽制控制2022/12/11113Parekh和Sinha后來又進一步將耦合映像格子的時空114牽制控制的思想同樣被用于連續時間系統.考慮如下描述的連續時間最近鄰耦合網絡規則網絡的牽制控制2022/12/1111444牽制控制的思想同樣被用于連續時間系統.規則網絡的牽制控制式中r為控制參數.假設只對一個節點施加牽制控制,也就是說,對于N個(節點編號為0,1,2…,N)滿足循環邊界條件的最近鄰耦合網絡,只對節點0施加負反饋控制.通過分析特征值穩定域和Lyapunov指數發現:當r=0時,只通過牽制控制一個節點來控制整個網絡是不可能的.顯然r的存在所代表的耦合連接影響了牽制控制器的效率.當r達到一定值時,此時網絡間的相鄰局部耦合已經到達了一定的密度,于是只控制一個節點就能夠將整個網絡穩定住.規則網絡的牽制控制2022/12/11115式中r為控制參數.假設只對一個節點施加牽制控制,也就是說報告提綱四、無標度網絡的牽制控制2022/12/11116報告提綱四、無標度網絡的牽制控制2022/12/10設連續時間耗散耦合動態網絡有N個節點，為第i個節點的狀態變量，◆

在存在耦合作用下第i個節點所滿足的狀態方程是

無標度網絡的牽制控制2022/12/11117設連續時間耗散耦合動態網絡有N個節點，為◆在存在耦合作

無標度網絡的牽制控制2022/12/11118

上式中ki為節點i的度.假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重數為1的零特征根,而其余特征根均為負實數。

無標度網絡的牽制控制2022/12/11119上式中ki為節點i的度.假設網絡是連通的,那么耦合矩假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有一個重數為1的零特征根,而其余特征根均為負實數。為了將動態網絡控制到如下定義的平衡點希望對占網絡節點總數的比例為的小部分節點實施牽制控制.這里假設選擇節點i1，i2，…il作為被牽制控制的節點,這里l=的整數部分.^^^無標度網絡的牽制控制2022/12/11120假設網絡是連通的,那么耦合矩陣A是一個對稱且不可約矩陣,它有被牽制控制的網絡狀態方程可以寫為無標度網絡的牽制控制這里對被牽制控制的節點所施加的是線性狀態反饋控制,d>0是反饋增益.

2022/12/11121被牽制控制的網絡狀態方程可以寫為無標度網絡的牽制控制這里對被無標度網絡的牽制控制將上方程在由定義的平衡點處線形化，可以得到方程其中

是f(x)在x處的Jacobi矩陣B=A—D,D=diag(d1,d2,…

dN),其中當

時,控制增益dik=d,而時di=0。2022/12/11122無標度網絡的牽制控制將上方程在由定義的平衡點其中無標度網絡的牽制控制這里對被牽制控制的節點所施加的是線性狀態反饋控制,d>0是反饋增益.基于線性化方法推知,當存在一個常數使得是Hurwitz穩定矩陣時,只要耦合強度滿足下面的條件動態網絡就可以被牽制控制到平衡點。2022/12/11