2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義(教學設計)一、知識與能力：1、理解掌握向量數(shù)乘運算及其幾何意義，數(shù)乘運算的運算律，并能熟練運用定義、運算律進行有關計算。2、理解掌握向量共線定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向量是否共線。3、通過向量數(shù)乘運算的學習和探究，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象思維能力，以及運算能力和邏輯推理能力。二、過程與方法：經(jīng)歷向量加法三角形法則和平行四邊形法則的歸納過程；體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.三、情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)對現(xiàn)實世界中的數(shù)學現(xiàn)象的好奇心，學習從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題.教學重點:實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件.教學難點：向量共線的充要條件.一、復習回顧，新課導入探究：已知非零向量。，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并說明它，，，，_.■..們的幾何意義.類似數(shù)的乘法，把a+a+a記作3a，顯然3a的方向與a的方向.相同，3a的長度是a的3倍，即I3al=3lal.同樣，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，顯然3(-a)的方向與a的方向相反，3(-a)的長度是a的3倍，這樣3(-a)=-3a.由學生作圖，歸納幾何意義，教師補充完善，引出本節(jié)課所學的內(nèi)容。二、師生互動，新課講解定義：實數(shù)人與向量a的積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘，記作知，它的長度與方向規(guī)定如下：|Xa|=|X||a|；當人＞0時，Xa的方向與向量a的方向相同；當人＜0時，M的方向與a的方向相反.特別地，當X=0或a=0時，Xa=0；當X=-1時，(-1),a=-a，就是a的相反向量.實數(shù)與向量的積的運算律設X、口為實數(shù)，那么人(凹)=(X.)a；(結(jié)合律)(1+^)a=Xa+^a；(第一分配律)X(a+b)=Xa+Xb.(第二分配律)結(jié)合律證明：如果入=0，g=0，a=0至少有一個成立，則①式成立如果入更0，睹0，a更0有：|入(日萬)|=|入||四萬|=|入||曰||a||(入四)萬|=|入四||2|=|入||四||a|——..|入(日a)1=1(入日)a|如果入、^同號，則①式兩端向量的方向都與a同向；如果入、^異號，則①式兩端向量的方向都與a反向。從而入（日a）=（入日）a第一分配律證明：如果入=0,p=o,a=0至少有一個成立，則②式顯然成立—?■如果入更0,睹0,a豐0當入、日同號時，則入a和^a同向，...|（入+四）a|=|入+四||a|=（|入|+|四i）ia|I入a+^a|=|入ai+i^a|=|入iiai+miai=（|入i+m）ia|?.,入、日同號「?②兩邊向量方向都與a同向———即：I（入+g）a1=1入a+raI當入、^異號，當入＞四時②兩邊向量的方向都與入a同向當入?yún)s時②兩邊向量的方向都與ua同向———.還可證：|（入+日）ai=i入a+gai.②式成立第二分配律證明:如果a=0，b=0中至少有一個成立，或入=or—r當a豐0，b豐0且入更0，入更1時1。當入＞0且入更1時在平面內(nèi)任取一點O,作oa=aab=bOA1=入aob=入a+入b由作法知：AB〃A】B有ZOAB=ZOA1B1IOAIIABI=——1~=入IOAIIABIIAB|=入|A1B1|AAOAB^AOA1B1...1OB11=入ZAOB=Zaob,IOBI11因此，O,B,B1在同一直線上，|OB]|=|入OBI—■——入（a+b）=入a+入b當入＜0時可類似證明：入（a+b）=入a+入b?..③式成立特別地，有OB1與入OB方向也相同(—人)a=-(Xa)=人(-a),人(a-b)=Xa~Xb.例1(課本P88例5)計算:(1)(-3)x4a;3(a+b)-2(a-b)-a;(2a+3b-c)-(3a-2b+c).解：(1)原式=(-3x4)a=-12a;（2）原式二3a+3b-2a+2b-a=5b;（3）原式=2a+3b~c-3a+2b~c=-a+5b-2c.變式訓練1：設a、b是兩個不平行的向量，且x（2a+b）+y（3a-2b）=7a,x,y^R，則x=，y=.（x=2,y=1）向量共線定理（等價條件或充要條件）思考：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關系嗎？對于向量a（a壬0）、b，如果有一個實數(shù)人，使b=Xa，那么由向量數(shù)乘的定義知：a與b共線；反過來，已知向量a與b共線，a壬0，且向量b的長度是向量a的長度的日倍，即lbl=^lal，那么當a與b同向時，有b=^a，當a與b反向時，有b=-pa.向量共線定理（向量共線的充要條件）：向量a（a超）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)人，使b=Xa.例2（課本P89例6）已知任意兩個非零向量a、b，且°A=a+b，二三二a+2b,0。=a+3b，判斷A、B、C三點之間的位置關系.解：因為AB=CE-0A=a+2b-（a+b）=b，AC=CC-GA=a+3b-（a+b）=2b，于是云=三二，所以A、B、C三點共線.向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)人、日］、日2，恒有人（叩±*b）二人日a±人日2b.變式訓練2：設a與b是兩個不共線向量，且向量a+A&與2a—b共線，則2=1=2k,111解析由題意知:a+^=k（2a-b）,則有：［.,人=一,2=—答案一一2=-k解析由題意知:a+^=k（2a-b）,則有：［例3平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且』&a，』上b，試用a、b表示二」、."、攔、?".解：TC=一4三-AO=a+b，探=A5--!C=a-b,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11111:'二-:二二二一(a+b)=—~a—~b—--——1，^11.VT-翌一1(a-b)=1a-1b;'222—1—11-MC=_AC=_a+-b;222*—*1—*11-MD=_MB=--DB=——a+—b.222變式訓練3：設如是即舛線’求證：癡=如+花）證明：因為AM=AB+BM,AM=AC+CM,所以2~AM=^AB+BM)+(AC+CM^=^AB+AC)+^BM+CM)因為AM是AABC中線，所以BM+CM=BM+MB=0,因而2AM=aB+AC，所以AM=-^AB+AC)2課堂練習：（課本P90練習NO：1；2；3；4；5；6）三、課堂小結(jié)，鞏固反思理解實數(shù)與向量的積的意義，能說出實數(shù)與一個向量的積的模及方向與這個向量的模及方向間的關系;能說出實數(shù)與向量的積的三條運算律，并會運用它們進行計算；能表述一個向量與非零向量共線的充要條件；會表示與非零向量共線的向量，會判斷兩個向量是否共線四、課時必記1、實數(shù)與向量的積的運算律設人、口為實數(shù)，那么（1）k（pa）=（人曰）a；（結(jié)合律）（2）（人+Qa=!a+pa；（第一分配律）（3）人（a+b）=Xa+kb.（第二分配律）2、向量共線定理（向量共線的充要條件）：向量a（a，0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)人，使b=Xa.五、分層作業(yè)：A組：1、（課本P91習題2.2A組NO：9）TOC\o"1-5"\h\z2、（課本P91習題2.2A組NO：10）3、（課本P91習題2.2A組NO：11）4、（課本P91習題2.2A組NO：12）5、（課本P91習題2.2A組NO：13）B組：1、（課本P91習題2.2B組NO：3）2、（課本P91習題2.2B組NO：4）3、（課本P91習題2.2B組NO：5）C組：1、設兩個非零向量a與b不共線.,..-?.一—一—一(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a—b).求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)奴使ka+b和a+kb共線.分析：(1)先證明疝，BD共線，再說明它們有一個公共點；(2)利用共線向量定理列出方程組求k.⑴證明：AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b).—*—*—*?一