第8章

立體幾何初步8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系

異面直線1空間內，我們把不在同一平面內的兩條直線稱之為異面直線異面直線的概念異面直線是不同在任何一個平面內的兩條直線，而不能單純理解為分別在不同平面內的兩條直線.要注意異面直線定義中的“任何”兩個字，它指的是空間中的任意平面.因此，異面直線也可以理解為在空間中找不到一個平面，使其同時經過這兩條直線.異面直線1空間內，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時候，我們可以借助輔助的平面來體現異面直線的不共面的特點.異面直線的畫法

異面直線1異面直線的判定方法方法內容定義法不同在任何一個平面內的兩條直線反證法既不平行，也不相交的兩條直線異面直線判定定理：經過平面外一點和平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線時異面直線.

異面直線1異面直線的判定方法

平行異面相交異面空間中直線與直線的關系2異面直線共面直線空間中兩條直線的位置關系有三種：——不同在任何一個平面內，沒有公共點相交直線平行直線——在同一平面內，有且只有一個公共點——在同一平面內，沒有公共點

空間中直線與平面的位置關系3直線與平面的位置關系位置關系公共點個數符號語言圖形語言

有無數個公共點

有且只有一個公共點沒有公共點

空間中直線與平面的位置關系3直線與平面的位置關系

當直線與平面沒有公共點時，直線與平面平行；當直線與平面有一個公共點時，直線與平面相交；當直線與平面有無數個公共點時，直線在平面內.空間中直線與平面的位置關系3直線與平面位置關系的分類無公共點有公共點有且只有一個公共點有無數個公共點直線與平面平行直線與平面相交直線在平面內按公共點個數分類直線在平面內直線在平面外直線與平面平行直線與平面相交直線上所有點都在平面內按空間的位置分類空間中直線與平面的位置關系3直線與平面位置關系的分類

結合圖形可知C正確.

空間中平面和平面的位置關系4平面與平面的位置關系位置關系圖形語言符號語言公共點個數兩個平面平行兩個平面相交

①空間中平面和平面的位置關系4平面與平面位置關系的分類無公共點有公共點平面與平面平行平面與平面相交有無數個公共點(交線)下列說法正確的是________①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內②若直線上有無數個點不在平面內，則直線和平面平行③若直線與平面相交，則直線與平面內的任意直線都是異面直線④若直線與平面平行，則這條直線與平面內的直線平行或異面空間中平面和平面的位置關系4兩個平面位置關系的畫法當兩個平面平行時，要注意把表示平面的平行四邊形畫成對應邊平行，如圖①.而圖②的畫法不恰當.

空間中平面和平面的位置關系4兩個平面位置關系的畫法兩個平面相交的畫法畫出表示兩個平面的平行四邊形相交的兩邊，如圖①畫出表示兩個平面交線的線段，如圖②分別過圖②中表示兩個平面相交兩邊的線段的端點引線段，使它們平行且相等于圖②中表示交線的線段，如圖③畫出圖中表示平面的平行四邊形的第四邊(被遮住的線，可以用虛線表示，也可以不畫)，如圖④

空間中平面和平面的位置關系4兩個平面位置關系的畫法——如何區別空間圖形中的實線與虛線？

我們知道，畫空間圖形時，看得見的線畫成實線，看不見的線畫成虛線或者不畫.如果所有的線都畫成實線，則同一個圖形可以想象出不同的形狀，如圖①，可以想象成兩種不同的形狀.

(1)可以想象成點A和我們的眼睛分別位于平面BCD的兩側，

我們看不見點A；(2)也可以想象成點A和我們的眼睛在平面BCD的同側，我

們能看見點A.這樣就得到了兩種不同的形狀.圖②則不會

產生上述感覺，也符合人的視覺效果原理：近實遠虛.直線與平面的位置關系判斷直線在平面內，只需判定直線與平面有兩個公共點，即“兩點定一線”（基本事實②）直線在平面外包括兩種情況：直線與平面平行；直線與平面相交.當直線與平面無公共點時，直線與平面平行；當直線與平面有一個公共點時，直線與平面相交空間直線與平面位置關系的分類時解決此類問題的突破口，這類判斷問題常用分類討論的方法解決.另外，借助模型(圖長方體，正方體等)也是解決這類問題的有效方法.直線與平面的位置關系下列說法，正確的有__________①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個

平面相交②一條直線和另一條直線平行，則它和經過另一條直線的任何平面都平行③經過兩條異面直線中的一條直線，有一個平面與另一條直線平行④兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條也一定與這個平面

平行①③交線及截面問題

基本事實③告訴我們，如果兩個平面有一個公共點，那么它們必定還有其他公共點，只要找出這兩個平面的兩個公共點就找到了它們的交線.因此求兩個平面的交線的突破口，就是找到這兩個平面的兩個公共點，找公共點的常用方法是根據基本事實①及其推論延展平面：相交延展法——可以在兩平面內分別取一線，使這兩條線滿足共面不平行，延長相交于一點，該點即為兩平面的一個公共點；平行延展法——如不共線三點ABC確定一個平面，過其中一點例如A作直線BC的平行線，即可達到延展平面的目的8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系第八章立體幾何初步課程目標1．了解直線與直線之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示；2．了解直線與平面之間的三種位置關系，會用圖形語言和符號語言表示；3．了解平面與平面之間的兩種位置關系，會用符號語言和圖形語言表示．數學學科素養1.數學抽象：異面直線的理解；2.邏輯推理：判斷空間點、直線、平面之間的位置關系；3.直觀想象：空間圖形中點、直線、平面之間的位置關系.

