蒙特卡羅也稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年月中期由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展和電子計(jì)算機(jī)的創(chuàng)造，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類特別重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決許多計(jì)算問(wèn)題的方法。蒙特卡羅方法的名字來(lái)源于摩納哥的一個(gè)城市蒙地卡羅,該城市以賭博業(yè)著名，而蒙特?羅方法正是以概率為基礎(chǔ)的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法。蒙特卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，計(jì)算物理學(xué)（如粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算）等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。基本思想當(dāng)所求解問(wèn)題是某種隨機(jī)大事消失的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，通過(guò)某種“試驗(yàn)”的方法，以這種大事消失的頻率估量這一隨機(jī)大事的概率，或者得到這個(gè)隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問(wèn)題的解。有一個(gè)例子可以使你比較直觀地了解蒙特卡羅方法：假設(shè)我們要計(jì)算一個(gè)不規(guī)章圖形的面積，那么圖形的不規(guī)章程度和分析性計(jì)算（比如，積分）的簡(jiǎn)單程度是成正比的。蒙特卡羅方法是怎么計(jì)算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子勻稱地朝這個(gè)圖形上撒，然后數(shù)這個(gè)圖形之中有多少顆豆子，這個(gè)豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)你的豆子越小，撒的越多的時(shí)候，結(jié)果就越精確。在這里我們要假定豆子都在一個(gè)平面上，相互之間沒(méi)有重疊。工作過(guò)程在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候應(yīng)用蒙特卡羅方法主要有兩部分工作：用蒙特卡羅方法模擬某一過(guò)程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估量出來(lái)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值解。計(jì)算步驟使用蒙特卡羅方法進(jìn)行分子模擬計(jì)算是依據(jù)以下步驟進(jìn)行的：①使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的分子構(gòu)型。②對(duì)此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)做無(wú)規(guī)章的轉(zhuǎn)變，產(chǎn)生一個(gè)新的分子構(gòu)型。③計(jì)算新的分子構(gòu)型的能量。④比較新的分子構(gòu)型于轉(zhuǎn)變前的分子構(gòu)型的能量變化，推斷是否接受該構(gòu)型。若新的分子構(gòu)型能量低于原分子構(gòu)型的能量，則接受新的構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。若新的分子構(gòu)型能量高于原分子構(gòu)型的能量，則計(jì)算玻爾茲曼常數(shù),同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)。若這個(gè)隨機(jī)數(shù)大于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則放棄這個(gè)構(gòu)型，重新計(jì)算。若這個(gè)隨機(jī)數(shù)小于所計(jì)算出的玻爾茲曼因子，則接受這個(gè)構(gòu)型，使用這個(gè)構(gòu)型重復(fù)再做下一次迭代。⑤如此進(jìn)行迭代計(jì)算，直至最終搜尋出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)束。在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用通常蒙特?卡羅方法通過(guò)構(gòu)造符合肯定規(guī)章的隨機(jī)數(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)上的各種問(wèn)題。對(duì)于那些由于計(jì)算過(guò)于簡(jiǎn)單而難以得到解析解或者根本沒(méi)有解析解的問(wèn)題，蒙特?卡羅方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特?卡羅方法在數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的應(yīng)用就是蒙特?卡羅積分。積分非權(quán)重蒙特卡羅積分，也稱確定性抽樣，是對(duì)被積函數(shù)變量區(qū)間進(jìn)行隨機(jī)勻稱抽樣，然后對(duì)被抽樣點(diǎn)的函數(shù)值求平均，從而可以得到函數(shù)積分的近似值。此種方法的正確性是基于概率論的中心極限定理。當(dāng)抽樣點(diǎn)數(shù)為m時(shí)，使用此種方法所得近似解的統(tǒng)計(jì)誤差恒為，不隨積分維數(shù)的轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變。因此當(dāng)積分維度較高時(shí)，蒙特卡羅方法相對(duì)于其他數(shù)值解法更優(yōu)。解題三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程：對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，如粒子輸運(yùn)問(wèn)題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過(guò)程，對(duì)于原來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，比如計(jì)算定積分，就必需事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過(guò)程，它的某些參量正好是所要求問(wèn)題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣：構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬試驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機(jī)抽樣的緣由。