參考文獻：1.（美）H.伊夫斯，《數學史概論》，歐陽絳譯，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，《數學史上的里程碑》，歐陽絳等譯，上海科學技術出版社，19903．吳文俊主編，《世界著名數學家傳記》（上下集），科學出版社，1995，20034.（美）E.T.貝爾，《數學精英》，徐源譯，商務印書館，19915.（美）M.克萊因，《西方文化中的數學》（1953），張祖貴譯，復旦大學出版社，20046．張堯庭，概率概念的發展和爭論─以及它對實踐的指導意義，鄧東皋等編《數學與文化》，北京大學出版社，19907．柳延延，《概率與決定論》，上海社會科學院出版社，19968.（美）J.L.福爾克斯，《統計思想》，魏宗舒、呂乃剛譯，上海翻譯出版公司，19879.（美）C.R.勞，《統計與真理——怎樣運用偶然性》，科學出版社，200410．高慶豐，《歐美統計學史》，中國統計出版社，198711．周述岐，《數學思想史和數學哲學》，中國人民大學出版社，1993參考文獻：1.（美）H.伊夫斯，《數學史概論》，歐陽絳譯，山1一、前史～～概率論的醞釀（16世紀前后的兩百余年間）

概率的數學理論是由于研究一些有關機遇現象而產生的，典型的例子是賭博、游戲中的問題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門學科，則醞釀于16世紀前后的兩百余年間。它產生的原因雖然是多方面的，但主要是由于當時保險業的產生與發展以及賭博業的盛行。一、前史～～概率論的醞釀（16世紀前后的兩百余年間）概率的2

在這一時期，相當多的數學家對賭博中的問題產生濃厚的興趣，其中以帕喬利、卡爾達諾為代表。

在這一時期，相當多的數學家對賭博中的問題產生濃厚的興趣，3帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術，幾何，比及比例全書》——賭博中斷問題：兩個賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數量的賭金，誰先勝s局誰就贏得全部賭金。但是，當一個賭徒勝a局（a＜s），另一個勝b局（b＜s）時，賭博因故中斷，問應該如何分配賭金。

帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利4卡爾達諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書》(1539，出版于1663)：對賭博中斷問題的繼續討論；

點問題：擲兩顆或三顆骰子時在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點數；大數定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗中，每次出現正面或反面雖屬偶然，但在大量重復試驗中，出現正面（對稱地，出現反面)的頻率卻必然地接近于定數1／2

；在n次獨立事件中，如果事件本身的概率是p，那么它連續發生n次的概率是p的n次方

卡爾達諾(G.Cardano，1501～1576，意大利5二、概率論的創立與發展～～古典概率論/組合概率時期（17－18世紀）從17世紀中期概率論的產生到18世紀末，約一個半世紀的時間里，概率論主要以計算各種古典概率問題為中心發展著，因而將其稱為古典概率時期；由于這個時期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱為組合概率時期。

二、概率論的創立與發展～～古典概率論/組合概率時期（17－16

這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯

這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各·伯努利7帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國）

二人關于賭博中斷問題研究的通信，不僅有關于這個問題的不同解法，還從對一些特殊問題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結論，并且在一定程度上揭示了一般方法，這些工作標志著作為一門數學分支的概率論的誕生。帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費爾馬8惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關于概率論的正式論文數學期望：如果p表示一個人獲得一定金額s的概率，則sp稱為他的數學期望。

惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)9雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩固數學基礎上的首次認真的嘗試”：①關于惠更斯《論賭博中的推理》的一個精彩評注②對排列組合理論的深入研究③將排列組合理論運用于概率論④概率論在法律和經濟等問題上的應用⑤伯努利大數定律(大數定律的最早形式)，這是占據《猜度術》全書中心位置的結果，被稱為“主命題”，是概率論中的第一個極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡單的情形，即在整個試驗序列中，某個給定事件出現的概率始終保持為常數雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～110德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)

《論抽簽的原理》(1711年發表于《哲學學報》)；《機會論》(1718，1738，1756)：在對持續賭博問題的研究上取得了明顯的進步，給出了較清晰的組合公式，使用了不同的方程，用循環序列來解決問題，并且在用正態逼近來說明問題時使用了函數，成為拉普拉斯用分析方法研究概率論的先導。；《分析雜論》(1730)：正態分布德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)11貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴展和提高為處理一般科學問題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)112

