上次課復(r,t(r,t)d定態Schrodinger

[2

V

(r)

E(rii(,t)?(,rr?[ 22V(ri? 量子力學基本假定I、1 §2.6一維無限深勢 Schrodinger程來處理一類簡單的問題——一維l（1）有助于具體理解已學過的基本原理l（2）有助于進一步闡明其他基本原理l（3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行l（4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎2（一）（一）（二）（三）（四）3（一）（一）一維運動當粒子在勢場中運動時，Schrodinger方程為

?

[22

2V(

y,z)

E(

y,z)此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+形式，則S-方程可在直角坐標系中分離變量

令E2[2[2

ddx2d2dy2d

V1(x)]X(x)ExX(V2(y)]Y(y)EyY(y)

于是S-方程化為三個常微分方程[

dz2

V3(z)]Z(z)EzZ(z)

42

2

V

y,

(x,

y,

y,z)令：xyzXx)Yy)Z(z)2d

d

d2

2

dz2Xx

yZ

V1

V3 xy E(,)((),( d

d

d YZ

XZ

dy2YV2()y

XY

等式兩邊除等式兩邊除以 y x y,()(

E

ExEy

Ez5 （二）一維無限深勢 V(x)

|x||x|

I IlS—l（1）列出各勢域的一維S—方l（2）解方l（3）使用波函數標準條件定l（4）定歸一化系6（1）列出各勢域的S—方

勢V(x)分為三個區III表示2

ddx

(

V(

(x)

E(x)

其上的波函數分別ddx

(x)

2

ψI(x),ψII(xψIII(x)。則方程d2dx2

I(x)22

E

I(x)

xa2 II(x)2

E

2

a

xdx2d2dx2

2III(x)22

E

III(x)

xd

I

2I方程

dx2 簡化

d

2IIdx2d

I0aI0a

1。單值，成立2。有限：當x-∞，ψ有要求C2=0

dddx22Id dx2ddx2III21 1 1

Ce

e

I

Cex

(VE)

Asin(x 11

e

e

I(a)

Cea所

從物理考慮，粒子不能透

則解為：的勢壁。根據波函數的統計解

Asin(x要求在阱壁上和阱壁外波函數

特別是ψ(-aψ(a)0

8使用標準條件使用標準條件3。連

1）波函數連續1）波函數連續

I0aI(a)I0aII(a)III

Asin(a) 2） 在邊xa，勢有無窮跳躍，波函數微商不連續。這 若ψI(-a)’ψII(-a)’有，0Aαcos(-αa 與上面波函數連續條件導出的結果Asin(-αa+δ)=0矛連續

sin(a

cos

(4)

cos0兩種情況兩種情況

sina0I sin

0

cos

sinaa

a

(n

0,1,2,

2222

2 n

n222所 E

2

2

2a

Enn Asinxn

AsinnaAsin(Asin(a)0Asin(a)0Asin(a)cosAcos(a)sin0Asin(a)cosAcos(a)sin0(1)(2)cos(a)sin(3)cosa0sin0當n

k時

A

a

xAsink所以n取正整

(n

1,2,于是于是

a描寫同一狀a描寫同一狀

Asinna

n

(2n)222或

A

En

8aEnEnn2222anAax(n0,1,2,討狀態當n0時：，E0 Asin0xa

(n

12

(n1 a2 2

(n

0,1,2,所 En

2

2 2

(n )

(2n1)2 8a

22于是函數于是函數

III

n

2n

Asin(x

)Acosx2

Acos 2xa

I中關n=I中關n=的討論可知

0,1,2,cos0cos0由（3）則sincosacos(a)sin (3)

I

mm2

Asin

m0的偶數

mm Acos

m奇數。II結果，最后得m222Em 8a能量最低的態稱為基態，其上為第一激發態、第二激發態次類推a2由歸一化條件定系數 a2

|m

dx

a|a

|2dx|2

|

|2

|

|2a

mmm|A

sin2

xdx

meven a

|A

cos2

xdx

m1a由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空ψ=0。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。1a由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空ψ=0。這樣的狀態，稱為束縛態。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。得|A得|A|2aA（取實數[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 一、列出各勢域上的S—方程 二、求解S—方程 三、利用波函數的標準條件（單值、 l四、由歸一化條件定出最后一個待定系數 （三）（三）空間反射：空間矢量反向的操作r (r,t)(r,t)