最簡(jiǎn)潔、最基本、最重要的一個(gè)概率分布是（0,1）上的勻稱分布（或稱矩形分布）。隨機(jī)數(shù)就是具有這種勻稱分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個(gè)簡(jiǎn)潔子樣，也就是一個(gè)具有這種分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題，就是從這個(gè)分布的抽樣問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，但價(jià)格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機(jī)數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機(jī)數(shù)，或偽隨機(jī)數(shù)序列。不過(guò)，經(jīng)過(guò)多種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)表明，它與真正的隨機(jī)數(shù)，或隨機(jī)數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機(jī)數(shù)來(lái)使用。由已知分布隨機(jī)抽樣有各種方法，與從（0,1）上勻稱分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機(jī)序列來(lái)實(shí)現(xiàn)的，也就是說(shuō)，都是以產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)為前提的。由此可見(jiàn)，隨機(jī)數(shù)是我們實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。建立各種估量量:一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬試驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解，我們稱它為無(wú)偏估量。建立各種估量量，相當(dāng)于對(duì)模擬試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問(wèn)題的解。例如：檢驗(yàn)產(chǎn)品的正品率問(wèn)題，我們可以用1表示正品，0表示次品，于是對(duì)每個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)可以定義如下的隨機(jī)變數(shù)Ti,作為正品率的估量量：于是，在N次試驗(yàn)后，正品個(gè)數(shù)為：明顯，正品率p為：不難看出，Ti為無(wú)偏估量。當(dāng)然，還可以引入其它類型的估量，如最大似然估量，漸進(jìn)有偏估量等。但是，在蒙特卡羅計(jì)算中，使用最多的是無(wú)偏估量。用比較抽象的概率語(yǔ)言描述蒙特卡羅方法解題的手續(xù)如下：構(gòu)造一個(gè)概率空間(W,A,P),其中，W是一個(gè)大事集合，A是集合W的子集的s體，P是在A上建立的某個(gè)概率測(cè)度；在這個(gè)概率空間中，選取一個(gè)隨機(jī)變量q(w),wÎW,使得這個(gè)隨機(jī)變量的期望值正好是所要求的解Q,然后用q(w)的簡(jiǎn)潔子樣的算術(shù)平均值作為Q的近似值。特點(diǎn)：直接追蹤粒子，物理思路清楚，易于理解。采納隨機(jī)抽樣的方法，較真實(shí)的模擬粒子輸運(yùn)的過(guò)程，反映了統(tǒng)計(jì)漲落的規(guī)律。不受系統(tǒng)多維、多因素等簡(jiǎn)單性的限制，是解決簡(jiǎn)單系統(tǒng)粒子輸運(yùn)問(wèn)題的好方法。MC程序結(jié)構(gòu)清楚簡(jiǎn)潔。討論人員采納MC方法編寫程序來(lái)解決粒子輸運(yùn)問(wèn)題，比較簡(jiǎn)潔得到自己想得到的任意中間結(jié)果，應(yīng)用敏捷性強(qiáng)。MC方法主要弱點(diǎn)是收斂速度較慢和誤差的概率性質(zhì)，其概率誤差正比于，假如單純以增大抽樣粒子個(gè)數(shù)N來(lái)減小誤差，就要增加很大的計(jì)算量。計(jì)算程序：關(guān)于蒙特卡羅方法的計(jì)算程序已經(jīng)有許多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。這些程序大多經(jīng)過(guò)了多年的進(jìn)展，花費(fèi)了幾百人年的工作量。除歐洲核子討論中心(CERN)發(fā)行的GEANT主要用于高能物理探測(cè)器響應(yīng)和粒子徑跡的模擬外，其它程序都深化到低能領(lǐng)域，并被廣泛應(yīng)用。就電子和光子輸運(yùn)的模擬而言，這些程序可被分為兩個(gè)系列：EGS4、FLUKA、GRANTETRAN、ITS、MCNP這兩個(gè)系列的區(qū)分在于：對(duì)于電子輸運(yùn)過(guò)程的模擬依據(jù)不同的理論采納了不同的算法。EGS4和ETRAN分別為兩個(gè)系列的基礎(chǔ)，其它程序都采納了它們的核心算法。ETRAN(forElectronTransport)由差國(guó)我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)局輻射討論中心開(kāi)發(fā),主要模擬光子和電子，能量范圍可從IKeV到IGeV。ITS(TheintegratedTIGERSeriesofCoupledElectron/PhotonMonteCarloTransportCodes)是由美國(guó)圣地亞哥(Sandia)我國(guó)試驗(yàn)室在ETRAN的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)的一系列模擬計(jì)算程序，包括TIGER.CYLTRAN、ACCEPT等，它們的主要差別在于幾何模型的不同。TIGER討論的是一維多層的問(wèn)題，CYLTRAN討論的是粒子在圓柱形介質(zhì)中的輸運(yùn)問(wèn)題，ACCEPT是解決粒子在三維空間輸運(yùn)的通用程序。NCNP(MonteCarloNeutronandPhotoTransportCode)由美國(guó)橡樹(shù)林我國(guó)試驗(yàn)室(OakRidgeNationalLaboratory)開(kāi)發(fā)的一套模擬中子、光子和電子在物質(zhì)中