人教版·數學·九年級（下）第27章相似圖形27.2.1相似三角形的判定第3課時兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似人教版·數學·九年級（下）第27章相似圖形1.探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并且會運用。2.會運用“兩邊成比例且夾角相等”判定兩個三角形相似，并進行相關計算與推理。學習目標1.探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并1.

兩個三角形全等有哪些判定方法？2.我們學習過哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通過定義（三邊對應成比例，三角分別相等）(2)平行于三角形一邊的直線(3)三邊對應成比例導入新知1.兩個三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、3

類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個三角形相似呢？探究類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不探究改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結論？實際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改變k的值具有相同的結論利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它們第三組對應邊BC和B'C'的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應角∠B與∠B'，∠C與∠C'是否相等？新知一兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似合作探究改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結論？實際上，我A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，我們試證明這個結論．△ABC∽△A'B'C'A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形已知：如圖，

△A'B'C'和

△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求證：△A'B'C'∽△ABC證明：在△ABC的邊AB、AC（或它們的延長線）上分別截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，連結DE，因∠A'=∠A，這樣△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE已知：如圖，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：∵

∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′

.歸納：由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：符號語8【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，這兩個三角形一定會相似嗎？

不一定，如下圖，因為能構造符合條件的三角形有兩個，其中一個和原三角形相似，另一個不相似.

A

B

C

A′

B′

B″

C′【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:9平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。②直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。圓錐的高：連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高.（1）點在圓外（2）點在圓上（3）點在圓內1）兩個圓沒有公共點，那么就說兩個圓相離，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內含。（3）中兩圓的圓心相同，這兩個圓還可以叫做同心圓。1．單項式除法單項式∴當x=70噸時，總運費最省①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；A.兩組對邊分別平行 B.一組對邊平行另一組對邊相等主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的計算法則是關鍵，要注意：①二次根式的運算結果要化為最簡二次根式；②與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；③靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑．主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。圓柱表面螞蟻吃面包：勾股定理：圓柱高的平方+地面周長一半的平方=最短距離的平方

歸納總結

如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。歸納總結10已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1典例精析1利用兩邊成比例且夾角相等識別三角形相似兩三角形的相似比是多少？

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴已知∠A＝120°，AB＝71.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵鞏固新知1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=解：∵AE，AC=2，

ACBED例2

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴典例精析2利用三角形相似求線段的長度提示：解題時要找準對應邊.合作探究解：∵AE，AC=2，ACBED例2如圖，D，E分別是2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC

上一點，連接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，還需要補充一個條件是;（只要求填一個）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的長．ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）設CD＝x,則CA＝x＋2．當△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合題意,應舍去．所以CD＝1．鞏固新知2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC上一點，證明：∵CD是邊

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如圖，在

△ABC

中，CD是邊

AB上的高，且，求證：∠ACB=90°．∵典例精析3利用三角形相似求角方法總結：解題時需注意隱含條件，如垂直關系，三角形的高等.合作探究證明：∵CD是邊AB上的高，∴△ADC∽△CDB3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是AB、AC上的點，AE：AD＝AB：AC．試問:DE與AB

垂直嗎?為什么?ABCDE證明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE與AB垂直．鞏固新知3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是A1．(廣西中考)如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為()A．15B．20C．25D．30B課堂檢測B課堂檢測172．(貴陽中考)如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為4，在△ABC的內部作一個矩形EFGH，使EF在BC邊上，另外兩個頂點分別在AB，AC邊上，則對角線EG長的最小值為_______.2．(貴陽中考)如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為18人教教材《相似三角形的判定》優質課件119異號兩數相加，絕對值值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線1．平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即。如上圖，設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，從圖中可以看出：4、棱柱及其有關概念：6、一次函數與二元一次方程（組）的關系：零的平方根是零；即：在⊙中，∵四邊形是內接四邊形（4）一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。2、點、線、面、體可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.（5）數據庫的收集整理與描述D、對角線平分一組對角是菱形具有而矩形不具有的性質，故D選項錯誤；①汽車共行駛了120千米；異號兩數相加，絕對值值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值20人教教材《相似三角形的判定》優質課件121人教教材《相似三角形的判定》優質課件122人教教材《相似三角形的判定》優質課件123兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用

歸納新知兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形A

課后練習A課后練習252．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，動點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ.若設運動時間為t(s)(0＜t＜2)，則當t＝_________時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，B263．如圖，在?ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，DE交AC于點F，FG∥AB交AD于點G，求線段FG的長.3．如圖，在?ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，27人教教材《相似三角形的判定》優質課件128C

C29③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；6、不是命題的情況：疑問句，短語，圖的做法。（1）先排列（2）中間一個數據或最中間兩個數據的平均數1．單項式除法單項式4.三角形和定理的證明1.冪的乘方法則：(m,n都是正數)是冪的乘法法則為基礎推導出來的,但兩者不能混淆.數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題叫做公理.D、兩組對邊分別相等，可判定該四邊形是平行四邊形，故D不符合題意5．(宜賓中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，BE平分∠ABC交AC于點E，連結CD交BE于點O.若AC＝8，BC＝6，則OE的長是_________．③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式306．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥CD交CA的延長線于E.求證：OC2＝OA·OE.6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相31人教教材《相似三角形的判定》優質課件132人教教材《相似三角形的判定》優質課件1338．如圖，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求證：(1)△ADE∽△ABC；(2)△ADB∽△AEC.證明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC8．如圖，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.34C