在書中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事件的概率是這樣的比值：一個是由于這一事件發生應計算的期望的值，一個是會發生的事情的相應的值。機會（chance）我認為就是概率。”在書中貝葉斯給出了概率的定義：13幾個重要的問題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關于裝錯信封的問題秘書問題布豐（Buffon）投針問題（1777）

幾個重要的問題逆概率（inverseprobability14

今天看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德國數學家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個元素構成的。隨著概率論的發展，這種樣本空間的局限性越來越明顯。把等可能性思想發展到包含無窮多個元素的樣本空間，就產生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會發現，在古典定義里，只有不可能事件的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事件未必是不可能的今天看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德15三、概率論的發展～～分析概率論（18世紀末——19世紀末）從18世紀末到19世紀末的約一個世紀的時間里，在概率論的研究中引入了母函數與特征函數的概念，并逐漸引進了已經成熟的分析工具，特別是高斯和拉普拉斯等人建立的關于“正態分布”以及“最小二乘法”的理論對于用概率論研究天文觀測、大地測量和物理觀測的結果起了重大作用，使概率論的發展進入了一個新的時期——分析概率時期。三、概率論的發展～～分析概率論（18世紀末——19世紀末）從16

這一時期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人這一時期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡17高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎》：對觀測天體及進行大地測量時的誤差問題進行了研究，導出了誤差函數。設誤差為X，則誤差的分布就是今天所說的正態分布。因此，后人又稱正態分布為高斯分布高斯(Gauss，1777-1855)《最小二乘法的誤差18拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對概率論早期成果的系統總結；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數等強有力的分析工具，從而實現了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡。拉普拉斯(Laplace，1749－1827）《概率的19

概率的古典定義：在某組條件(S)下進行試驗，一共有N個兩兩互不相容而等可能的結果(基本事件）發生，其中M個是適合事件A的結果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個定義實際上是把概率概念化為事件的等可能性，而把計算概率的問題歸結為組合問題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個定義，但可以認為，早在概率論的初創階段其基本思想已經以某種形式為人們所默認。概率的古典定義：在某組條件(S)下進行試驗，一共有N個20

從概率論的初創階段直到19世紀，“等可能性”一直是一個基本而核心的概念，它指的是每個簡單事件具有相同的概率。人們對這一性質的認識經歷了相當曲折的過程，最終用概率測度概念取代了它。

從概率論的初創階段直到19世紀，“等可能性”一直是一個基本21

概率的古典定義有著不可克服的缺點，首先，“等可能性”并不總是容易判斷的；其次，當基本事件的總數不是有限的時，古典定義也無法適用。為了克服第二個缺點，18世紀時引入了概率的幾何定義，但這一定義仍然依賴于等可能性，從而不能克服第一個缺點。

概率的古典定義有著不可克服的缺點，首先，“等可能性”并不總22泊松(Poisson，1781——1840)

《關于刑事案件和民事案件審判概率的研究》(1837)引入泊松分布推廣大數定律泊松(Poisson，1781——1840)23彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的隨機變量概念，后來成為概率論與數理統計中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明了泊松形式大數定律，建立了有關獨立隨機變量序列的大數定律并對隨機變量和收斂到正態分布的條件，即中心極限定理進行討論。

彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫24

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨立隨機變量和古典極值理論的研究，從而改進和完善了大數定律和中心極限定理，對相依隨機變量序列的研究，創立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學地解釋了實際中遇到的許多隨機變量近似地服從正態分布。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨25貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內任作一弦，求其長度超過圓內接正三角形邊長的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產生悖論，是由于在這一問題中未給出“任意作一弦”這個概念明確的定義。最本質的，是對“等可能性”的概念的不同規定，從而造成了計算結果的不同。實際上，當一個隨機試驗有無窮多個可能的結果時，有時很難客觀地規定“等可能”這一直觀概念。

貝特朗(Bertrand)悖論(1889)在圓內任作26

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎十分脆弱，對于事件的概率定義及運算都要用到“等可能性”概念，而在一個具體問題上還需要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現表明了直觀的、經驗性的概率概念的本質缺陷，對建立概率論的嚴密邏輯基礎提出了要求。拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎十分脆弱，對于事件的27四、概率論的公理化～～現代概率時期（20世紀）

拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗概率定義雖然在整個19世紀被廣泛接受，但是由于他未能進一步探討這一理論及其應用的基礎從而缺少數學的嚴密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數學家也沒能在令人滿意的基礎上給出相應的嚴密理論。四、概率論的公理化～～現代概率時期（20世紀）拉普拉斯(28

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體系。***

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體29主觀學派英國經濟學家、數學家凱恩斯(J.M.Keynes)：《概率論》（完成于1911年，出版于1921年)英國的萊姆賽(F.Ramsey，1926)意大利的菲納特(B.DeFinnetti，1937)賽維奇(L.J.Savage，1954)主觀學派英國經濟學家、數學家凱恩斯(J.M.Keynes)30主觀學派主觀學派的人認為，貝葉斯陳述概率是兩個數之比的說法，只是告訴人們應該去猜測，重點不是他猜測的是多少。主觀學派認為猜測不是隨便亂說，一個人的猜測一定要前后一致，不能自相矛盾。從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論自身，而在于數理統計學近年來出現的貝葉斯統計學派

主觀學派主觀學派的人認為，貝葉斯陳述概率是兩個數之比的說法，31頻率理論學派（統計學派）德國數學家馮·米澤斯(vonMises)：1919年，運用公理方法給出了在統計頻率比的性質的基礎上的概率定義；

1928年，在《概率，統計和真理》一書中建立了頻率的極限理論。

1931年，提出了樣本空間的概念。這個概念使得有可能把概率的嚴格的數學理論建立在測度論的基礎上。

頻率理論學派（統計學派）德國數學家馮·米澤斯(vonMi32頻率理論學派（統計學派）德國哲學家賴欣巴赫(HansReichenbach，1891─1953）：1935年發表在專著《概率論》，試圖建立概率理論的令人滿意的公理體系；是為概率的頻率解釋作辯護頻率理論學派（統計學派）德國哲學家賴欣巴赫(HansRe33

20世紀初，勒貝格(Lebesgue)創立的測度論和積分論以及隨后發展起來的抽象測度和積分理論為概率論的公理化發展提供了新的手段。20世紀初，勒貝格(Lebesgue)創立的測度論和34柯爾莫哥洛夫(Kolmogoroff，1903-1987，前蘇聯）

1929《一般測度論和概率計算》以測度論和實變函數論為基礎對概率論公理作了初步論述；1933《概率論的基本概念》提出了概率論的公理化結構，明確了概率的定義和概率論的基本概念柯爾莫哥洛夫(Kolmogoroff，1903-198735

柯爾莫哥洛夫的方法是從概率的一些主要性質入手，這些性質無論是建立在古典的定義上還是建立在統計的定義上都有效，他不僅開始了把概率論發展成為一門數學科學的新階段，而且對后來建立隨機過程論也提供了必要的基礎。他的工作對測度論的發展也產生了重要影響。過去作為具體的測度一般僅考慮Lebesgue-Stieltjes測度和Lie群上的不變測度，由于他的工作，新型的概率測度及有關的新問題在對偶然現象的數學研究中不斷地產生出來，概率論也逐漸地由一個很窄小的主題發展成為一個寬廣并與數學中許多其他領域有重要聯系的分支。

柯爾莫哥洛夫的方法是從概率的一些主要性質入手，這些性質無36概率論公理化結構的建立，在很大程度上是以下幾個因素影響的結果：古典概率論中悖論的出現；現代測度論的建立；概率論一般成果的積累；19世紀以來數學中的公理化運動的發展與深化概率論公理化結構的建立，在很大程度上是以下幾個因素影響的結果37參考文獻：1.（美）H.伊夫斯，《數學史概論》，歐陽絳譯，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，《數學史上的里程碑》，歐陽絳等譯，上海科學技術出版社，19903．吳文俊主編，《世界著名數學家傳記》（上下集），科學出版社，1995，20034.（美）E.T.貝爾，《數學精英》，徐源譯，商務印書館，19915.（美）M.克萊因，《西方文化中的數學》（1953），張祖貴譯，復旦大學出版社，20046．張堯庭，概率概念的發展和爭論─以及它對實踐的指導意義，鄧東皋等編《數學與文化》，北京大學出版社，19907．柳延延，《概率與決定論》，上海社會科學院出版社，19968.（美）J.L.福爾克斯，《統計思想》，魏宗舒、呂乃剛譯，上海翻譯出版公司，19879.（美）C.R.勞，《統計與真理——怎樣運用偶然性》，科學出版社，200410．高慶豐，《歐美統計學史》，中國統計出版社，198711．周述岐，《數學思想史和數學哲學》，中國人民大學出版社，1993參考文獻：1.（美）H.伊夫斯，《數學史概論》，歐陽絳譯，山38一、前史～～概率論的醞釀（16世紀前后的兩百余年間）

