§3坐標與坐標變換

3.1向量的坐標

在上一節中,我們知道:n維線性空間中任一向量都可以由V的基唯一地線性表示.由此引出了坐標的概念．

定義3.1

設V是數域F上的n維線性空間,ε1,ε2,···,εn是V的一個基.對于V中任一向量α,則有數域F

中唯一的一組數a1，a2,···,an,使得稱有序數組a1,a2

,···,an為向量α在基ε1,ε2,···,εn下的坐標，記為第七章機動目錄上頁下頁返回結束

借用矩陣乘法的形式，記則α的坐標可以方便地用一個n維列向量(數組向量)表達出來：機動目錄上頁下頁返回結束

顯然,在取定的基ε1,ε2,···,εn之下,V中向量與其坐標是相互惟一決定的.或者說,在取定基之下,V中向量與數域V中上的n維列向量(數組向量)是一一對應的．

例3.1

求數域F上的線性空間F2×2中向量在基下的坐標.機動目錄上頁下頁返回結束則得到α在這組基下的坐標機動目錄上頁下頁返回結束

解給出向量

在基E11,E12,E21,E22

下的線性表示在基E11，E12，E21，E22下的坐標為

注意,如果基的排列次序變為E11,E21,E12,E22,則例3.1中向量α的坐標中各分量亦要相應的隨之改變,而有

請大家記住，基與坐標都是嚴格有序的概念.機動目錄上頁下頁返回結束類似可知，F2×2中向量

一般地，線性空間R[x]n中向量在基下的坐標為機動目錄上頁下頁返回結束

例3.2

線性空間R[x]3中的向量在基1,x,x2下的坐標為

例3.3

設V是集合{(a,0,b)|a,b∈R}對于通常數組向量加法與數乘運算下所成的實數域R上線性空間,求V中向量α=(2,0,-3)在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,0,1)下的坐標

解由即知

例3.4

設V是二階實對稱矩陣全體的集合對于通常矩陣加法與矩陣數乘運算所成的實數域R上的線性空間.求V中向量在基下的坐標.機動目錄上頁下頁返回結束

解因為所以A在基ε1,ε2

,ε3下的坐標為

我們已經知道了在取定基之下,向量與坐標的一一對應關系.下面的三個定理將進一步揭示這種對應關系的深刻內涵.

定理3.1在n維線性空間中,對于任一基,向量α為零向量的充分必要條件是α的坐標為(0,0,···,0)T.

定理3.1的成立是明顯的.它表明:向量與其坐標保持著為零（或非零）的一致性.機動目錄上頁下頁返回結束

定理3.2

設V是數域F上的

n維線性空間.在基ε1,ε2,···,εn下,如果α的坐標為β的坐標為

則1）α+β的坐標為2）kα的坐標為

證明設即有機動目錄上頁下頁返回結束于是可見α+β的坐標為又對任意k∈F

，有故知kα的坐標恰是機動目錄上頁下頁返回結束

定理3.2可推廣為：在基ε1,ε2,···,εn之下,若向量組α1,α2,···,αs的坐標為，

則對數域F上的任意數k1,k2,···,k

s,向量k1α1+k2α2+···+ksαs的坐標為

以上結果說明：向量與其坐標的對應關系保持加法，保持數乘，從而保持線性組合的關系式.

定理3.3

設V是數域F上的n維線性空間.在V的一個基ε1,ε2,···,εn之下,向量組α1,α2,···,αs線性相關的充分必要條件是它們的坐標(作為F上的n維數組向量)線性相關.機動目錄上頁下頁返回結束ⅰ)V中向量α1,α2,···,αs線性相關；ⅱ)有數域F中不全為零的數k1,k2,···,ks,使k1α1+k2α2+···+ksαs=0；ⅲ)有數域F中不全為零的數k1,k2,···,ks,使

這里,0=(0，0，···，0)T;ⅳ)數域F上的n維數組向量線性相關.

定理3.3說明：向量組與其相應的坐標組保持著線性相關（線性無關）的一致性.機動目錄上頁下頁返回結束

證明利用定理3.1及3.2，便知以下四種說法互為充分必要條件，從而本定理成立.

證明

已知1,x,x2是R[x]3的基,而g1,g2,g3在基1,x,x2下的坐標為顯然線性無關,故知g1,g2,g3亦線性無關.再由本章定理2.1知,作為3維線性空間的3個線性無關向量,g1,g2,g3便是R[x]3的基.機動目錄上頁下頁返回結束

例3.5

對于線性空間R[x]3，證明是一個基.

3.2基變換與坐標變換

例3.6

已知線性空間R3中的向量α=(1,2,-1)T.試求α在基以及在另一個基下的坐標.機動目錄上頁下頁返回結束

解顯然,α在基ε1,ε2

,ε3下的坐標為(1,2,-1)T.(注意它在形式上和向量α一模一樣,但在概念上不能把空間中的向量與它們的坐標相混淆).設α在基ε’1,ε’2

,ε’3下的坐標為(x1,x

2,x

3)T,則應有即解這個方程組得解畢.機動目錄上頁下頁返回結束同一向量在不同基下的坐標通常是不同的.

設V是數域F上的n維線性空間.ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,

ε’n

是V的兩個基.并設（1）若令機動目錄上頁下頁返回結束則A中第i列恰是向量ε’i在基ε1,ε2,···

,εn下的坐標.顯然,矩陣A是惟一確定的,并且是可逆的.為了今后應用的方便,我們把(1)式形式地表達為（2）

通常把(2)式稱為基變換公式,其中的n階矩陣A稱為由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的過渡矩陣(或稱變換矩陣).(2)式這種形式乘法還具有如下的結合律：機動目錄上頁下頁返回結束其中A,B均為矩陣并且是可以相乘的.

在（2）式兩端同時右乘A-1，便得

這說明由基ε’1,ε’2,···,ε’

n到基ε1,ε2,···,εn的過渡矩陣恰是由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的過渡矩陣的逆矩陣.機動目錄上頁下頁返回結束于是有機動目錄上頁下頁返回結束

下面研究同一向量在兩基下的坐標間的關系.設基ε1,ε2,···,εn與基ε’1,ε’2,···,ε’n之間的關系如（2）式,向量在這兩個基下的坐標分別為根據向量在取定基下坐標的惟一性，得或寫成（3）機動目錄上頁下頁返回結束(3)或(3)’叫做坐標變換公式.我們看到:從本質上說,是基變換決定了坐標變換.總結以上結果得到下面定理.

定理3.4

設n維線性空間V中,向量α在基ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,ε’n之下的坐標分別為(x1,x2,···,xn)T及(x1’,x2’,···,x

n’)T.如果兩基間的變換公式如(2),則坐標變換公式為(3)或(3)’.

例3.7

在線性空間R3中，求出由基機動目錄上頁下頁返回結束到基的變換公式，并求向量ξ=(4,12,6)T在基α1,α2,α3下的坐標(x1,x2,x3)T。

解首先容易得到由基ε1,ε2,ε3到基α1,α2,α3的變換公式為(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A，機動目錄上頁下頁