C

CC35人教教材《相似三角形的判定》優質課件136人教教材《相似三角形的判定》優質課件13712．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，D是BC邊上的動點，∠EDF＝60°.(1)求證：△BDE∽△CFD；(2)當BD＝1，FC＝3時，求BE的長．解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB＋∠BED＝120°.∵∠EDF＝60°，∴∠FDC＋∠EDB＝120°，∴∠BED＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD12．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，D是BC邊上的動點，38人教教材《相似三角形的判定》優質課件13913．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與點A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC＝90°.易證△DAP∽△PBC.(不要求證明)【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點P不與點A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC.(1)求證：△DAP∽△PBC；(2)若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的長．【應用】如圖③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，點P在邊AB上(點P不與點A，B重合)，連接CP，作∠CPE＝∠A，PE與邊BC交于點E.當CE＝3EB時，求AP的長．13．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上(點40人教教材《相似三角形的判定》優質課件141再見再見人教版·數學·九年級（下）第27章相似圖形27.2.1相似三角形的判定第3課時兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似人教版·數學·九年級（下）第27章相似圖形1.探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并且會運用。2.會運用“兩邊成比例且夾角相等”判定兩個三角形相似，并進行相關計算與推理。學習目標1.探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定定理并1.

兩個三角形全等有哪些判定方法？2.我們學習過哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通過定義（三邊對應成比例，三角分別相等）(2)平行于三角形一邊的直線(3)三邊對應成比例導入新知1.兩個三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、45

類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個三角形相似呢？探究類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不探究改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結論？實際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改變k的值具有相同的結論利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它們第三組對應邊BC和B'C'的長，它們的比等于k嗎？另外兩組對應角∠B與∠B'，∠C與∠C'是否相等？新知一兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似合作探究改變∠A或k值的大小，再試一試，是否有同樣的結論？實際上，我A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，我們試證明這個結論．△ABC∽△A'B'C'A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果兩個三角形已知：如圖，

△A'B'C'和

△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求證：△A'B'C'∽△ABC證明：在△ABC的邊AB、AC（或它們的延長線）上分別截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，連結DE，因∠A'=∠A，這樣△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE已知：如圖，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：∵

∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′

.歸納：由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：符號語50【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，這兩個三角形一定會相似嗎？

不一定，如下圖，因為能構造符合條件的三角形有兩個，其中一個和原三角形相似，另一個不相似.

A

B

C

A′

B′

B″

C′【思考】對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:51平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。②直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。圓錐的高：連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高.（1）點在圓外（2）點在圓上（3）點在圓內1）兩個圓沒有公共點，那么就說兩個圓相離，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內含。（3）中兩圓的圓心相同，這兩個圓還可以叫做同心圓。1．單項式除法單項式∴當x=70噸時，總運費最省①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；A.兩組對邊分別平行 B.一組對邊平行另一組對邊相等主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的計算法則是關鍵，要注意：①二次根式的運算結果要化為最簡二次根式；②與有理數的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的；③靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑．主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。圓柱表面螞蟻吃面包：勾股定理：圓柱高的平方+地面周長一半的平方=最短距離的平方

歸納總結

如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。歸納總結52已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1典例精析1利用兩邊成比例且夾角相等識別三角形相似兩三角形的相似比是多少？

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴已知∠A＝120°，AB＝71.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵鞏固新知1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=解：∵AE，AC=2，

ACBED例2

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴典例精析2利用三角形相似求線段的長度提示：解題時要找準對應邊.合作探究解：∵AE，AC=2，ACBED例2如圖，D，E分別是2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC

上一點，連接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，還需要補充一個條件是;（只要求填一個）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的長．ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）設CD＝x,則CA＝x＋2．當△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合題意,應舍去．所以CD＝1．鞏固新知2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC上一點，證明：∵CD是邊

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如圖，在

△ABC

中，CD是邊

AB上的高，且，求證：∠ACB=90°．∵典例精析3利用三角形相似求角方法總結：解題時需注意隱含條件，如垂直關系，三角形的高等.合作探究證明：∵CD是邊AB上的高，∴△ADC∽△CDB3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是AB、AC上的點，AE：AD＝AB：AC．試問:DE與AB

垂直嗎?為什么?ABCDE證明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE與AB垂直．鞏固新知3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是A1．(廣西中考)如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為()A．15B．20C．25D．30B課堂檢測B課堂檢測592．(貴陽中考)如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為4，在△ABC的內部作一個矩形EFGH，使EF在BC邊上，另外兩個頂點分別在AB，AC邊上，則對角線EG長的最小值為_______.2．(貴陽中考)如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為60人教教材《相似三角形的判定》優質課件161異號兩數相加，絕對值值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線1．平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即。如上圖，設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，從圖中可以看出：4、棱柱及其有關概念：6、一次函數與二元一次方程（組）的關系：零的平方根是零；即：在⊙中，∵四邊形是內接四邊形（4）一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。2、點、線、面、體可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.（5）數據庫的收集整理與描述D、對角線平分一組對角是菱形具有而矩形不具有的性質，故D選項錯誤；①汽車共行駛了120千米；異號兩數相加，絕對值值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值62人教教材《相似三角形的判定》優質課件163人教教材《相似三角形的判定》優質課件164人教教材《相似三角形的判定》優質課件165兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運用

歸納新知兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形A

課后練習A課后練習672．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，動點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，動點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ.若設運動時間為t(s)(0＜t＜2)，則當t＝_________時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，B683．如圖，在?ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，DE交AC于點F，FG∥AB交AD于點G，求線段FG的長.3．如圖，在?ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，69人教教材《相似三角形的判定》優質課件170C

C71③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；6、不是命題的情況：疑問句，短語，圖的做法。（1）先排列（2）中間一個數據或最中間兩個數據的平均數1．單項式除法單項式4.三角形和定理的證明1.冪的乘方法則：(m,n都是正數)是冪的乘法法則為基礎推導出來的,但兩者不能混淆.數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題