概率的數學理論是由于研究一些有關機遇現象而產生的，典型的例子是賭博、游戲中的問題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門學科，則醞釀于16世紀前后的兩百余年間。它產生的原因雖然是多方面的，但主要是由于當時保險業的產生與發展以及賭博業的盛行。一、前史～～概率論的醞釀（16世紀前后的兩百余年間）概率的39

在這一時期，相當多的數學家對賭博中的問題產生濃厚的興趣，其中以帕喬利、卡爾達諾為代表。

在這一時期，相當多的數學家對賭博中的問題產生濃厚的興趣，40帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術，幾何，比及比例全書》——賭博中斷問題：兩個賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數量的賭金，誰先勝s局誰就贏得全部賭金。但是，當一個賭徒勝a局（a＜s），另一個勝b局（b＜s）時，賭博因故中斷，問應該如何分配賭金。

帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利41卡爾達諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書》(1539，出版于1663)：對賭博中斷問題的繼續討論；

點問題：擲兩顆或三顆骰子時在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點數；大數定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗中，每次出現正面或反面雖屬偶然，但在大量重復試驗中，出現正面（對稱地，出現反面)的頻率卻必然地接近于定數1／2

；在n次獨立事件中，如果事件本身的概率是p，那么它連續發生n次的概率是p的n次方

卡爾達諾(G.Cardano，1501～1576，意大利42二、概率論的創立與發展～～古典概率論/組合概率時期（17－18世紀）從17世紀中期概率論的產生到18世紀末，約一個半世紀的時間里，概率論主要以計算各種古典概率問題為中心發展著，因而將其稱為古典概率時期；由于這個時期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱為組合概率時期。

二、概率論的創立與發展～～古典概率論/組合概率時期（17－143

這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯

這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各·伯努利44帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國）

二人關于賭博中斷問題研究的通信，不僅有關于這個問題的不同解法，還從對一些特殊問題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結論，并且在一定程度上揭示了一般方法，這些工作標志著作為一門數學分支的概率論的誕生。帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費爾馬45惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關于概率論的正式論文數學期望：如果p表示一個人獲得一定金額s的概率，則sp稱為他的數學期望。

惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)46雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩固數學基礎上的首次認真的嘗試”：①關于惠更斯《論賭博中的推理》的一個精彩評注②對排列組合理論的深入研究③將排列組合理論運用于概率論④概率論在法律和經濟等問題上的應用⑤伯努利大數定律(大數定律的最早形式)，這是占據《猜度術》全書中心位置的結果，被稱為“主命題”，是概率論中的第一個極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡單的情形，即在整個試驗序列中，某個給定事件出現的概率始終保持為常數雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～147德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)

《論抽簽的原理》(1711年發表于《哲學學報》)；《機會論》(1718，1738，1756)：在對持續賭博問題的研究上取得了明顯的進步，給出了較清晰的組合公式，使用了不同的方程，用循環序列來解決問題，并且在用正態逼近來說明問題時使用了函數，成為拉普拉斯用分析方法研究概率論的先導。；《分析雜論》(1730)：正態分布德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)48貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴展和提高為處理一般科學問題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)149

在書中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事件的概率是這樣的比值：一個是由于這一事件發生應計算的期望的值，一個是會發生的事情的相應的值。機會（chance）我認為就是概率。”在書中貝葉斯給出了概率的定義：50幾個重要的問題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關于裝錯信封的問題秘書問題布豐（Buffon）投針問題（1777）