自主預習，回答問題閱讀課本128-131頁，思考并完成以下問題1、什么是異面直線？2、空間兩條直線的位置關系？3、直線與平面的位置關系？4、平面與平面的位置關系？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題.復習回顧1.點與直線的位置關系是什么？用數學符號怎樣表示？2.直線與平面的位置關系是什么？用數學符號怎樣表示？點在直線上點不在直線上點不在平面內點在平面內思考：我們知道，長方體有8個頂點，12條棱，6個面，12條棱對應12條棱所在的直線，6個面對應6個面所在的平面，如圖所示的長方體，你能發現這些頂點、直線、平面之間的位置關系嗎？

黑板兩側所在的直線與課桌邊沿所在直線是什么位置關系？

旗桿所在的直線與其正后方跑道所在直線是什么位置關系？不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線（skewlines）空間兩條直線的位置關系：共面直線異面直線相交直線平行直線不同在任何一個平面內，沒有公共點。同一平面內，有且只有一個公共點同一平面內，沒有公共點；ab異面直線的畫法為表示異面直線不共面的特點，常以平面襯托。關于異面直線的定義，你認為下列哪個說法最合適？

A.空間中既不平行又不相交的兩條直線；

B.平面內的一條直線和這平面外的一條直線；

C.分別在不同平面內的兩條直線；

D.不在同一個平面內的兩條直線；

E.不同在任何一個平面內的兩條直線.

√a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

思考：分別在兩個平面內的兩條直線是否一定異面？abab共3對：AB與CD，AB與GH，EF與GH練習：如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，如果以陰影部分為底面將它還原為正方體，那么，AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？觀察:一支筆所在的直線與一個作業本所在的平面，可能有哪幾種位置關系？思考：在長方體ABCD-A'B'C'D'中，線段A'B所在直線與長方體六個面所在平面有幾種位置關系？直線與平面的位置關系只有三種：①直線在平面內---有無數個公共點；②直線與平面相交---有且只有一個公共點；③直線與平面平行---沒有公共點。

（1）直線在平面內（2）直線與平面相交（3）直線與平面平行直線在平面外直線和平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外。

判斷直線與平面的位置關系關鍵在于—判斷直線與平面的交點個數。圖形表示αaaαaα符號表示aa∩＝Aa∥觀察:如圖，圍成長方體ABCD-A′B′C′D′的六個面，兩兩之間的位置關系有幾種？C′A′B′D′ABCD

觀察

：教室里的地面與桌面、黑板面所在墻面與地面之間有哪些關系？直觀感覺：桌面與地面

墻面與地面

平行相交兩個平面的位置關系只有兩種，即兩個平面平行，兩個平面相交.（1）兩個平面平行

---沒有公共點；（2）兩個平面相交

---有一條公共直線.αβα∥βα∩β=a畫兩個互相平行平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行。探究：如圖，在長方體中，連接，請你再舉出一些圖中表示空間直線、平面之間位置關系的例子，并用符號表示這些位置關系。例1.如圖，用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系。解：在（1）中，在（1）中，例2.如圖，直線AB與直線a具有怎樣的位置關系？為什么？解：直線AB與a是異面直線。理由如下。若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行。設它們確定的平面為，則。由于經過點B與直線a有且僅有一個平面，因此平面與平面重合，從而，進而，這與矛盾。所以直線AB與a是異面直線。判斷兩直線是異面直線的方法：與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線。××√達標檢測B①②①從有無公共點的角度：有且僅有一個公共點---------相交直線在同一平面內--------相交直線②從是否共面的角度沒有公共點---------平行直線異面直線不同在任何一個平面內---------異面直線平行直線1.兩直線的位置關系小結2.直線與平面的位置關系3.平面與平面的位置關系《8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系》同步練習1.異面直線(1)定義:不同在

的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法:任何一個平面內知識清單2.空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況有無公共點相交在同一平面內

.平行在同一平面內沒有公共點異面不同在任何一個平面內沒有公共點有且只有一個公共點3.直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內

.有

公共點直線a與平面α相交

.有且只有

公共點直線a與平面α平行

.

公共點a?α無數個a∩α=A一個a∥α無4.平面與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行

.

.兩平面相交

.有無數個公共點,這些點在

.α∥β無公共點α∩β=l一條直線上1.分別在兩個平面內的兩條直線的位置關系是(

)(A)異面 (B)平行(C)相交 (D)以上都有可能2.直線l與平面α有兩個公共點,則(

)(A)l∈α (B)l∥α(C)l與α相交 (D)l?α小試牛刀答案D答案D4.直線a?平面α,直線b?平面α,則a,b的位置關系是

.

答案

平行、相交或異面3.如果在兩個平面內分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關系一定是(

)(A)平行 (B)相交(C)平行或相交 (D)不能確定答案C題型分析舉一反三解析

(1)因為C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB與CC1異面.(2)因為A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因為A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,則A1,B,C,D1在同一平面內.所以A1C與D1B相交.解題技巧(判定兩直線異面的常用方法)(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內;(2)排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交)的情況.【跟蹤訓練1】解析

如圖所示,一