(r,t)

(r,t(r,t)(r,t)

(r,t(r,t

稱波函數具有正宇稱（或偶宇稱稱波函數具有負宇稱（或奇宇稱如果在空間反射

(r,t)

則波函數沒有確定的宇稱（四）討 00

|x|一維無限勢阱中粒

a1

n

n

|x|的狀

a a

n

|x|其能量本征值為：n222（1）n1基態

En

n22E

8a

（2）n0E0ψ0而nk,與經典最低能量為零不同這是微觀粒子波動性的 現，因為“靜止的波”是沒

n

Asin

xAsin 有意義的

Acos

xAcos 可見，n取負整數與正整數描寫同一狀態（4）ψ（4）ψn*(x) （5（5數

t/

00

t/

|x|n(x,t)n(

sin aa

n

|x|a cosa

xeiEnt/

n

|x| |x|亦可合并寫成

aa

sin

(x

nt/

|x|（3）波函數宇（3）波函數宇(x)(x)nn(當noddh/21.051034Jme

9.111031kg

取：

10

108無限深勢阱中的電子能級JNJNNkgm/s2

2En2

nJ0.93

n-10-10010n- - - n

II 一維無限深勢0|x 0|xx

sinnx;

neve

|x|a cosna

n

|x|nn=(x)----25-20-15- - x/

nn=-----25-20-15- - x/((x)(x)--n=-n=---25-20-15- - x/

----25-20-15- - x/n=n=-----25-20-15- - x/

nn=-----25-20-15- - x/ 故事 1666年，23歲的為了躲避，回到鄉下的老 們只能用一個拉丁文annusmirabilis來表示這一年，也就是“年”。 在這一年了6篇，3月18日，關于光電效應的文章，這成了量子奠基石之一。4月30日 兩篇關于運動的，成了 月30日，題 §2.7振（一）引（二）線性諧振dxdx2dtx2x其中k在經典力學中，當質量為的粒子，受彈性F=-kx作用， 第二定律，運動方程為其解為xAsin(t)運動：簡諧振動，粒子：簡諧振子，諧振子設振子處于V

振子受力

所 V

0

1kx2

1kx

12x2

V0若取V00，即平衡位置處于勢V0點粒子所受的粒子所受的力(F)正比于到平衡位的距離(x)，但方向相反Fkx)V2

2x2量子力學中的線性諧振子就是指在該勢場中（2）為什么研究線性諧振分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近研究簡諧振動，無論在理論上還是在應上都很重要 Vx

例如雙原子分子，兩原例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近將V(x)展開成 1!

xx

a

x2

xx

a2V

2xx2

(a

a)2

1k(2

a)2ax0ax0

xa取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為準諧振子勢的形式

V(x)

1kx22 往往可以用線性諧振動來近似描述 （二）線性諧振 漸近解、級數?

? 12 x（1）方程的建

2

ddx2

12x2線性諧振子的Hamilton量t無關，則定態S方程可寫為：2d2dx2

[E

122

x2

為簡化；同乘為簡化；同乘dx2

[2E

x2簡化方程，引入無量綱變量代替 2E

x2dx 令：

xx；其中 ，令：，

2E則方程可改寫為：d

[

2

()d注意！上節課方程的基本形式：ddx2

2（2）求d（2）求

[

2

(x)d1近漸近解，當→±∞時的解。在此1近 d

0其解為：

~ d 欲驗證解的正確性，可將其代回方程d

e2/

e2/

2d2 2~~

[

d

[1

2

所以

ce2/2

e

2>>±/ 用用標準條件定，應c2=

e2/設波函數

()

H

)e2/HH(滿足的方 將

d

[

見下H所滿足的見下d2H

1)HH2HH2H(1)Hdd

2

]

2]

2

2

)

2)H

2

H

2

2

H

2

2

2

2

2H H用冪級數展開H

bkH2H2H(1)HkkH

k