幾個重要的問題逆概率（inverseprobability51

今天看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德國數學家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個元素構成的。隨著概率論的發展，這種樣本空間的局限性越來越明顯。把等可能性思想發展到包含無窮多個元素的樣本空間，就產生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會發現，在古典定義里，只有不可能事件的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事件未必是不可能的今天看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德52三、概率論的發展～～分析概率論（18世紀末——19世紀末）從18世紀末到19世紀末的約一個世紀的時間里，在概率論的研究中引入了母函數與特征函數的概念，并逐漸引進了已經成熟的分析工具，特別是高斯和拉普拉斯等人建立的關于“正態分布”以及“最小二乘法”的理論對于用概率論研究天文觀測、大地測量和物理觀測的結果起了重大作用，使概率論的發展進入了一個新的時期——分析概率時期。三、概率論的發展～～分析概率論（18世紀末——19世紀末）從53

這一時期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人這一時期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡54高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎》：對觀測天體及進行大地測量時的誤差問題進行了研究，導出了誤差函數。設誤差為X，則誤差的分布就是今天所說的正態分布。因此，后人又稱正態分布為高斯分布高斯(Gauss，1777-1855)《最小二乘法的誤差55拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對概率論早期成果的系統總結；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數等強有力的分析工具，從而實現了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡。拉普拉斯(Laplace，1749－1827）《概率的56

概率的古典定義：在某組條件(S)下進行試驗，一共有N個兩兩互不相容而等可能的結果(基本事件）發生，其中M個是適合事件A的結果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個定義實際上是把概率概念化為事件的等可能性，而把計算概率的問題歸結為組合問題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個定義，但可以認為，早在概率論的初創階段其基本思想已經以某種形式為人們所默認。概率的古典定義：在某組條件(S)下進行試驗，一共有N個57

從概率論的初創階段直到19世紀，“等可能性”一直是一個基本而核心的概念，它指的是每個簡單事件具有相同的概率。人們對這一性質的認識經歷了相當曲折的過程，最終用概率測度概念取代了它。

從概率論的初創階段直到19世紀，“等可能性”一直是一個基本58

概率的古典定義有著不可克服的缺點，首先，“等可能性”并不總是容易判斷的；其次，當基本事件的總數不是有限的時，古典定義也無法適用。為了克服第二個缺點，18世紀時引入了概率的幾何定義，但這一定義仍然依賴于等可能性，從而不能克服第一個缺點。

概率的古典定義有著不可克服的缺點，首先，“等可能性”并不總59泊松(Poisson，1781——1840)

《關于刑事案件和民事案件審判概率的研究》(1837)引入泊松分布推廣大數定律泊松(Poisson，1781——1840)60彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的隨機變量概念，后來成為概率論與數理統計中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明了泊松形式大數定律，建立了有關獨立隨機變量序列的大數定律并對隨機變量和收斂到正態分布的條件，即中心極限定理進行討論。

彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫61

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨立隨機變量和古典極值理論的研究，從而改進和完善了大數定律和中心極限定理，對相依隨機變量序列的研究，創立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學地解釋了實際中遇到的許多隨機變量近似地服從正態分布。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨62貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內任作一弦，求其長度超過圓內接正三角形邊長的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產生悖論，是由于在這一問題中未給出“任意作一弦”這個概念明確的定義。最本質的，是對“等可能性”的概念的不同規定，從而造成了計算結果的不同。實際上，當一個隨機試驗有無窮多個可能的結果時，有時很難客觀地規定“等可能”這一直觀概念。

貝特朗(Bertrand)悖論(1889)在圓內任作63

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎十分脆弱，對于事件的概率定義及運算都要用到“等可能性”概念，而在一個具體問題上還需要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現表明了直觀的、經驗性的概率概念的本質缺陷，對建立概率論的嚴密邏輯基礎提出了要求。拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎十分脆弱，對于事件的64四、概率論的公理化～～現代概率時期（20世紀）

拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗概率定義雖然在整個19世紀被廣泛接受，但是由于他未能進一步探討這一理論及其應用的基礎從而缺少數學的嚴密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數學家也沒能在令人滿意的基礎上給出相應的嚴密理論。四、概率論的公理化～～現代概率時期（20世紀）拉普拉斯(65

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體系。***

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體66主觀學派英